均值不等式題型匯總

均值不等式題型匯總一、均值不等式：（1）若$a,b\inR$，則$a^2+b^2\geq2ab$（2）若$a,b\inR$，則$ab\leq\frac{a+b}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$時(shí)取“=”）二、二維形式：（1）若$a,b\inR^*$，則$a+b\geq2ab$（當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$時(shí)取“=”）（2）若$a,b\inR^*$，則$ab\leq\frac{a+b}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$時(shí)取“=”）三、三維形式：（1）若$a,b,c\inR^*$，則$a+b+c\geq3abc$（當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c$時(shí)取“=”）（2）若$a,b,c\inR^*$，則$abc\leq\frac{a+b+c}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c$時(shí)取“=”）方法一：湊項(xiàng)1.求函數(shù)$f(x)=4x^2+\frac{16}{x^2+1}$的最小值。解：原函數(shù)化為$f(x)=4(x^2+1)+\frac{16}{x^2+1}-4$，因?yàn)?4(x^2+1)+\frac{16}{x^2+1}\geq2\sqrt{4(x^2+1)\cdot\frac{16}{x^2+1}}=16$，所以$f(x)\geq16-4=12$。當(dāng)且僅當(dāng)$4(x^2+1)=\frac{16}{x^2+1}$即$x=1$，$x=-1$時(shí)，$f(x)_{min}=12$。2.設(shè)$x<-1$，求函數(shù)$y=\frac{(x+1)^2}{4(x+1)}+5$的最值。解：因?yàn)?x<-1$，即$x+1<0$，所以$-(x+1)>0$，則$\frac{(x+1)^2}{4(x+1)}+5=-\left[-(x+1)+\frac{1}{-(x+1)}\right]\leq-2(-(x+1))\cdot\frac{1}{-(x+1)}=-4$。當(dāng)且僅當(dāng)$-(x+1)=\frac{1}{-(x+1)}$，即$x=-3$時(shí)，$y$有最大值，且$y_{max}=-4+5=1$，$y$無最小值。3.已知$x<\frac{5}{4}$，求函數(shù)$y=4x-2+\frac{1}{4x-5}$的最大值。解：$x<\frac{5}{4}$，$\therefore5-4x>0$，$\thereforey=4x-2+\frac{1}{4x-5}=-\frac{(5-4x)+1}{4x-5}+3\leq-2+3=1$。當(dāng)且僅當(dāng)$5-4x=\frac{1}{4x-5}$，即$x=1$時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)$x=1$時(shí)，$y_{max}=1$。4.當(dāng)$x=2$時(shí)，求$y=x(8-2x)$的最大值。解：當(dāng)$x=2$時(shí)取等號(hào)，當(dāng)$x=2$時(shí)，$y=x(8-2x)$的最大值為8。5.設(shè)$\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$，求函數(shù)$y=4x(3-2x)$的最大值。解：$\because\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$，$\therefore3-2x>0$，$\thereforey=4x(3-2x)=2\cdot2x(3-2x)\leq2\cdot\frac{(2x+3-2x)^2}{4}=2$。當(dāng)且僅當(dāng)$2x=3-2x$，即$x=\frac{3}{4}$時(shí)，$y$取最大值，且$y_{max}=2$。=3。解析：這篇文章的格式錯(cuò)誤比較明顯，首先是符號(hào)的問題，應(yīng)該用正常的符號(hào)代替文章中的特殊符號(hào)。其次是公式的排版問題，應(yīng)該使用LaTeX排版，使得公式更加清晰易讀。在修改后，文章如下：1.求函數(shù)$y=x^2(1-3x)(\frac{1}{3}<x<1)$的最大值。解：$y=\frac{4}{9}\cdot3x\cdot3x\cdot(1-3x)\leq\frac{4}{9}\left(\frac{2}{3}(1-3x)+\frac{1}{3}\right)^3=\frac{243}{4}.