大學(xué)物理演示實(shí)驗(yàn)報(bào)告-2

淺談混沌現(xiàn)象——介于確定與隨機(jī)之間的運(yùn)動(dòng)摘要：混沌現(xiàn)象是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象。進(jìn)一步研究表明，混沌是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化來(lái)的。因此，在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問(wèn)題中，混沌是無(wú)處不在的。簡(jiǎn)單地說(shuō)，混沌是一種確定系統(tǒng)中出現(xiàn)的無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。混沌理論所研究的是非線性動(dòng)力學(xué)混沌，目的是要揭示貌似隨機(jī)的現(xiàn)象背后可能隱藏的簡(jiǎn)單規(guī)律，以求發(fā)現(xiàn)一大類復(fù)雜問(wèn)題普遍遵循的共同規(guī)律。關(guān)鍵詞：混沌現(xiàn)象；非線性；阻尼擺；相平面。4月25日的大物演示實(shí)驗(yàn)讓我收獲很多，感受良多。其中，尖端放電，熱聲效應(yīng)與混沌現(xiàn)象等實(shí)驗(yàn)引起了我極大的興趣，其中的混沌現(xiàn)象更是讓我百思不得其解，于是我利用課余時(shí)間查閱參考了大量相關(guān)的文獻(xiàn)資料并結(jié)合吳亞非老師在大學(xué)物理課上所講解的一些知識(shí)寫(xiě)下這篇論文式的物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告?！盎煦纭笔谴_定論系統(tǒng)所表現(xiàn)的隨機(jī)行為的總稱。它的根源在于非線性的相互作用。所謂“確定論系統(tǒng)”，指描述該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是不包含任何隨機(jī)因素的完全確定的方程。例如，一支簡(jiǎn)單擺的微小振動(dòng)，由下面的線性微分方程描述：其中φ是擺偏離豎直狀態(tài)的小小的角位移，ω是擺的圓頻率，即頻率v乘以2π。它和振動(dòng)周期T的關(guān)系是這些都是我在大學(xué)物理中學(xué)過(guò)的知識(shí)，后面還會(huì)再推導(dǎo)一次。像式（7。1）這樣的方程，它的解是完全確定的，可以寫(xiě)成φ（t）＝Asin（ωt）+Bcos（ωt）（7.3）兩個(gè)常數(shù)A和B可以由初始條件，即t=0時(shí)的角位移φ（0）和角速度φ（0）完全確定。這里φ（t）表示微分dφ（t）/dt。因此，對(duì)于簡(jiǎn)單擺這樣的系統(tǒng)，只要給定了初始條件，它今后的運(yùn)動(dòng)就完全確定了，任何時(shí)刻t的角位移和角速度都可以精確地預(yù)言。如果初始條件發(fā)生些許小小的變化，擺的行為也變化不大，同樣也可以精確預(yù)言。換句話說(shuō)，擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)于初始條件的細(xì)微變化并不敏感。隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典實(shí)例是植物學(xué)家布朗（R.Brown）1827年在顯微鏡下看到的液體中花粉顆粒的無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)，也就是現(xiàn)在的布朗運(yùn)動(dòng)。我們可以試圖用牛頓定律來(lái)描述布朗運(yùn)動(dòng)。設(shè)想一?；ǚ埏h落到液體中，它帶著一定的初始速度，受到液體粘滯性導(dǎo)致的阻力，還受到成億的液體分子的隨機(jī)沖撞，也可能受到某種外力f(x)的作用。阻力通常正比于速度v=x’，但方向相反，可以寫(xiě)成-kx’，k是摩擦系數(shù)。根據(jù)牛頓定理有：mx’’=f(x)-kx’+隨機(jī)力（7.4）這里的隨機(jī)力只能用隨時(shí)間無(wú)規(guī)則變化的隨機(jī)數(shù)ξ（t）來(lái)代表。事實(shí)上在阻力作用下，花粉的速度的變化，也就是加速度x’’變的越來(lái)越小，甚至可以從方程（7.4）中忽略。于是我們得到σ是一個(gè)參數(shù)，用來(lái)反映隨機(jī)力的強(qiáng)弱。關(guān)于隨機(jī)力ξ（t）我們所知甚少，只能假定它滿足一定的概率分布，例如高斯分布；還可以合理地假定它的平均值為零，等等。這樣，式（7.5）就成為一個(gè)典型的隨機(jī)微分方程，即著名的朗之萬(wàn)（P.Langevin）方程。朗之萬(wàn)方程的理論也已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)完備。例如，只要方程（7.5）中的兩個(gè)系數(shù)k和σ滿足一定的比例關(guān)系，方程的解最終與初始條件沒(méi)有關(guān)系，x會(huì)成為滿足一定分布的隨機(jī)數(shù)。從方程的解對(duì)初值變化根本無(wú)關(guān)的意義上說(shuō)，這類隨機(jī)微分方程描述的運(yùn)動(dòng)也是簡(jiǎn)單的。