數(shù)值方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告

PAGEPAGE1數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱(chēng)迭代法解線性方程組所屬課程名稱(chēng)數(shù)值方法A實(shí)驗(yàn)類(lèi)型驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)日期2014年11月28日姓名學(xué)號(hào)班級(jí)成績(jī)一、實(shí)驗(yàn)概述：【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹渴炀氝\(yùn)用運(yùn)用所學(xué)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編寫(xiě)程序，實(shí)現(xiàn)解線性方程組的迭代法，包括Gauss-Seidel迭代方法和松弛迭代法，分析迭代格式的收斂性，以及初值對(duì)迭代格式收斂的影響。用熟悉的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程上機(jī)完成：用Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組，當(dāng)滿足時(shí)，結(jié)束迭代。2.用松弛迭代法（取=1.25）求解下列方程組，當(dāng)滿足時(shí)結(jié)束迭代，說(shuō)明迭代的收斂性，并討論初值的變化對(duì)收斂的影響?！緦?shí)驗(yàn)原理】1.Gauss—Seidel迭代法原理：Gauss-seidel迭代法是對(duì)Jacobi迭代法的改進(jìn)，在Jacobi迭代的分量形式中，為了在每一次迭代計(jì)算不同的分量時(shí)，可以利用前面已經(jīng)計(jì)算出來(lái)的分量，就將Jacobi迭代的分量形式修改為這樣，每一個(gè)計(jì)算出來(lái)的分量馬上就可以用于計(jì)算下一個(gè)分量，這種方法比Jacobi迭代法收斂得快。2.松弛迭代法原理為了提高精度，可以考慮運(yùn)用松弛技術(shù)，將高斯-塞德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代得到的值進(jìn)一步加工成某種松弛值，迭代公式如下

逐次超松弛迭代法是顯然Gauss-Seidel方法的一種加速方法，當(dāng)時(shí)，SOR方法就是Gauss-Seidel迭代方法。【實(shí)驗(yàn)環(huán)境】Visualc++6.0二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：【實(shí)驗(yàn)方案】1.Gauss—Seidel迭代法步1讀入數(shù)據(jù)，初始向量n，增廣矩陣，k=1；步2步3判斷步4，，轉(zhuǎn)入步2；步5，輸出結(jié)果。2.SOR方法解方程組Ax=b的算法,其中A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，數(shù)組x作為一組工作單元，開(kāi)始存放初始向量，然后存放近似值解，最后存放結(jié)果，用控制迭代終止，k表示迭代次數(shù)，可以不用。步1；步2；步3；步4步5對(duì)于有（1）（2）如果，則，（3）；步6輸出；步7如果，則轉(zhuǎn)步3；步8輸出結(jié)果x，k?！緦?shí)驗(yàn)過(guò)程】（實(shí)驗(yàn)步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析）調(diào)試報(bào)錯(cuò)如下：在頭文件下加上如下程序doubleCompare(doublea[N],doubleb[N]){ doublec=0; inti; for(i=0;i<=N-1;i++) c+=fabs(a[i]-b[i]); returnc;}在主函數(shù)中加如下語(yǔ)句：Gauss_seidel(A,x,b,1e-4);【實(shí)驗(yàn)結(jié)果】1.Gauss-Seidel迭代法求解方程組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：2.松弛法求方程組實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：初值的變化對(duì)收斂沒(méi)有影響，SQR方法收斂的充要條件是稀疏矩陣對(duì)稱(chēng)正定，且。【實(shí)驗(yàn)小結(jié)】（收獲體會(huì)）在這次數(shù)值分析試驗(yàn)中，我明白了高斯-賽德?tīng)柕ê退沙诘ǖ漠愅畹睦斫饬擞玫ń饩€性方程組的方法，并且懂得了編寫(xiě)一段代碼，我們不僅要考慮它的可行性，更應(yīng)該考慮它的算法復(fù)雜度，運(yùn)行效率。由此，我們可以看出做一件事要精益求精，多加斟酌

