一類非線性波方程的行波解

一類非線性波方程的行波解

在這項工作中，作者使用雅寶橢圓函數(shù)法求解了橢圓方程的解，并描述了大而維保守系統(tǒng)的樹枝斷裂運動。橢圓軸的斷裂運動和非周期運動的典型示例。在本文中，基于以上內容，本文對該方法提出了一些非線性波方程的分析解，并獲得了許多非線性波的重要性質，尤其是孤立波的解。使用kdv方程、雍正戈頓方程、非線性薛定形方程（nms）和修正kdv方程（dav方程）。1非線性波方程的行波求解在“從立方拋物線談起(1)”一文中,曾經(jīng)說明,對于一維保守系統(tǒng)的運動來說,若勢能函數(shù)U(x)為4次多項式,則U′(x)和¨x都可以寫成3次多項式,有¨x=A0+A1x+A2x2+A3x3(1)因而¨x-x曲線為立方拋物線,在這種情況下,橢圓方程(1)的解(除開一些可以直接積分得到的情形外),總可以用雅可比橢圓函數(shù)來得到滿足初始條件的解析解,所用到的無非是雅可比橢圓函數(shù)的定義式,導數(shù)公式以及由之導出的一些常微分方程,不難用嘗試函數(shù)來解.把上述方法用于非線性波方程時,可以用行波法進行,也就是說,把波函數(shù)u(x,t)的解寫為下列形式u=u(ξ),ξ=c-ct(2)其中,c為常數(shù),相當于波的移動速度,在(ξ,u)平面上u-ξ曲線給出的是在以速度c向前移動(設c>0)的參考系上觀察到的波形.我們先以KdV方程的行波解,說明行波解的求解歸結為橢圓方程的解,從而可以借助雅可比橢圓函數(shù)得到解析解以滿足給定的初始條件(KdV方程的引入及具體求解留待下一節(jié)再討論).KdV方程可寫為?u?t+u?u?x+β?3u?x3=0(3)一般把求偏導數(shù)??t???x等用右下角標t,x表示,記作?u?t=ut,?u?x=ux,?3u?x3=uxxx等,式(3)可簡記為ut+uux+βuxxx=0采用行波法解時,令ξ=x-ct,則式(3)化為-cuξ+uuξ+βuξξξ=0上式兩邊對ξ積分一次得-cu+12u2+β2d2udξ2=A其中,A為積分常數(shù),于是u(ξ)滿足橢圓方程d2udξ2=12β(2A+2cu-u2)因而u(ξ)可借助雅可比橢圓函數(shù)解出.其他非線性波方程、SG方程、NLS方程等也可用這種方法求解.下面是幾個有代表性的橢圓方程的雅可比橢圓函數(shù)解(參看文獻),它們都可以用雅可比橢圓函數(shù)的定義式及導數(shù)公式直接導出(各式中的k表示雅可比橢圓函數(shù)的模).(1)y=asnx，k是方程y′2=μ2A2(A2-y2)(A2-k2y2)(4a)或方程y″=-μ2(1+k2)y+2μ2k2A2y3(4b)的解.(2)y=acnx，k是方程y′2=μ2A2(A2-y2)(k′2A2+k2y2)(5a)或方程y″=μ2(2k2-1)y-2μ2k2A2y3(5b)的解.(3)y=adnx，k是方程y′2=μ2A2(A2-y2)(y2-k′2A2)(6a)或方程y″=μ2(2-k2)y-2μ2A2y3(6b)的解.(4)y=ansx，k是方程y′2=μ2A2(y2-A2)(y2-k2A2)(7a)或方程y″=-μ2(1+k2)y+2μ2A2y3(7b)的解.(5)x求導法.y′2=μ2A2(A2+y2)(k′2A2+y2)(8a)或方程y″=μ2(2-k2)y+μ2A2y3(8b)的解.以上各式中(4a)、(5a)、(6a)可以直接由sn、cn、dn定義式、關系式及導數(shù)公式導出,而(4b)、(5b)、(6b)則可分別由(4a)、(5a)、(6a)兩邊求導后得出.式(7)中ns為1sn的簡記,式(8)中cs為cnsn的簡記,也可直接由1sn及cnsn對x求導得出.