九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專(zhuān)題提分精練阿氏圓小題(解析版)

專(zhuān)題18阿氏圓小題1.如圖，在AABC中，NA=90。，AB=AC=4,點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PC的最小值等于（ ）ABA.4 B.3√2 C√17 D.155【解答】解：在AB上截取AQ=1,連接AP,PQ,CQ-點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn),AP1/.=,AB2=AP=rQ,AQ=1.AQl.? ——,AP2?.?/PAQ=NBAP:.AAPQsAABP.PQ—2PB:2PB+PC—PC+PeCQ在RtAACQ中，AC=4,AQ—1:QB—aACC2+AQ2—Vi7:1PB+PC的最小值√172故選：C0 C2.如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8,NB—60。,動(dòng)點(diǎn)，則PD-1PC的最大值為 2x37.2 — —圓B的半徑為4,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)【解答】解：連接PB,在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=2,連接PG,DG,過(guò)點(diǎn)D作DH1BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H?.?PB=4,BG=2,BC=8.??PB2=BG?BCPBBC/. = ,BGPB?.?/PBG=NCBP.??APBGSACBPPGPB1/.==一,PCBC2.??PG=1PC2?四邊形ABCD是菱形，.??AB//CD，AB=CD=BC=8:.NDCH=NABC=60°在RtACDH中，CH=CD?cos60°=4，DH=CD?sin60°=4v3.??GH=CG+CH=6+4=10.??DG=CGH2+DH2=%102+(4√3)2=2√37PPD--PC=PD-PG4DG2.??PD-1PCW2√372.??PD-1PC的最大值為2√372.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC的中點(diǎn)，以B為圓心，BE為半徑作OB，點(diǎn)P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD、PC，則PD+1PC的最小值為52【解答】解：如圖，在BC上取一點(diǎn)T，使得BT=1,連接PB,PT,DT?四邊形ABCD是正方形，.??NDCT=90°?.?CD=4，CT=3.??DT=CCD2+CT2=√42+32=5;PB=2，BT=1，BC=4:.PB2=BT?BCPBBC. — ? — ，BTPB?.?/PBT=NPBCΛ?PBTSACBPPTPB1: — ——，PCCB2:PT—1PC2PPD+-PC—PD+PT)DT—52:PD+1PC的最小值為5，2故答案為：5．.如圖，扇形AOB中，NAOB=90°,OA=6,C是OA的中點(diǎn)，D是OB上一點(diǎn)，OD—5,P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+1PD的最小值為 13.2 2—【解答】解：如圖，延長(zhǎng)OA使AE=OB，連接EC,EP,OPBAOBOB=6,C分別是OA的中點(diǎn)，.??OE=12,OP=6,OC=AC=3.??OP=OC=1,且NCOP=NEOPOEOP2.??AOPESAOCPPCOP1

.?. = =—,PEOE2.??EP=2PC:.PC+1PD=1(2PC+PD)=1(PD+PE)

22 2:當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PC+1PD的值最小，

2?.?DE=ODD2+OE2=√52+122=13:PD+PE^DE=13:PD+PE的最小值為13,:PC+1PD的值最小值為132 2故答案為：1325.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(4,0),P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OP=2，連?：OP=2,.??OP2=OT?OAOPOA. — ? — ,OTOP???∕POT"AOPAPOT^?AOPPTOP1?———,PAOA2PT—1PA2PB+1PA—PB+PT2BBT=√12+42=`J17PB+PT2v17BP+1AP^√172BP+1PB的最小值為、/172故答案為：、,：17.如圖，在OO中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在OO上，NAOB—90。,OA=6,點(diǎn)C在OA上，且OC—2AC,點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為—4√10_.A0口【解答】解：延長(zhǎng)OB到T，使得BT—OB，連接MT，CT