$當(dāng)且僅當(dāng)$3x=\frac{2}{3}(1-3x)$，即$x=\frac{2}{9}$時(shí)，$y=\frac{243}{4}$，即最大值為$\frac{243}{4}$。2.求函數(shù)$y=2x^2+\frac{3}{x}(x>0)$的最小值。解：$y=2x^2+\frac{3}{2x}+\frac{3}{2x}\geq3\sqrt[3]{2x^2\cdot\frac{3}{2x}\cdot\frac{3}{2x}}=3\sqrt[3]{\frac{27}{4}}=\frac{9}{\sqrt[3]{4}}.$當(dāng)且僅當(dāng)$2x^2=\frac{3}{2x}$，即$x=\sqrt{\frac{3}{4}}$時(shí)，$y=\frac{9}{\sqrt[3]{4}}$，即最小值為$\frac{9}{\sqrt[3]{4}}$。3.已知$x>-1$，求函數(shù)$y=\frac{x^2+7x+10}{x+1}$的值域。當(dāng)$x>-1$時(shí)，$y=\frac{x^2+7x+10}{x+1}=\frac{(x+1)(x+6)}{x+1}=x+6.$因此，$y$的值域?yàn)?(-1,+\infty)$。4.已知$x>0$，$y>0$，且$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$，求$x+y$的最小值。解：由$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$，得$y=\frac{9x}{x-9}$。因此，$x+y=x+\frac{9x}{x-9}=\frac{x^2-9x+9}{x-9}+9=\frac{(x-3)^2}{x-9}+9\geq9.$當(dāng)且僅當(dāng)$x=3$時(shí)，$x+y$取得最小值$12$。5.已知$\log_4x+\log_4y=2$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值，并求$x,y$的值。解：由$\log_4x+\log_4y=2$，得$xy=16$。因此，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{x+y}{16}$。要使$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$最小，就要使$x+y$最小。由均值不等式可得，$x+y\geq2\sqrt{xy}=8$。當(dāng)且僅當(dāng)$x=y=4$時(shí)，$x+y$取得最小值$8$，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$。6.已知$x+2y=1$，求$2x+4y$的最小值。解：$2x+4y=2(x+2y)=2\cdot1=2$。因此，$2x+4y$的最小值為$2$。7.已知$a>0$，$b>0$，且$ab=a+b+3$，求$ab$的最小值。解：由$ab=a+b+3$，得$ab-a-b=3$，即$(a-1)(b-1)=4$。因此，$ab=4+(a+b)-2\geq4+2\sqrt{4}=8$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=2$時(shí)，$ab$取得最小值$4$。已知$a$，$b$為正實(shí)數(shù)，$2b+ab+a=30$，求函數(shù)$y=\frac{a}$的最小值。解：由已知得：$30-ab=a+2b$。因?yàn)?a+2b\geq2\sqrt{2ab}$，所以$30-ab\geq2\sqrt{2ab}$，化簡(jiǎn)得$ab\leq18$。所以$y=\frac{a}\geq\frac{30-b-2b}=\frac{28}-3$。當(dāng)$b$取到最小值$\sqrt{18}$時(shí)，$y$取得最小值$2\sqrt{2}$。求函數(shù)$y=2x-1+5-2x(\frac{1}{5}<x<1)$的最大值。解：$y=4+2(2x-1)(5-2x)\leq4+(2x-1)+(5-2x)=8-3x$。因?yàn)?\frac{1}{5}<x<1$，所以$-2<3x-8<0$，即$5<8-3x<8$。所以$y\leq8$，當(dāng)$x=\frac{3}{2}$時(shí)，$y$取得最大值$7$。求$y=\sinx\cos2x$，$x\in(\frac{\pi}{2},\pi)$的最大值。解：$y=\frac{1}{2}\sinx\sin2x\cosx=\frac{1}{4}\sin2x\cosx=\frac{1}{8}\sin4x+\frac{1}{8}\sin2x\leq\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$。