自然界中最常見(jiàn)的運(yùn)形態(tài)，往往既不是完全確定的，也不是完全隨機(jī)的，而是介乎二者之間。對(duì)于這類運(yùn)動(dòng)，很長(zhǎng)時(shí)期沒(méi)有恰當(dāng)?shù)拿枋鲶w系?；煦绗F(xiàn)象的理論，為更好地理解自然界提供了一個(gè)框架。對(duì)混沌現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，是近20年來(lái)非線性科學(xué)最重要的成就之一。于是，為了更好的認(rèn)識(shí)并解釋混沌現(xiàn)象，我們也要了解一下非線性的理論。概括地說(shuō)，可以列舉非線性的以下特點(diǎn)：第一，線性是簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，而非線性是對(duì)這種關(guān)系的偏離。線性關(guān)系是“水漲船高”，但一般只適用于自變量的一定范圍，不能無(wú)限制地“漲”上去，而非線性才能反映“過(guò)猶不及”，“一波三折”等更復(fù)雜的行為。第二，線性關(guān)系是互不相干的獨(dú)立貢獻(xiàn)，而非線性則是相互作用。第三，對(duì)于理解混沌現(xiàn)象有重要意義的一條差別：線性關(guān)系保持訊號(hào)的頻率成分不變，而非線性使頻率結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。我們首先需要解釋一下線性運(yùn)動(dòng)模式這個(gè)概念。出現(xiàn)在單擺方程（7.1）的解（7.3）中的sin（ωt）和cos（ωt）是兩種基本的運(yùn)動(dòng)模式，它們線性地疊加起來(lái)，組成擺的運(yùn)動(dòng)φ（t）。同樣的，sin（2ωt）或cos（8ωt），是另外一些基本模式，而cos2（ωt）不是基本的模式，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)關(guān)系它可以分解成1（這是ω=0的模式）和cos（2ωt）兩種模式的線性組合。對(duì)于一個(gè)遵從歐姆定律的線性電路，電壓V，電流I和電阻R的關(guān)系是:V=RI（7.11）如果I是頻率固定的交流信號(hào)I=I0cos（ωt），電壓V也只含有同樣的頻率ω。然而，如果電壓電流關(guān)系中出現(xiàn)了非線性項(xiàng)，例如：V＝RI+R1I2(7.12）則對(duì)于同樣的交流輸入，電壓V中就會(huì)有直流（ω=0）和倍頻2ω出現(xiàn)。第四，非線性是引起行為突變的原因。對(duì)線性的細(xì)小偏離，往往并不引起行為突變，而且可以從原來(lái)的線性情形出發(fā)，靠修正線性理論去描述和理解。然而，非線性大到一定程度時(shí)，系統(tǒng)行為可能發(fā)生突變。非線性系統(tǒng)往往在一列參量閾值上發(fā)生突變，每次突變都伴隨著某種新的分頻成分，最終進(jìn)入混沌狀態(tài)。這些閾值和分頻，不能象前面借用三角函數(shù)的關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)單解釋，而必須動(dòng)用混沌動(dòng)力學(xué)中的方法和概念。最簡(jiǎn)捷的方式，是通過(guò)考察一個(gè)簡(jiǎn)單的力學(xué)系統(tǒng)，看怎樣改造到直到出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。解釋強(qiáng)迫擺的混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)在考察一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)擺：一根本身沒(méi)有質(zhì)量的長(zhǎng)度為l的細(xì)桿，一端固定在可以無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)的軸承O上，另一端是質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。整個(gè)運(yùn)動(dòng)發(fā)生在圖7-3所示平面中：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)豎直地懸在A點(diǎn)時(shí)，擺處于勢(shì)能最低的狀態(tài)。它可以永遠(yuǎn)靜止在這點(diǎn)上。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)被偏置到B點(diǎn)時(shí)，它的勢(shì)能是V=mlg［1－cos（φ）］（7。13）我們?nèi)§o止點(diǎn)A的勢(shì)能為0，因?yàn)閯?shì)能總是相對(duì)于某個(gè)狀態(tài)來(lái)測(cè)量的。式（7。13）中的g是重力加速度，φ是前面已經(jīng)提到過(guò)的角位移。