，并且在數(shù)值分析理論課方面更應(yīng)該多下功夫，扎實(shí)基礎(chǔ)才是最重要的。三、指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)及成績(jī)：評(píng)語(yǔ)評(píng)語(yǔ)等級(jí)優(yōu)良中及格不及格1.實(shí)驗(yàn)報(bào)告按時(shí)完成,字跡清楚,文字?jǐn)⑹隽鲿?邏輯性強(qiáng)2.實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)合理3.實(shí)驗(yàn)過(guò)程（實(shí)驗(yàn)步驟詳細(xì),記錄完整,數(shù)據(jù)合理,分析透徹）4實(shí)驗(yàn)結(jié)論正確.成績(jī)：指導(dǎo)教師簽名：批閱日期：附錄：源程序程序1：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<iostream.h>#defineN3doubleCompare(doublea[N],doubleb[N]){ doublec=0; inti; for(i=0;i<=N-1;i++) c+=fabs(a[i]-b[i]); returnc;}voidGauss_seidel(doubleA[N][N],doublex[N],doubleb[N],doubleprecesion){ inti,j,k; doublex2[N],x3[N],sum; for(i=0;i<=N-1;i++) { x2[i]=x[i]; x3[i]=x[i]; } k=1;//k為迭代次數(shù) while(1) { for(i=0;i<=N-1;i++) { sum=0; for(j=0;j<=N-1;j++) { if(j!=i) sum+=A[i][j]*x2[j]; } x[i]=(b[i]-sum)/A[i][i]; x2[i]=x[i]; } //輸出每一次迭代的結(jié)果 printf("第%d次迭代:\n",k); printf("x3="); for(i=0;i<=N-1;i++) printf("%lf",x3[i]); printf("\n"); printf("x="); for(i=0;i<=N-1;i++) printf("%lf",x[i]); printf("\n"); //判斷是否達(dá)到迭代精度 if(Compare(x3,x)<=precesion) { printf("達(dá)到迭代精度的方程組的解為:\n"); printf("x="); for(i=0;i<=N-1;i++) printf("%lf",x[i]); printf("\n"); break; } else { for(i=0;i<=N-1;i++) x3[i]=x[i]; k++; continue; } }}voidmain(){ doubleA[N][N]={{5,2,1},{-1,4,2},{2,-3,10}},x[N]={0},b[N]={-12,20,3}; Gauss_seidel(A,x,b,1e-4);程序2：#defineN3//線性方程組的階數(shù)#include<iostream.h>#include<math.h>voidmain(){ doublea[N][N]={2,2,-2,2,5,-4,-2,-4,5},//系數(shù)矩陣 b[N]={1,2,0};//右端常數(shù)向量 doublex0[N]={0,0,0},x[N];//迭代初始向量和迭代向量 doublee=1e-5;//精度要求 intM=500;//最大迭代次數(shù) inti,j,c_M=0; doublesum,current_e; do { current_e=0; for(i=0;i<N;i++) { sum=0; for(j=0;j<N;j++) { if(j!=i) { sum=sum+a[i][j]*x0[j]; } } x[i]=(b[i]-sum)/a[i][i]; }//更新迭代向量 c_M++;//迭代次數(shù)加1 for(i=0;i<N;i++) { if(fabs(x[i]-x0[i])>current_e) current_e=fabs(x[i]-x0[i]); } //計(jì)算當(dāng)前誤差 for(i=0;i<N;i++) x0[i]=x[i];//更新初始向量 }while(current_e<=e&&c_M<M);//判斷是否仍未達(dá)到精度要求且未達(dá)到最大迭代次數(shù) for(i=0;i<N;i++) cout<<x[i]<<endl;//輸出結(jié)果 cout<<c_M<<endl;//輸出迭代次數(shù)} 附錄2：實(shí)驗(yàn)報(bào)告填寫(xiě)說(shuō)明1．實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱(chēng)：要求與實(shí)驗(yàn)教學(xué)大綱一致.2．實(shí)驗(yàn)?zāi)康模耗康囊鞔_，要抓住重點(diǎn)，符合實(shí)驗(yàn)教學(xué)大綱要求.3．實(shí)驗(yàn)原理：簡(jiǎn)要說(shuō)明本實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目所涉及的理論知識(shí).4．實(shí)驗(yàn)環(huán)境：實(shí)驗(yàn)用的軟、硬件環(huán)境.5．實(shí)驗(yàn)方案（思路、步驟和方法等）：這是實(shí)驗(yàn)報(bào)告極其重要的內(nèi)容.概括整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程.對(duì)于驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，要寫(xiě)明依據(jù)何種原理、操作方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，要寫(xiě)明需要經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)其操作.對(duì)于設(shè)計(jì)性和綜合性實(shí)驗(yàn)，在上述內(nèi)容基礎(chǔ)上還應(yīng)該畫(huà)出流程圖、