4.2.2等差數(shù)列前n項和第1課時+【高效備課精講精研】高二下學期數(shù)學人教A版(2019)選擇性必修第二冊

4.2.2等差數(shù)列的前n項和

（第1課時）人教A版（2019）選擇性必修第二冊新知導入據(jù)說，200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：1+2+3+4+…+100=？其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=10150=5050高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…

①前100項的和的問題.新知講解思考你能說說高斯在求和過程中利用了數(shù)列①的什么性質嗎？你能從中得到求數(shù)列①的前n項和的方法嗎？答：高斯在計算中利用了這一特殊關系即上節(jié)課例5性質的應用

若{}是等差數(shù)列，,且.則

1，2，3，…，n，…

①等差數(shù)列中，下標和相等的兩項和相等新知講解將上述方法推廣到一般，可以得到：當n是偶數(shù)時，有

于是有

當n是奇數(shù)時，有

首尾配對要分奇、偶數(shù)討論所以，對于任意正整數(shù)n，都有

合作探究思考

在求前n個正整數(shù)的和時，要對n分奇數(shù)、偶數(shù)進行討論，比較麻煩.能否設法避免分類討論？如果對公式

作變形，可得

它相當于兩個相加，而結果變成n個（n+1）相加.受此啟發(fā)，我們得到下面的方法：合作探究

將上述兩式相加，可得

所以

倒序相加法可避免分類討論合作探究探究上述方法的妙處在哪里

？觀察左圖，從幾何上體會倒序求和的方法.

將兩式相加，得到n個相同的數(shù)（即n+1）相加，從而把不同數(shù)的求和轉化為n個相同的數(shù)求和.合作探究對于等差數(shù)列

，因為探究

由上述方法得到啟示，我們用兩種方式表示

①

②①+②,得

新知講解由此得到等差數(shù)列的前n項和公式(1)把等差數(shù)列的通項公式代入公式（1），可得(2)合作探究等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式

合作探究思考1.等差數(shù)列前n項和的公式（1）和公式（2）有什么共同點和不同點：提示：

不同點是

還需知道，

還需知道d，

解題時根據(jù)已知條件決定選用哪個公式.注：①兩個公式一共涉及

五個量.通常已知其中三個，可求得其余兩個，而且方法就是解方程（組），這也是等差數(shù)列的基本問題形式之一

②當已知首項，末項，項數(shù)n時，用公式.用此公式時，有時要結合等差數(shù)列的性質，如,從而有

合作探究思考2．等差數(shù)列中，

與

相等嗎？表示什么意義？提示：相等，表示等差數(shù)列前n項的平均數(shù).3.不從公式（1）出發(fā)，你能用其他方法得到公式（2）嗎？提示：從等差數(shù)列前n項和的定義及通項公式入手

合作探究例6已知數(shù)列是等差數(shù)列.（1）若，，求

；（2）若，，求；（3）若，,，求n.分析：

（3）已知公式

中的，合作探究解：（1）若，，求

；（2）若，，求；（1）因為，，根據(jù)公式，可得.（2）因為，，所以

根據(jù)公式，可得

合作探究（3）若，,，求n.把，,代入得整理，得解得

n=12，或n=-5（舍去）所以

n=12解：解：合作探究例7已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的首項和公差嗎？分析：把已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式（2）后，可得到兩個關于的二元一次方程，解解這兩個二元一次方程所組成的方程組，就可以求得.解：由題意，知，.把它們代入公式，得

解方程組，得

所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項和公差.合作探究探究

為常數(shù)，且

觀察數(shù)列的特點，研究它是一個怎樣的數(shù)列，并證明你的結論.提示：觀察C列，顯然，是等差數(shù)列。合作探究思考：

為常數(shù)，且

那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，則它的首項與公差分別是多少？分析：

當n=1時，又∵當n=1時，∴

當且僅當r=0時，滿足故只有當r=0時，該數(shù)列才是等差數(shù)列，此時，首項，公差當

時，不滿足，此時，數(shù)列不是等差數(shù)列.合作探究結論：數(shù)列是等差數(shù)列(p、q為常數(shù))課堂練習1（改編例7）已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和嗎？解法1：由題意知，.∴

解得:于是

得∴解法2：設

則得：

∴課堂練習2在等差數(shù)列中，（1）已知，，求；（2）已知，求.解：（1）法1：∵，

∴，得，

∴法2：

∴

即∴，

∴課堂練習2在等差數(shù)列中，（2）已知，求.（2）法1：∵，∴

∴法2:∵∴

解：課堂練習3已知是數(shù)列的前n項和，根據(jù)條件求.(1);(2).解：（1）當n＝1時，，當

時，又

不適合上式，所以課堂練習3已知是數(shù)列的前n項和，根據(jù)條件求.(1);(2).解：（2）當n＝1時，，

當

時，

顯然，

適合上式.所以.注:(1)已知求，其方法是

，這里常常因為忽略條件“”而出錯

課堂練習4若等差數(shù)列的前n項和為，則該數(shù)列的公差為________．解法1：

當n＝1時滿足，所以d＝2A.解法