當(dāng)$\sin4x=\sin2x=1$時(shí)，$y$取得最大值$\frac{1}{4}$。求函數(shù)$y=\frac{a}{x}+\frac{x}$的單調(diào)性。解：求導(dǎo)得$y'=-\frac{a}{x^2}+\frac{1}$，令$y'=0$，解得$x=\sqrt{\frac{a}}$。當(dāng)$x<\sqrt{\frac{a}}$時(shí)，$y'<0$，即$y$單調(diào)遞增；當(dāng)$x>\sqrt{\frac{a}}$時(shí)，$y'>0$，即$y$單調(diào)遞減。求函數(shù)$y=\frac{x^2+5}{x+4}$的值域。解：$y=\frac{x^2+5}{x+4}=x-4+\frac{21}{x+4}$。當(dāng)$x\to-4^+$時(shí)，$y\to-\infty$；當(dāng)$x\to-\infty$或$x\to+\infty$時(shí)，$y\to+\infty$。所以$y$的值域?yàn)?(-\infty,+\infty)$。求函數(shù)$y=\cos2x+\frac{a}{x}$的最小值，$x\neqk\pi$，$k\inZ$。解：$y=\cos2x+\frac{a}{x}=\frac{x\cos2x+a}{x}$。求導(dǎo)得$y'=\frac{(1-2x^2)\sin2x-a}{x^2}$，令$y'=0$，解得$x=\pm\sqrt{\frac{a}{2}}$。當(dāng)$x<-\sqrt{\frac{a}{2}}$或$x>+\sqrt{\frac{a}{2}}$時(shí)，$y'<0$，即$y$單調(diào)遞減；當(dāng)$-\sqrt{\frac{a}{2}}<x<+\sqrt{\frac{a}{2}}$時(shí)，$y'>0$，即$y$單調(diào)遞增。所以$y$的最小值為$y(\pm\sqrt{\frac{a}{2}})=\cos(\pma\sqrt{2})+\sqrt{2a}$。已知$x$，$y$為正實(shí)數(shù)，$3x+2y=10$，求函數(shù)$W=3x+2y$的最值。解：利用柯西不等式，$(3^2+2^2)(x^2+y^2)\geq(3x+2y)^2=100$，所以$x^2+y^2\geq\frac{100}{13}$。因?yàn)?W=3x+2y=3x+\frac{4}{3}(3x+2y)-\frac{10}{3}=\frac{13}{3}x+\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}$，所以$W\leq\frac{13}{3}\sqrt{\frac{100}{13}}+\frac{8}{3}(10-3\sqrt{\frac{100}{13}})-\frac{10}{3}=20$。當(dāng)$x=\frac{6}{\sqrt{13}}$，$y=\frac{8}{\sqrt{13}}$時(shí)，$W$取得最大值$20$。已知$x$，$y$為正實(shí)數(shù)，且$x+y=1$，求$x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$的最小值。解：$x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2\sqrt{xy}+2\geq2\sqrt{2}$。當(dāng)$x=y=\frac{1}{2}$時(shí)，$x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$取得最小值$2\sqrt{2}$。已知$a$，$b$為正實(shí)數(shù)，證明$\frac{a^2+b^2}{a+b}\geq\frac{a+b}{2}$。證明：$\frac{a^2+b^2}{a+b}\geq\frac{a+b}{2}\Leftrightarrowa^2+b^2\geqab$，顯然成立。已知$a$，$b$為正實(shí)數(shù)，證明$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}$。證明：$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}\Leftrightarrowa^2+b^2\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{2}\Leftrightarrowa^2+b^2\geqab$，顯然成立。已知$a$，$b$為正實(shí)數(shù)，證明$\frac{a^2+b^2}{2}\geq\frac{(a+b)^2}{4}$。證明：$\frac{a^2+b