河北省衡水市武強(qiáng)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期綜合素質(zhì)檢測（一）數(shù)學(xué)試題（含答案）

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數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知集合，集合B滿足，則B可能為（）

A．B．C．D．

2．若i是虛數(shù)單位，則等于（）

A．B．C．D．

3．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，則這15人成績的第80百分位是（）

A．90B．90.5C．91D．91.5

4．函數(shù)的圖像是（）

A．B．

C．D．

5．如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

6．已知，，且的夾角為60°，如果，那么m的值為（）

A．B．C．D．

7．已知600°角的終邊上有一點(diǎn)，則a的值為（）

A．B．C．D．

8．已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為（）

A．B．C．D．

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

9．關(guān)于命題p：“，”的敘述，正確的是（）

A．：，x+1=0B．：，

C．p是真命題，是假命題D．p是假命題，是真命題

10．容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)分布在內(nèi)，將樣本數(shù)據(jù)分為4組：，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是（）

A．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻率為0.32

B．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為40

C．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為40

D．估計總體數(shù)據(jù)大約有10%分布在內(nèi)

11．下列說法正確的是（）

A．在中，

B．在中，若，則

C．在中，若，則；若，則

D．在中，

12．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）

A．PB與CD所成的角為60°B．平面PAC

C．平面BDED．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．已知向量，若，則的值為________．

14．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是________．

15．若，，滿足，則的取值范圍是________．

16．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（本小題10.0分）

在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，且

（1）求C的大??；

（2）求的面積．

18．（本小題12.0分）

某校醫(yī)務(wù)室抽查了高一10位同學(xué)的體重（單位：kg）如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74．

（1）求這10個學(xué)生體重數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）估計高一所有學(xué)生體重數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差．

19．（本小題12.0分）

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相直，，，，，M為CE的中點(diǎn)．

（1）求證：平面ADEF；

（2）求證：平面BDE．

20．（本小題12.0分）

一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c．

（1）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；

（2）求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．

21．（本小題12.0分）

已知函數(shù)，再從條件①、②、③這三個條件中選擇一個作為已知，求：

（1）的最小正周期；

（2）的單調(diào)遞增區(qū)間．

條件①：圖像的對稱軸為；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

22．（本小題12.0分）

如圖，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．

（1）證明：平面PDC；

（2）已知，Q為l上的點(diǎn)，求直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

武強(qiáng)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期綜合素質(zhì)檢測（一）

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、單項選擇題：DBBADCBA

二、多項選擇題：ACABCACDBCD

三、填空題：

四、解答題：

17．解：（1）由正弦定理，得，即，∵，∴，又，∴．

（2）由余弦定理，得，即，

∴，故，∴，故的面積為．

18．解：（1）這10個學(xué)生體重數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．這10個學(xué)生體重數(shù)據(jù)從小到大依次為65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中間的兩個數(shù)是71，72，∴這10個學(xué)生體重數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．這10個學(xué)生體重數(shù)據(jù)的方差為，這10個學(xué)生體重數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．

（2）由樣本估計總體得高一所有學(xué)生體重數(shù)據(jù)的平均數(shù)為71，中位數(shù)為71.5，方差為11，標(biāo)準(zhǔn)差為．

19．解：證明：∵平面平面ABCD，平面平面，，平面ADEF，

∴平面ABCD．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．

（1）∵M(jìn)為EC的中點(diǎn)，

∴，

則，，，

∴，故共面．

又BM平面ADEF，∴平面ADEF．

（2），，．

∵，∴．

又，∴．

又，DB，平面BDE，∴平面BDE．

20．解：由題意知，的樣本空間，共27個樣本點(diǎn)．

（1）設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”為事件A，

則事件A包含的樣本點(diǎn)有，，，共3個．所以．即“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率為．

（2）設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件B的對立事件B包括的樣本點(diǎn)有，，，共3種．∴．即“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為．

21．解：選①，

（1）（其中）．

∵圖像的一條對稱軸為，所以．

即有，所以，

所以，∴，故

∴的最小正周期為．

（2）∵，∴，

∴，∴的遞增區(qū)間為．選②，

（1），∴

∴，

∴的最小正周期為．

（2）∵，∴，

∴，∴的遞增區(qū)間為．選③，

（1），

∴的最小正周期為

（2）∵，∴，

∴，∴的遞增區(qū)間為．

22．解：（1）證明：在正方形ABCD中，，因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC．

又因?yàn)锳D平面PAD，平面平面，所以．

因?yàn)樵谒睦忮F中，底面ABCD是正方形，所以，∴，

且平面A