計算均簡便,從略.其他一些公式也可仿此導出,從略(可查看文獻).這些公式本文將直接引用,見后面各節(jié).2kv方程的行波解與橢圓方程2.1波速計算及波速近似公式這里介紹的KdV方程橢圓余弦波解和鐘形孤立波解是在孤立波研究史上有重要意義的解.關于孤立波(Solitarywave),已有不少文章作了深入淺出的介紹(例如,可參看本文作者在“孤立波及其相互作用的初等分析”一文中所引用的一些參考文獻),不再贅述.可以用淺水波為例引入KdV方程,對靜水深度為h0的淺水波而言,若波數(shù)為k=2π/λ,單色余弦行波的波速為c0,則波速c有近似公式c=c0+δ0u-16c0(h0k)2其中,c0=√gh0;δ0=c0/2h0.這里波速與位移u有關(非線性)且與波長有關(色散).非線性效應使前進中的波包變窄,前沿變陡,色散效應則使波包變寬、展平.當兩種相反的效應達到平衡時,可以形成穩(wěn)定的鐘形的波包,即鐘形孤立波.由平面波的表達式u(x,t)=Aexp[ik(x-ct)]和淺水波相速c的近似表達式,可以導出波包所滿足的非線性偏微分方程(演化方程)為ut+(c0+δu)ux+16ch20uxxx=0若取隨單向傳播的波以線性波的波速c0前進的動坐標系(ξ,τ)ξ=x-c0t,τ=t則動坐標系中,方程化為μτ+δ0uuξ+16ch20uξξξ=0這樣,我們就引入了KdV方程.采用適當?shù)臍w一化變量它可以寫成ut+uux+βuxxx=0(9)2.2dv方程一—用行波法求KdV方程的解用行波法求解時,把方程的解寫成u=u(ξ),ξ=x-ct其中,c為常數(shù),相當于波的前進速度,將上式代入方程(9),把它化為-cuξ+uuξξ+βuξξξ=0(10)這里u就是在運動參考系中所看到的波.積分一次,得βd2udξ2+12u2-cu=A其中,A為積分常數(shù),兩邊同乘以dudξ,再積分一次,得(dudξ)2=-13β(u3-3cu2-6Au-B)(11)其中,B為另一積分常數(shù),這樣,就把KdV方程的求解化為非線性常微分方程的求解.2.3嘗試解的解析我們討論當方程(11)右邊的三項式有3個零點u1,u2,u3的情形.不失一般性,可設u1>u2>u3,于是方程可改寫為(dudξ)2=-13β(u-u1)(u-u2)(u-u3)(12)其中,u1+u2+u3=3c,u1u2+u2u3+u3u1=-6A,u1u2u3=B.分別考慮β>0和β<0兩種情形.(1)β>0的情形.當u1>u>u2時,方程(12)右邊取正值,u可以有實函數(shù)解,利用雅可比橢圓函數(shù)公式可知(cn2)′=-2sn?cn?dn[(cn2)′]2=-4(cn2-1)cn2[k2cn2-(k2-1)]將此式與方程(12)比較,可以看出,如果取嘗試解u=u2+Acn2(ωξ,k)(13)可以滿足方程.將嘗試解代入方程(12),令左邊和右邊cn4、cn2的系數(shù)以及常數(shù)項分別相等,得到A=12βω2k2(2u2-u1-u3)=12βω2(1-2k2)A(u2-u3)(u2-u1)=12βω2(k2-1)A容易看出,若取A=u1-u2,則由第一式和第三式可得k2=u1-u2u1-u3,代入第二式可得ω2=u1-u312β.于是,在β>0,u1>u>u2情況下的解為u=u2+(u1-u2)cn2[√u1-u312βξ,k](14a)其中模k=√u1-u2u1-u3<1(14b)(2)β<0情形.若u2>u>u3,則(du?ξ)2取正值,可得實數(shù)值.仿前,可解得u=u2-(u2-u3)cn2[u1-u2-12βξ,k](15a)其中模k=√u2-u3u1-u3<1(15b)式(14)和式(15)是KdV方程(9)的行波解,它們都是橢圓余弦波(cnoidalwaves).