江蘇省南京市六校2023-2024學年高三上學期8月聯(lián)考數(shù)學試題（Word版含答案）

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數(shù)學

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若復數(shù)滿足，則（）

A.1B.C.D.2

2.已知集合，，（）

A.B.C.D.

3.等差數(shù)列的前項和為，且，，則（）

A.45B.49C.56D.63

4.從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種

A.16B.36C.54D.96

5.“”是“直線與圓相切”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

6.在平面直角坐標系中，雙曲線：的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與交于，兩點，與軸的交點為，，則的離心率為（）

A.B.C.2D.

7.已知，則（）

A.B.C.D..

8.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則下列等式一定正確的是（）

A.B.C.D.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑.

9.給出下列命題中，其中正確的命題是（）

A.隨機變量，則

B.已知，，則

C.隨機變量，若，則，

D.以模型擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.2

10.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則（）

A.函數(shù)解析式

B.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖像

C.直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸

D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2

11.如果有限數(shù)列滿足，則稱其為“對稱數(shù)列”，設是項數(shù)為的“對稱數(shù)列”，其中是首項為50，公差為的等差數(shù)列，則（）

A.若，則B.若，則所有項的和為590

C.所有項的和可能為0D.當時，所有項的和最大

12.如圖，在菱形中，，，為的中點，將沿直線翻折到的位置，連接和，為的中點，在翻折過程中，則下列結論中正確的是（）

A.面面

B.線段長度的取值范圍為

C.直線和所成的角始終為

D.當三棱錐的體積最大時，點在三棱錐外接球的外部

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.的展開式的中間一項的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.

14.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標為______

15.函數(shù)為在定義域內為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為______

16.如圖，是圓臺母線的中點，是底面的直徑，上底面半徑為1，下底面半徑為2，，點是弧的中點，則、兩點在圓臺側面上連線長最小值的平方等于______

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列的前項和為，且，.

（1）求的通項公式；

（2）若，，求.

18.（本小題滿分12分）請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.

①；②；

③.

在中，內角，，的對邊分別是，，，若______.

（1）求角；

（2）若，求周長的取值范圍.

19.（本小題滿分12分）已知四棱錐中，平面，，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）設是棱上的點，若二面角的余弦值為，試求直線與平面所成角的正弦值.

20.（本小題滿分12分）已知橢圓：的左右頂點分別為，，上頂點為，，橢圓的長軸長比短軸長大4.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率存在且不為0的直線交橢圓于，兩點（異于點），且，證明：直線恒過定點，并求出定點坐標.

21.（本小題滿分12分）春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9：20~10：40這一時間段內通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9：20~9：40記作區(qū)間，9：40~10：00記作，10：00~10：20記作，10：20~10：40記作.例如：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9：20~10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9：20~10：00之間通過的車輛數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9：20~10：40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9：46~10：40之間通過的車輛數(shù)（結果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，，.

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若曲線在點處的切線與曲線切于點，求，，的值；

（3）若恒成立，求的最大值.

南京市六校2023-2024學年高三上學期8月聯(lián)考

數(shù)學答案

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1-4：BBDC5-8：ABCB

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

9.AC10.ABC11.BD12.AC

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.14.15.16.

四、解答題：本大題共6小題，共70分

17.解：（1）∵

∴當時，

兩式相減得：，即，

∴且符合，∴的通項公式為

（2）由（1）可知，

∴

∴

18.解：（1）選①，，由正弦定理得

，即

∴

∵∴

選②，由得

，

∵，∴，∴，∴

選③，由

∴

∴，

∵，

∴，∵，∴

（2）解法一：由（1）可知，又，由余弦定理得

∴

即，當且僅當時取等號

又

∴周長的取值范圍為

解法二：由（1）知，又正弦定理

得

∴周長，

又，∴

周長，

又，∴

∴周長的取值范圍為

19.證：在四棱錐中，∵平面

∴

∵，，∴

又∵，∴平面

又∵平面，∴平面平面

（2）由（1）得，，兩兩垂直，∴為原點，以，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則由題意：，，，，，

由得，

∵平面，∴平面的一個法向量為

設為平面的一個法向量，

∴即

令，則，，

∵二面角的余弦值為

∴，解得

設直線與平面所成角為，平面的一個法向量為

又

∴，即直線與平面所成角的正弦值為

20.解：（1）由題意得，可得，

又，，聯(lián)立方程得：，

故粗圓方程為.

（2）證明：∵，根據(jù)向量加法與減法的幾何意義可得，

即，

設直線的方程為：，

聯(lián)立橢圓方程，

得，

，即

設，，則

，，

，，

將韋達定理式代入化簡得，

，解得或，

此時均滿足，

當時，直線方程為，過點與重合，故舍去，

當時，直線方程為，過定點，

故直線過定點，定點為.

21.解（1）由題意，這600輛車在9：20~10：40時間段內通過該收費點的時刻的平均值為，即10點04分

（2）結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的10輛車中，在10：00前通過的車輛數(shù)就是位于時間分組中在這一區(qū)間內的車輛數(shù)，

即，所以的可能取值為0，1，2，3，4

所以，

，

，

，

所以的分布列為

01234

所以.

（3）由（1）可得，

，

所以.

估計在9：46~10：40這一時間段內通過的車輛數(shù)，也就是通過的車輛數(shù)，

由，

所以，估計在9：46~10：40這一時間段內通過的車輛數(shù)為輛.

22.解（1），則.

令，得，所以在上單調遞增.

令，得，所以在上單調遞減.

（2）因為，所以，所以方程為.

依題意，，.于是與拋物線切于點，

由得.所以，，.

（3）設，則恒成立.

易得.

①當時，

因為