高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程四少互動(dòng)探究課件新人教版選修1

3.2.1

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.了解雙曲線的實(shí)際背景,結(jié)合具體實(shí)際情景,了解雙曲線的定義,能夠運(yùn)用雙曲線的定義解決問題.2.了解雙曲線的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.通過學(xué)習(xí),提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).知識(shí)概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知1.雙曲線的定義

微點(diǎn)撥

理解雙曲線的定義,注意以下幾點(diǎn):(1)雙曲線的定義中是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù),而不是差等于常數(shù),否則軌跡只能為雙曲線的某一支.(2)雙曲線的定義中,常數(shù)應(yīng)小于兩個(gè)已知定點(diǎn)間的距離且不等于0,否則:①若常數(shù)等于|F1F2|,則軌跡為兩條射線;②若常數(shù)等于0,則軌跡為線段F1F2的垂直平分線;③若常數(shù)大于|F1F2|,則軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

微探究

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種表示形式(a>0,b>0)有何異同點(diǎn)?如何根據(jù)方程確定雙曲線的焦點(diǎn)位置?雙曲線中參數(shù)a,b,c的關(guān)系與橢圓相同嗎?提示:雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種表示形式

(a>0,b>0)的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有a>0,b>0,a2+b2=c2.不同點(diǎn)是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的系數(shù)為正;雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的系數(shù)為正,亦即“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”,這是判斷雙曲線焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法;雙曲線中參數(shù)a,b,c的關(guān)系為a2+b2=c2,其中c的值最大,a,b的大小關(guān)系不確定,與橢圓中參數(shù)a,b,c的關(guān)系不同.課堂·重難突破一

方程表示雙曲線的條件典例剖析1.已知方程

,當(dāng)m滿足什么條件時(shí),方程表示:(1)雙曲線?(2)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線?(3)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)的雙曲線?規(guī)律總結(jié)學(xué)以致用1.“k>6”是“方程

表示雙曲線”的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件答案:B二

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例剖析2.根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:規(guī)律總結(jié)1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟與橢圓基本一致,可分為四步:(1)定位置;(2)設(shè)方程;(3)求參數(shù);(4)得方程.學(xué)以致用2.求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),b=1;(2)與橢圓

有相同的焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)A(-5,6).三

雙曲線定義的應(yīng)用典例剖析3.若動(dòng)圓P與圓A:(x+5)2+y2=49和圓B:(x-5)2+y2=1都外切,求動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程.解:設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R,且P(x,y),則|PA|=R+7,|PB|=R+1.于是|PA|-|PB|=(R+7)-(R+1)=6<10=|AB|.根據(jù)雙曲線的定義可知,點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.規(guī)律總結(jié)解決軌跡問題時(shí),如果條件中出現(xiàn)了定點(diǎn)(m,0),(-m,0)(或(0,m),(0,-m))等,應(yīng)注意考察動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是否是一個(gè)定值,如果是定值,且小于兩定點(diǎn)間的距離,則動(dòng)點(diǎn)軌跡就是雙曲線(或其一支).學(xué)以致用3.若動(dòng)圓P經(jīng)過定點(diǎn)A(3,0),且與定圓B:(x+3)2+y2=16相外切,則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為

.

解析:設(shè)動(dòng)圓圓心P(x,y),半徑為r,依題意有|PA|=r,|PB|=r+4,則|PB|-|PA|=4,即點(diǎn)P到定點(diǎn)B,A的距離之差等于4,且4<|AB|=6,因而點(diǎn)P的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,且2a=4,c=3,所以b2=5,故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為四

與雙曲線有關(guān)的最值問題典例剖析4.已知F1,F2為雙曲線

的左、右焦點(diǎn),P(4,1)在雙曲線右支的右側(cè),點(diǎn)A在雙曲線的右支上,則|AP|+|AF2|的最小值為

.

因而要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.連接F1P,與雙曲線的右支交于點(diǎn)A0,當(dāng)點(diǎn)A位于A0處時(shí),|AP|+|AF1|的值最小,互動(dòng)探究(變條件)本例中若點(diǎn)A在雙曲線的左支上,其他條件不變,結(jié)果又如何?規(guī)律總結(jié)設(shè)雙曲線

(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,Q(x0,y0)為平面上一定點(diǎn),M為雙曲線右支上任意一點(diǎn),則

(1)若點(diǎn)Q與右焦點(diǎn)F2在雙曲線右支的同側(cè),則|MQ|+|MF2|的最小值為|QF1|-2a,無最大值;

(2)若點(diǎn)Q與右焦點(diǎn)F2在雙曲線右支的異側(cè),則|MQ|+|MF2|的最小值為|QF2|,無最大值.學(xué)以致用4.已知F1,F2為雙曲線

的上、下焦點(diǎn),M(1,3),點(diǎn)P為雙曲線上支上的一點(diǎn),則|PM|+|PF1|的最小值為

.

隨堂訓(xùn)練A.橢圓 B.雙曲線C.兩條射線 D.雙曲線的一支答案:BA.1 B.2C.3 D.4答案:AA.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案:A4.若雙曲線y2-4x2=-m的焦距等于10,則實(shí)數(shù)m的值等于(

)A.20 B.-20 C.±20 D.±80答案:C答案:26解析:由已知可得a2=36,b2=64,則c2=100,即c=10,由于雙曲線左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F2的距離的最小值為a+c