重積分的計(jì)算及應(yīng)用 習(xí)題_第1頁(yè)
重積分的計(jì)算及應(yīng)用 習(xí)題_第2頁(yè)
重積分的計(jì)算及應(yīng)用 習(xí)題_第3頁(yè)
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習(xí)題課重積分的計(jì)算及應(yīng)用計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:利用極坐標(biāo)原式例1計(jì)算積分其中是兩個(gè)球(R>0)的公共部分.提示:由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計(jì)算方便.例2計(jì)算積分其中是部分.補(bǔ)充計(jì)算積分其中是部分.補(bǔ)充計(jì)算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用柱坐標(biāo)原式繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面例3證明:提示:左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.例4.其中是所圍成的閉區(qū)域.提示:被積函數(shù)在對(duì)稱域上關(guān)于z為奇函數(shù),利用對(duì)稱性可知原式為0.由球面例5例6.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱性,得例7.計(jì)算二重積分在第一象限部分.解:(1)兩部分,則其中D為圓域把與D分成作輔助線(2)提示:兩部分說(shuō)明:若不用對(duì)稱性,需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).作輔助線將D分成例8.解:在球坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得其中例9.證明證:左端=右端例10.求解.9.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)的另一邊長(zhǎng)度應(yīng)為多少?提示:建立坐標(biāo)系如圖.由對(duì)稱性知由此解得問(wèn)接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束9.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)的另一邊長(zhǎng)度應(yīng)為多少?提示:建立坐標(biāo)系如圖.由對(duì)稱性知由此解得問(wèn)接上去的均勻矩形薄片

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