(3)考慮k→0及k→1兩種退化情形.k→0時;橢圓余弦波退化為余弦波,故當k→0時(即β>0而u1-u2→0或β<0而u2-u3→0時),成為小振幅的線性波.k→1時,橢圓余弦波退化為sech2型(鐘形)的波,在移動過程中,波形保持不變,這就是鐘形孤立波.對于β>0情形,解式(14)化為u=u2+(u1-u2)sech2√u1-u312βξ(16)可見鐘形孤立波的寬度√12βu1-u3與β的平方根成正比,與(u1-u3)的平方根成反比.注意,當u2=u3=0時,由式(11)和式(12)可知(dudξ)=-13βu2(u-3c)故u1=3c,于是式(16)可以改寫為u=3csech2√c4β(x-ct)(17)這表明,當出現(xiàn)鐘形孤立波時,波的高度與波速c成正比,但波的寬度則與波速的平方根成反比,較高、較窄的孤立波傳播速度較大.鐘形孤立波如圖1所示(圖中um表示波的高度,W表示波的半寬度).由上面的分析可知,KdV方程所表征的非線性波的基本形式是橢圓余弦波,它的特殊情形是線性波(k→0)和孤立波(k→1),在這個意義上,模k表征非線性影響的強弱,k值越大(最大值為1),非線性影響越大.3正交戈登方程與孤立波解3.1單擺—正弦戈登方程正弦戈登(Sine-Gordon)方程φxx-φtt=sinφ(18)是自然科學和應用科學中出現(xiàn)的另一個重要的非線性波方程(演化方程),在晶體中位錯的傳播、磁自旋波在鐵磁材料中的傳播、約瑟夫森(Josephson)結中繼傳輸線等乃至生物物理的諸多問題中都出現(xiàn)了這一方程.這里從單擺彈簧鏈模型這一特例引入SG方程.考慮如圖2所示的N個相連的單擺—彈簧(稱為單擺彈簧鏈)運動方程.N個單擺懸掛在橫置的諸彈簧上,各擺的長度l和質量均相同,每個螺旋彈簧的長度和彈性系數(shù)也相同,則第i個單擺在垂直掛彈簧的平面內作扭轉運動的運動微分方程可寫為Ιd2φdt2=Κ(φi-1-2φi+φi+1)-Fsinφ式中,I為擺的轉動慣量;K是螺旋彈簧的扭轉系數(shù);Fsinφ是由重力提供的恢復力矩;F可視為常數(shù).若把相鄰兩單擺懸掛點間的距離記作Δx,則對方程兩邊同除以K(Δx)2,就變成1(Δx)2(φi-1-2φi+φi+1)-Ι/ΔxΚΔx??2φ?t2=F/ΔxΚΔxsinφ在N→∞,Δx→0的連續(xù)系統(tǒng)的極限情況下,上式左邊第一項取連續(xù)近似,可表示為?2φ?x2,這樣,按(K/F)1/2Δx和(I/F)1/2的比例,分別取新的位置和時間坐標(x和t),就可以得到SG方程(18).這里sinφ給出非線性作用(如果沒有這一項,SG方程就變?yōu)榫€性的波動方程).下面,把SG方程寫成一般形式utt-c20uxx+f20sinu=0(19)用行波法求解.3.2u3000emnu/2模型設ξ=x-ct,u=u(ξ),則SG方程(19)化為(c2-c20)d2udξ2+f20sinu=0(20)這里考慮c2>c20的情況(c2<c20情況與之類似,從略).記作m2=f20c2-c20,則方程(20)化為與無阻尼單擺運動方程相同的數(shù)學形式d2udξ2+m2sinu=0(21)依照單擺的情況,可以得到首次積分12(dudξ)2+m2(1-cosu)=Η(22)其中,H為積分常數(shù),H>0.令x=sinu2,k2=Η2m2(23)則方程(22)化為(dxdξ)2=m2(1-x2)(k2-x2)(24)和單擺情況一樣,若k2<1,則可求得方程的解為橢圓正弦函數(shù)解[參看公式(4a)]x=sinu2=±ksn[m(ξ-ξ0),k](25)其中,k=√Η2m2；m2=f20c2-c20這就是c2>c20時SG方程的周期解(橢圓正弦波解),其中ξ0為積分常數(shù).