4.1.1數(shù)列的概念與簡單表示【高效備課精講精研】高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.1.1數(shù)列的概念與簡單表示人教A版（2019）選擇性必修第二冊新知導入

東晉詩人陶淵明勸學的故事，廣為人知。他曾有名言如下：“勤學如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧?！?/p>

如果每天用精密儀器對“春起之苗”進行測量，則每天的苗的高度，都按日期排列，可以組成一個數(shù)列。問題：什么是數(shù)列？新知導入1.王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高.將這些身高數(shù)據(jù)（單位：cm）依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.①

（2）

中的

i

反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，即

是排在第1位的數(shù)，……

是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置.所以，①是具有確定順序的一列數(shù).

新知導入2.在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版（編號K90，約產(chǎn)生于公元前7世紀）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.②注：把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數(shù)的數(shù)來表示

中的

i

反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時的確定位置，即是排在第1位的數(shù)，是排在第2位的數(shù)……它們之間不能交換位置所以，②也是具有確定順序的一列數(shù)新知導入3.的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù)：

③③

也是具有確定順序的一列數(shù)思考:你能仿照上面的敘述，說說③

嗎？歸納：上述3例子的共同特征是什么？新知講解數(shù)列的概念（1）按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列（2）數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項（3）各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），常用符號表示，

第2項，用表示……

第n項，用

表示.

（4）數(shù)列的一般形式是

，，…，,…,簡記為{}.合作探究思考：數(shù)列與集合，，…，有什么區(qū)別？提示：數(shù)列集合各項必須是數(shù)

集合中的元素可以是數(shù)字，也可以是其他形式數(shù)列中的數(shù)是有順序的。如1，2，3與2，3，1表示不同的數(shù)列

集合中的元素具有無序性，

如{1，2，3}={2，3，1}同一個數(shù)在一個數(shù)列中可以重復出現(xiàn)，如1，1，1，…

集合中的元素具有互異性，如1，1，1，…組成的集合只能寫為{1}新知講解數(shù)列與函數(shù)由于數(shù)列{}中的每一項

和它的序號n有下面的對應關系：

那么

構成了一個數(shù)列{f(n)}新知講解與其他函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用表格和圖象來表示數(shù)列的表示數(shù)列①可以表示為表

4.1-1n1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的圖象如圖4.1-1所示問題：通過前面的學習，你能用幾種方法表示數(shù)列？答案：①

一般表示法②

通項公式法(或稱為解析表示法)③

列表法④

圖象法

（是一群孤立的點）⑤遞推公式法（下一節(jié)學習）

，，…，,…例如：2，4，6，8，…簡記為{2n}例如：數(shù)列3，6，9，12，…

用通項公式法表示為：例如：數(shù)列-1，1，-1，1，-1，1，…合作探究合作探究數(shù)列的分類分類標準名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列合作探究數(shù)列的通項公式

注：

(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)解析式．(2)同所有的函數(shù)關系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項公式．

(3)數(shù)列的通項公式不唯一例如：-1，1，-1，1，…可以寫成

合作探究解：（1）當通項公式中的n=1,2,3,4,5時，數(shù)列{}的前5項依次為1，3，6，10，15.圖象如圖4.1-2（1）所示.（2）當通項公式中的n=1,2,3,4,5時，數(shù)列{}的前5項依次為1，0，-1，0，1圖象如圖4.1-2（2）所示.例2根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）1，，，，…；

（2）2，0，2，0，….合作探究解：（1）這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為（2）這個數(shù)列的前4項的奇數(shù)項是2，偶數(shù)項是0，所以它的一個通項公式為注：或常常用來表示正負相間的變化規(guī)律.課堂練習1概念辨析（1）數(shù)列

與

相同嗎？

（2）數(shù)列與函數(shù)

提示：（1）數(shù)列與是不相同的.表示數(shù)列：

就是數(shù)列的通項公式，否則，

與

完全不同

的圖象是線，的圖象是

上的點

課堂練習2以數(shù)列2，4，6，8，10，…為例，你能用幾種方法表示這個數(shù)列？答案：①

通項公式法：②列表法

n123…k…246…2k…③圖象法課堂練習3根據(jù)以下數(shù)列的前4項寫出數(shù)列的一個通項公式

①

②－3，7，-15，31，…

③2，6，2，6，…④

⑤

解：①

均是分式且分子均為1，分母均是兩因數(shù)的積，第一個因數(shù)是項數(shù)加上1，第二個因數(shù)比第一個因數(shù)大2，∴

各項的絕對值恰是2的整數(shù)次冪減1，∴

．課堂練習

解：③

為擺動數(shù)列，

或④

由題意得數(shù)列的通項公式為

⑤

數(shù)列即據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為

.課堂練習4已知數(shù)列的每一項是它的序號的算術平方根加上序號的2倍．(1)求這個數(shù)列的第4項與第25項；(2)253和153是不是這個數(shù)列中的項？如果是，是第幾項？解：(1)由題設條件，知

∴

.(2)假設253是這個數(shù)列中的項，則，解得n＝121.∴253是這個數(shù)列的第121項．假設153是這個數(shù)列中的項，

解得

這與

n是正整數(shù)矛盾，∴153不是這個數(shù)列中的項．課堂練習5已知是R上的奇函數(shù)，

則數(shù)列的通項公式為（

）A．B.C.D.C課堂練習解：

故

代入得：

∴

函數(shù)

關于點

對稱，令

則

得到

∵

倒序相加可得

即

答案：C課堂總結1數(shù)列的概念

一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.2數(shù)列的表示①通項