質(zhì)點(diǎn)m只能沿著半徑為l的大圓運(yùn)動(dòng)，它的位移是x=lφ（按弧度算），因此加速度是寫(xiě)出牛頓方程：也就是：這里圓頻率ω由擺長(zhǎng)l決定，即：由于正弦函數(shù)可以展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)：所以式（7.15）是一個(gè)非線性的微分方程。當(dāng)角位移很小時(shí)，sin（φ）可以近似地?fù)Q成φ，得到前面的方程（7.1）。角位移φ和角速度φ’是兩個(gè)動(dòng)力學(xué)變量。它們張成了一個(gè)相平面。其中，相平面中的每一點(diǎn)代表系統(tǒng)的一種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于沿大圓轉(zhuǎn)動(dòng)的周期性，可以把φ限制在-π到+π之間，只考慮相平面中的一個(gè)垂直條帶。圖7-4是運(yùn)動(dòng)能量不大時(shí)擺的周期振動(dòng)的相平面表示。我們可以考慮摩擦阻力。加入-kφ’項(xiàng)，使它成為阻尼擺，于是有：阻尼擺在相平面中的運(yùn)動(dòng)軌道不再是周期的，而是盤(pán)旋縮小，最終靜止在原點(diǎn)的一條螺旋線。當(dāng)由初始條件決定的運(yùn)動(dòng)能量足夠大時(shí)，擺開(kāi)始繞懸掛點(diǎn)O作轉(zhuǎn)動(dòng)。順時(shí)針和逆時(shí)針的兩種轉(zhuǎn)動(dòng)，在相平面中表現(xiàn)為從一邊穿出條帶，又從另一邊返回的不封閉的曲線（圖7-6）。圖7－6中有一條特殊的分界線，把振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)制分開(kāi)。有摩擦力存在時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)也會(huì)減小幅度，成為阻尼振動(dòng)，最終停止在原點(diǎn)上。無(wú)論有沒(méi)有阻尼，方程（7。15）或（7。18）所描述的系統(tǒng)，都不會(huì)表現(xiàn)出混沌行為。這是因?yàn)樗鼈兪嵌A微分方程，有一個(gè)數(shù)學(xué)定理說(shuō)這類方程沒(méi)有比周期運(yùn)動(dòng)更復(fù)雜的行為。為了看到混沌運(yùn)動(dòng)，可以再對(duì)擺施加周期性的外力，使它成為強(qiáng)迫擺。這樣做的辦法很多。可以設(shè)法周期性地改變擺的長(zhǎng)度。這相當(dāng)于使頻率ω發(fā)生周期性的變化。于是方程（7.18）又可以寫(xiě)成為這是一個(gè)參量驅(qū)動(dòng)的阻尼擺，Ω是外驅(qū)動(dòng)力的頻率?，F(xiàn)在它的運(yùn)動(dòng)不再達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)（除非初始狀態(tài)是靜止在原點(diǎn)）。在參量A的某些區(qū)域里，可以出現(xiàn)各種不同的振動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，或者兩者的交替，在另外一些A值處，則可能出現(xiàn)看來(lái)很隨機(jī)的混沌運(yùn)動(dòng)。圖7-7是相平面中一條混沌軌道的一小段。這條軌道會(huì)永不重復(fù)地繞來(lái)繞去，最終把相平面的一大片涂成黑色。上面的討論只是演示了參量驅(qū)動(dòng)擺可以出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。對(duì)于這樣的混沌狀態(tài)究竟是怎樣出現(xiàn)的，為什么它是混沌的，諸如此類的問(wèn)題其實(shí)并沒(méi)有回答。事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)由微分方程描述的系統(tǒng)，這些問(wèn)題原則上是可以回答的，但必須要進(jìn)行大量數(shù)值和解析的研究和分析。這個(gè)就需要我有能力進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)并且掌握更多的知識(shí)才行?？傊?，科學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步離不開(kāi)無(wú)數(shù)代科學(xué)家的努力，我希望我能在今后的學(xué)習(xí)中學(xué)到更多的知識(shí)與能力，在科學(xué)研究的道路上走的更遠(yuǎn)，實(shí)現(xiàn)我的夢(mèng)想。參考文獻(xiàn)與部分圖片出處：[1]羅杰、G、牛頓。探求萬(wàn)物之理李香蓮譯。上?？萍冀逃霭嫔?，2000[2]詹姆斯、格萊克?；煦鐚W(xué)北京科學(xué)文獻(xiàn)出版社,1988[3]黃潤(rùn)生混沌學(xué)及其應(yīng)用武漢大學(xué)出版社，1999[4]梁美靈、王則柯混沌與均衡縱衡談大連理工大學(xué)出版社，2008[5]海因茨.奧托.佩特根，（德）哈特穆特.于爾根斯，迪特馬兒.紹柏，混沌與分形—科學(xué)的新疆界田逢春譯。北京國(guó)防工業(yè)出版社，2008[6]于國(guó)新、許兆義圍巖結(jié)構(gòu)面分布的混沌現(xiàn)象研究.鐵道工程學(xué)報(bào)，106(7)2007.7[7