下面討論橢圓函數(shù)解的退化情況.當k→0時,式(23)化為sinu2=±ksinm(ξ-ξ0),(-π<u<π)這是SG方程的線性波解.當k→1時,式(25)化為雙曲線函數(shù)型的解sinu2=±tanh[m(ξ-ξ0)]=tanh[±m(xù)(ξ-ξ0)](26)利用雙曲線函數(shù)的定義,上式很容易化為e±m(xù)√ξ-ξ0=√1+sin(u/2)1-sin(u/2)=1+tan(u/4)1-tan(u/4)=tan(y4+π4)于是式(26)可以改寫為u=-π+4arctan[e±m(xù)(ξ-ξ0)](27)這叫做SG方程(20)的孤立波解(這是廣義的孤立波,它包含沖擊波),其中u+=-π+4arctan[em(ξ-ξ0)](28)稱為扭結波(kinkwave),也稱為拓撲孤立子(topologicalsoliton),見圖3a,而u-=-π+4arctan[e-m(ξ-ξ0)]稱為反扭結波(anti-kinkwaves),也稱為反孤立子(anti-soliton),見圖3(b).把式(26)對求導數(shù),就得到dudξ=2m?sechm(ξ-ξ0)這也是一種孤立波的形式.SG方程除了扭結孤立子解外,還有一種呼吸孤立子解(breathersoliton).我們把SG方程(18)寫成uxx-utt=sinu這一方程的求解比較復雜,這里介紹一種較簡捷的求特解方法.由三角學公式可得sinu=4tanu4(1-tanu4)(1+tan2u4)2(29)容易想到,我們可以設tanu4=Τ(t)X(x)(30)用分離變量法解方程(18).用微分法容易求出uxx=4Τ(X2+Τ2)2[(X2+Τ2)X″-2XX′2](31)utt=4X(X2+Τ2)2[(X2+Τ2)Τ″-2ΤΤ′2](32)將式(29)、式(31)、式(32)代入方程(18),就得到(X2+Τ2)(X″X+Τ″Τ)-2[(X′)2+(Τ′)2]=Τ2-X2(33)容易看出,如果取X′2=α1X2+β1,Τ′2=α2Τ2+β2其中,α1、α2、β1、β2為待定系數(shù),則X″/X=α1;T″/T=α2;方程(33)就化為2(α1X2+β1+α2Τ2+β2)-(X2+Τ2)(α1+α2)=X2-Τ2于是,當α1-α2=1,β1+β2=0時,嘗試解(30)能滿足方程.取α1=m2,α2=m2-1,其中m2<1并取β1=-n2,β2=n2,即求出特解為tanu4=msin(1-m2t+c1)1-m2cosh(mx+c2)這叫做呼吸子解,它描述一種脈動式的擾動,是一種強度作周期Τ=2π1-m2的變化的波包,如圖4所示.圖4中取c1=c2=0,m=0.8,它的時間周期是2π1-m2,在軸上方和下方周期性地變化,很像不斷呼吸的樣子,故稱為呼吸子(呼吸孤立子,breathersolition),它是一種定態(tài)波.另一方面,如果設特解為u(x,t)=4arctan{X(x)Τ(t)}(34)代入SG方程,還可以得到描述兩個沿相反方向運動的扭結孤立波和反扭結孤立波的迎頭碰撞,它是孤立波間相互作用的一個實例(事實上,各種孤立波都有由于孤立波之間的相互作用出現(xiàn)“碰撞”的情況,但分析較為復雜,這個例子是比較簡單易懂的一個).將特解式(34)代入SG方程后,仿前,得到2(X′2+Τ′2)-(X2+Τ2)(X″X+Τ″Τ)=X2-Τ2(35)它和式(33)一樣,只是X和T彼此對換.取X′2=α1X2+β1,T′2=α2T2+β2,可知,當α1-α2=1,β1+β2=0時,能滿足方程.