Ao0M—6，OD—DB—3，OT—12OM2—OD?OTOMOT. — ? — ，ODOMNNMOD—NTOM/.ΔMODSATOMDMOM1MT―OT―2.??MT=2DM：CM+2DM=CM+MTZcT又在RtΔOCT中，NCOT=90°,OC=4,OT=12/.CT=OCC2+OT2=4^++122=4v10/.CM+2DM>4√10/CM+2DM的最小值為4v10/?答案為4√10.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O,P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則\aPA+PB的最小值為—2后一解：設(shè)OO半徑為rOP=r=1BC=2,OB=22r=2√22取OB的中點(diǎn)I，連接PI/OI=IB=22OP2 -—-OI22K2,OBOP運(yùn)=<22OP_OB"~δi~~δp,/o是公共角，ABoPSAPol,PIOI√2?————,,PB~OP~2五..PI=-PB,2五:.AP+-PB=AP+PI，2.??當(dāng)A、P、/在一條直線(xiàn)上時(shí)，AP+J∕j5最小，2作出，筋于￡,'：ZABO=45°，√2.?.IE=BE=——BI=I,2..AE=AB-BE=3,AI=j?∣3^-+12=y/10,近..AP+—PB最小值=A/=屈，2；√2PA+PB=O(PA+^PB),:.√2PA+PB的最小值是√2A∕=√2×λM=2√5.故答案是24.8.如圖，在RtAABC中，ZC=90o,AC=9,JBC=4,以點(diǎn)。為圓心，3為半徑做,分別交AC,BC于D,s兩點(diǎn)，點(diǎn)α是。C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則IPA+M的最小值為—后【解答】解：在AC上截取CQ=1,連接CP,PQ,BQ?.?AC=9,CP=3CP1... =—,AC3?,?CP=3,CQ=1.??AACPs"CQ:.PQ=3AP:.3PA+PB=PQ+PB)BQ:當(dāng)B、Q、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，-PA+PB的值最小，3在RtABCQ中，BC=4,CQ=1:QB=√17:-PA+PB的最小值√173故答案為：％：179.如圖，在RtAABC中，NACB=90。,AC=6,BC=8,D、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=4,P是DE的中點(diǎn)，連接PA,PB，則PA+1PB的最小值為出54 2．【解答】解：如圖，在CB上取一點(diǎn)尸，使得CF=1,連接PF,AF2?：/DCE=90o,DE=4,DP=PE:.PC=1DE=22CF1CP1 =—, =一,CP4CB4CFCP = CPCB-BlCtCF=NBCP,:APCFSABCPPFCF1... = =一,PBCP4.??PF=1PB4:.PA+1PB=PA+PF4++A+PF^AF,AF=CFF2+AC2=、＜2)2+62=-^-245.根+1所＞、詬,?PA+ PB夕 4 2:PA+1PB的最小值為?1454 2故答案為昔.如圖，在AABF中，BF=6,NBAF=60。，則2AB+AF的最大值為 4＜21【解答】解：?.?2AB+AF=2(AB+2AF):求2AB+AF的最大值就是求2(AB+2AF)的最大值，過(guò)F作FE1AB于E，延長(zhǎng)EA到P，使得AP=AE?.?NBAF=60。:EA=1AF=AP2:AB+1AF=AB+AP2EEF=3AAE，PE=2AE由勾股定理得：PF=7A.AE:sinP=FE√3AE√21FP―AAAE"不,：NP為定值，BBC=6是定值，.:點(diǎn)P在AFBP的外接圓上，yBB+AP=BP:.當(dāng)BP為直徑時(shí)，AB+AP最大，即BP'...SinP=SinP=BC=立1,7解得BP'=2√2T??.AB+AP=2√2???.2AB+AC=2(AB+AP)=4v21故答案為：4%21.如圖，OO與y軸、％軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,OO半徑為3,點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)P在弧MN上移動(dòng)，連接PA,PB，則3PA+PB的最小值為—√85_.【解答】解：如圖，在y軸上取點(diǎn)H(0,9),連接BH點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)H(0,9).AO=1,OB=2,OH=9,13OAOPOP39OHNAOP=NPOH,,:.^AOPSAPOHAPOP1HP―OH―3.??HP=3AP:.3PA+PB=PH+PB:.當(dāng)點(diǎn)P在BH上時(shí)，3PA+PB有最小值為HB的長(zhǎng)，:BH=七OB2+OH2=√4+81=√85故答案為：?麗.【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B，所有滿(mǎn)足P=k（k為定值）的P點(diǎn)形成的PB圖形是圓，我們把這種圓稱(chēng)之為“阿氏圓”【問(wèn)題解決】如圖，在AABC中，CB=4，AB=2AC，則AABC面積的最大值為—.3-【解答】解：以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在AABC外部作NCAP=NABC,AP與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P:AAPCSABPA?.?ZG4P=NABCNBPA=NAPCAB=2ACAPCPAC1— — —,BPAPAB2.?.BP=2AP,CP=1AP2=BC=4P=BC=418.?.2AP——AP=4，解得：AP=—23.?.BP=16,CP=4,即點(diǎn)P為定點(diǎn)，33.?.點(diǎn)A的軌跡為以點(diǎn)P為圓心，8為半徑的圓上，如圖，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線(xiàn)，交圓P與點(diǎn)3A，此時(shí)點(diǎn)A到BC的距離最大，即AABC的面積最大，11S =1BC?AP=1X4X8=16AABC2 1 2 3 3故答案為：F13.如圖所示，NACB=60。，半徑為2的圓O內(nèi)切于^ACB.P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM、PN分別垂直于NACB的兩邊，垂足為M、N,則PM+2PN的取值范圍為

6—2√54PM+2PN≤6+2√3 .解：作MH1NP于H，作MF1BC于FPPM1AC,PN1CB:.NPMC=NPNC=90。,:"MPN=360o-ZPWC-/PNC-/C=IW，:.ZMPH=ISOo-ZMPN=60o,.?.HP=PM-cosZMPH=PM?cos600=-PM,2:.PN+-PM=PN+HP=NH，2'：MF=NH,.??當(dāng)MP與。。相切時(shí)，M5取得最大和最小,圖1連接OP,OG,可得：四邊形OPMG是正方形，..MG=OP=2,在RtACOG中，CG=OG-tan60o=2√3,:.CM=CG+GM=2+2√3,在RtACMF中，MF=CM?cosC=(2+2√3)×^=3+√3，JHN=MF=3+0PM+2PN=2(∣PM+PN)=2HN=6+2√3,如圖2,圖？由上知：CG=2√3,MG=2.?.CM=2%?3-2.?.HM=(2√3—2)X?3=3—\32^.?.PM+2PN=2（1PM+PN）=2HN=6—2√32.?.6—2YXPM+2PN≤6+2√3三.解答題（共2小題）14.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，AOAB的頂點(diǎn)O,A,B均在格點(diǎn)上，點(diǎn)E在OA上，且點(diǎn)E也在格點(diǎn)上.(I)OEOB的值為2;3—（II）DE是以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的一段圓弧.在如圖所示的網(wǎng)格中，將線(xiàn)段OE繞點(diǎn)O2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OEf,旋轉(zhuǎn)角為α（0。＜。＜90。）連接EA,EB,當(dāng)EA+3E'B的值最小時(shí)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出點(diǎn)E,,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)E'的位置是如何找到的（不要求證明）—.【解答】解：（1）由題意OE=2,OB=3OE2 =一,OB3故答案為：23．(2)如圖，取格點(diǎn)K,T，連接KT父OB于H，連接AH父DE于E,連接BE、點(diǎn)E即為所求．2故答案為：通過(guò)取格點(diǎn)K、T，使得OH:OD=2:3,構(gòu)造相似三角形將2E'B轉(zhuǎn)化為EH3利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可解決問(wèn)題．15．閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合PA=k(k〉0且k≠1)的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論P(yáng)B最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),稱(chēng)阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問(wèn)題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在％軸，y軸上分別有點(diǎn)C