若取α1=m2,α2=m2-1,并取β1=n2,β2=-n2,就得到圖5扭結波與反扭結波的迎頭碰撞X(x)=nmsinhmxΤ(t)=nm2-1coshm2-1t于是,寫作m=11-c2,就求得特解為u(x,t)=4arctan{c?sinhx1-c2coshct1-c2}(36)我們注意到,u(x,t)的漸近形式是:t→-∞時,tanu4～cexp{x+ct1-c2}-cexp{-x-ct1-c2}t→+∞時tanu4～-cexp{-x+ct1-c2}+cexp{x-ct1-c2}這說明,特解式(36)給出了兩個沿相反方向運動的扭結孤立波和反扭結孤立波的迎頭碰撞,碰撞后形狀和速度都保持不變,只有相位(可把指數(shù)函數(shù)前的因子c吸收到指數(shù)上)改變,這樣兩個扭結、反扭結波的對撞如圖5所示(圖中用v表示波速).4非線性薛定方程中的橢圓形函數(shù)波與包絡式孤立波之間的波4.1群速度上式k非線性薛定諤方程(NonlinearSchr?dingerequation,簡記為NLS方程或NLSE),又稱立方薛定諤方程,它是描述非線性調幅波(即非線性波包)的方程,其一般形式為i?u?t+α?2u?x2+β|u|2u=0(i=-1)(37)它和薛定諤方程的差別主要出現(xiàn)在與波函數(shù)u的立方成比例的非線性項β|u2|u,故亦稱立方薛定諤方程.我們用在有色散并且折射率與光強有關的光學介質(例如平板光波導和光纖)中波包的傳播為例,引入這個方程.設有一調幅波E?(x,t)=E(x,t)exp[i(k0x-ω0t)]式中,k0和ω0各為載波的波數(shù)和角頻率;E(x,t)為包絡函數(shù),表示場強E的頻譜在ω0附近有一定的寬度Δω0.可以把包絡函數(shù)表示為E(x,t)=∫A(ω)exp[i(k-k0)x-i(ω-ω0)t]dω當有色散時,在二級近似下,對于近單色波包(Δω0?ω0),波數(shù)k與角頻率ω的關系是k≈k0+(dkdω)0(ω-ω0)+12(d2kdω2)0(ω-ω0)2上式中,(dkdω)0簡記為k′,是群速度vg的倒數(shù);(d2kdω2)0簡記為k″,給出色散(正常色散,k″>0;反常色散,k″<0).若考慮到非線性效應,則介質中的波數(shù)k=(n0+n2|E|2)ωc其中,n0為折射率的線性部分n2;為Kerr型(自聚焦)介質的非線性系數(shù).因此,當色散效應與非線性效應同時存在時k≈k0+k′(ω-ω0)+12k″(ω-ω0)2+g|E|2g=n2?2πλ(38)容易證明,對于準單色波包,包絡函數(shù)E(x,t)滿足的非線性偏微分方程為i(??x+k′??t)E-12k″?2E?t2+g|E|2E=0(39)若取以群速vg=1/k′隨波包運動的動坐標系來描述,并令ε=Δω0ω0為無量綱的脈沖寬度,則可把坐標(x,t)換成動坐標(ξ,τ),其中:ξ=ε2x,τ=ε(t-k′x)于是就得到i?E?ξ-12k″?2E?t2+g|E|2ε2E=0在反常色散情況(k″<0)下,可把這方程改寫成無量綱形式i?u?X+12?2u?Τ2+|u|2u=0(40)它的數(shù)學形式與非線性(立方)薛定諤方程(取?=m=1)i?ψ?t+12?2ψ?x2+|ψ|2ψ=0完全相似,我們可以把X換成t,T換成x,將方程(40)改寫為i?u?t+12?2u?x2+|u|2u=0(41)在正常色散情況(k″>0)下,仿此可得方程i?u?t-12?2u?x2+|u|2u=0(42)方程(41)、(42)分別對應于NLS方程(37)中α=±12?β=1的情形.下面,求一般形式的NLS方程(37)i?u?t+α?2u?t2+β|u|2u=0的行波解.很有意思的是,這方程有形式為u=Aexp[i(kx-ωt)](43)的單色波解,其中A,ω和k分別是振幅、角頻率和波數(shù),這種形式的解通常只有線性方程才有.將式(43)代入NLS方程(37),立刻得到色散(頻散)關系式ω=αk2-β|A|2(44)它說明,非線性波的色散關系既與波數(shù)k有關,又與振幅A有關.由上式得到群速度為vg=dωdk=2αk(45)因為式(44)是根據(jù)式(43)得到的,所以式(44)可以看作是NLS方程(37)的最低階的近似,相對應的式(43)是它的最低階的近似解(即把窄波包近似成單色波,其頻率為波包中心的頻率).我們來求包絡波形式的解,即設解為u(x,t)=φ(ξ)exp[i(kx-ωt)]?ξ=x-vgt這相應于取以群速vg沿x軸正向運動的動坐標系描述包絡波.代入,即得αd2φdξ2+i(2αk-vg)dφdξ+(ω-αk2)φ+βφ3=0這里,因為vg=2αk,所以第二項等于零,方程滿足φ(ξ)是實函數(shù)的通常要求.記作ω-αk2=-γ?(γ>0)(46)則方程簡化為d2φdξ2=γαφ-βαφ3(47)注意,上式右邊是φ的三次多項式.所以,包絡函數(shù)可以通過雅可比橢圓函數(shù)的解析來得到.下面分三種情況求包絡波形式的解.4.2雅比橢圓函數(shù)調幅波和單帶橢圓函數(shù)波是有效的(1)嘗試解為adn,adn積分常數(shù)這相當于前面提到的在反常色散區(qū)的Kerr型自聚焦介質中傳播的非線性波的情形.用導數(shù)公式求出dn(u)的二階導數(shù)為d2du2dn(u)=(2-k2)dn(u)-2[dn(u)]3將此式與式(47)比較可知,可以取嘗試解φ(ξ)=Adn[C(ξ-ξ0),k]其中,ξ0是由初始條件確定的積分常數(shù);k為模;A、C為待定常數(shù).代入方程(47),即求出:A=±2γβ(2-k2)?C=γα(2-k2)故特解為φ(ξ)=±2γβ(2-k2)dn[γα(2-k2)(ξ-ξ0),k](48)當1>k>0時,給出的振幅函數(shù)為第三類雅可比橢圓函數(shù)的調幅波.當k=0時,dn退化為1,給出的是φ=±γβ=常數(shù),這是平面余弦波(線性波).當k=1時,dn退化為sech,給出的包絡函數(shù)是φ=±2γβsechγα(ξ-ξ0)(49)這是稱為包絡型的孤立波(envelopsoliton),它呈單峰形以群速vg向前傳播,如圖6所示.(2)包絡型規(guī)則由sn(u)二階導數(shù)公式,有d2du2sn(u)=-(1+k2)sn(u)+2k2[2sn(u)]3與方程(47)比較可知,可以取嘗試解φ(ξ)=Asn[C(ξ-ξ0),k]代入方程(47),即得到A=±k2γkβ(1+k2)?C=[-γα(1+k2)]故解為φ(ξ)=±k2γβ(1+k2)?sn[-γα(1+k2)(ξ-ξ0),k]當k→0時,sn退化為sin,有φ(ξ)=±k2γβsin[-γα?(ξ-ξ0)]當k→1時,sn退化為tanh,有φ(ξ)=±γβtanh[-γ2α(ξ-ξ0)]它也是孤立波解,但在中心處(ξ=ξ0)振幅最小,離中心越遠,振幅越大,趨近于γ/β,所以是一種“暗孤立波”或“暗孤子”,而前面α>0,β>0的情形給出k→1時為包絡型孤立波,則是“亮孤立波”或“亮孤子”.(3)線性調幅波的解析由雅可比橢圓函數(shù)的導數(shù)公式有d2du2cs(u)=(2-k2)cs(u)+2k[cs(u)]3這里cs(u)=cn(u)sn(u)(與三角函數(shù)的余切函數(shù)cotu=cos(u)sin(u)相對應).與