常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用論文

#畢業(yè)論文論文題目：常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用姓名：學(xué)科專業(yè)：指導(dǎo)教師：完成時(shí)間：摘要常微分方程是數(shù)學(xué)理論（特別是微積分）聯(lián)系實(shí)際的重要工具，它不僅與幾何學(xué)、力學(xué)、電子技術(shù)、自動(dòng)控制、星際航行、甚至和化學(xué)、生物學(xué)、農(nóng)業(yè)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)都有著密切的聯(lián)系。本文結(jié)合實(shí)踐背景，建立數(shù)學(xué)模型，并利用所得結(jié)果去解釋某些實(shí)際問題。關(guān)鍵字常微分方程、人口預(yù)測模型、市場價(jià)格模型、混合溶液的數(shù)學(xué)模型、震動(dòng)模型目錄目錄第一章人口預(yù)測模型第二章市場價(jià)格模型第三章混合溶液的數(shù)學(xué)模型第四章震動(dòng)模型緒論當(dāng)我們描述實(shí)際對象的某些特性隨時(shí)間（或空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來性態(tài)，研究它的控制手段時(shí)，通常要建立對象的動(dòng)態(tài)模型。建模時(shí)首先要根據(jù)建模目的和對問題的具體分析作出簡化假設(shè)，然后按照對象內(nèi)在的或可以類比的其他對象的規(guī)律列出微分方程，求出方程的解并將結(jié)果翻譯回實(shí)際對象，就可以進(jìn)行描述、分析、預(yù)測或控制了。事實(shí)上在微分方程課程中，解所謂應(yīng)用題時(shí)我們遇到簡單的建立動(dòng)態(tài)模型問題，例如“一質(zhì)量為m的物體自高h(yuǎn)處自由下落，初速度是零，設(shè)阻力與下落速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，求下落速度隨時(shí)間的變化規(guī)律?！庇秩纭叭萜鲀?nèi)有鹽水100L,內(nèi)含鹽10kg,令以3L/min的速度從一管放進(jìn)凈水，以2L/min的速度從另一管抽出鹽水，設(shè)容器內(nèi)鹽水濃度始終是均勻的，求容器內(nèi)含鹽量隨時(shí)間變化規(guī)律?！北疚挠懻摰氖浅Ｎ⒎址匠淘跀?shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。第一章人口預(yù)測模型由于資源的有限性,當(dāng)今世界各國都注意有計(jì)劃地控制人口的增長,為了得到人口預(yù)測模型,必須首先搞清影響人口增長的因素,而影響人口增長的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等諸多因素,如果一開始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無從下手.因此,先把問題簡化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到較完善的模型.例1(馬爾薩斯(Malthus)模型)英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(1766—1834)在擔(dān)任牧師期間,查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料,發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個(gè)常數(shù),于1789年在《人口原理》一書中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型,他的基本假設(shè)是：在人口自然增長過程中,凈相對增長(出生率與死亡率之差)是常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，比例系數(shù)設(shè)為r，在此假設(shè)下,推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.解設(shè)時(shí)刻t的人口為N(t)，把N(t)當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理(因人口總數(shù)很大，可近似地這樣處理，此乃離散變量連續(xù)化處理)，據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)，在t到t+At時(shí)間段內(nèi)，人口的增長量為N(t+At)-N(t)=rN(t)At,并設(shè)t二t時(shí)刻的人口為N，于是00這就是馬爾薩斯人口模型，用分離變量法易求出其解為N(t)=Ner(t-to),

0此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無限增長.模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)為3.06x109,而在以后7年中,人口總數(shù)以每年2%的速度增長，這樣t二1961,N二3.06x109,r二0.02，于是00N(t)=3.06x109e0.02(t-1961).這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在1700—1961年間世界人口總數(shù).因?yàn)?，這期間

地球上的人口大約每35年翻一番,而上式斷定34.6年增加一倍（請讀者證明這一點(diǎn)）．但是,后來人們以美國人口為例,用馬爾薩斯模型計(jì)算結(jié)果與人口資料比較,卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異,尤其是在用此模型預(yù)測較遙遠(yuǎn)的未來地球人口總數(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)更令人不可思議的問題,如按此模型計(jì)算,到2670年,地球上將有36000億人口.如果地球表面全是陸地（事實(shí)上,地球表面還有80%被水覆蓋）,我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了,這是非?；闹嚨?因此,這一模型應(yīng)該修改.例2（邏輯Logistic模型）馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)測未來的人口呢？這主要是地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活,隨著人口的增加,自然資源環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著,如果當(dāng)人口較少時(shí),人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后,這個(gè)增長率就要隨人口的增加而減小.因此,應(yīng)對馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長率為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.1838年,荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特（Verhulst）引入常數(shù)N，用來表示自m然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)（一般說來,一個(gè)國家工業(yè)化程度越高,它的生活空間就越大，食物就越多，從而N就越大），并假設(shè)將增長率等于r（l-皿,mN'm即凈增長率隨著N（）的增加而減小，當(dāng)N（）TN時(shí),凈增長率趨于零，按此假定m建立人口預(yù)測模型.解由韋爾侯斯特假定，馬爾薩斯模型應(yīng)改為N，?dN仁N，=r1-<dt(N(t)=N00上式就是邏輯模型，該方程可分離變量，其解為，N(t)=—1+NN(t)=—1+m[NJm—1e-r(t-t0)NINo丿面，我們對模型作一簡要分析.（1）當(dāng)tTg,N（t）TN，即無論人口的初值如何，人口總數(shù)趨向于極限值m

N；m(2)當(dāng)0<NN；m(2)當(dāng)0<N<N時(shí)，dN=rdtN>0,這說明N(t)是時(shí)間t的單調(diào)遞增函數(shù)；(3)由于d2Ndt2仃N=r21一——IN八m丫［2N'1—N丿mN，所以當(dāng)“<牛時(shí),謬>0，罟單增；當(dāng)N>人時(shí)，d2N<0,dN單減,即人口增長率dN由增變減，在化處最大,2dt2dtdt2也就是說在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長期，過這一點(diǎn)后，生長的速率逐漸變小，并且遲早會(huì)達(dá)到零，這是減速生長期；用該模型檢驗(yàn)美國從1790年到1950年的人口，發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際人口在1930年以前都非常吻合，自從1930年以后，誤差愈來愈大，一個(gè)明顯的原因是在20世紀(jì)60年代美國的實(shí)際人口數(shù)已經(jīng)突破了20世紀(jì)初所設(shè)的極限人口.由此可見該模型的缺點(diǎn)之一是N不易確定，事實(shí)上，隨著一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)m的騰飛，它所擁有的食物就越豐富，N的值也就越大；m用邏輯模型來預(yù)測世界未來人口總數(shù)?某生物學(xué)家估計(jì)，r=0.029，又當(dāng)人口總數(shù)為3.06x109時(shí)，人口每年以2%的速率增長，由邏輯模型得1dN

N"dr0.02=0.02=0.0291—3.06x109)m從而得N=9.86x109，m即世界人口總數(shù)極限值近100億.值得說明的是：人也是一種生物，因此，上面關(guān)于人口模型的討論，原則上也可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物，如森林中的樹木、池塘中的魚等,邏輯模型有著廣泛的應(yīng)用.

第二章市場價(jià)格模型對于純粹的市場經(jīng)濟(jì)來說,商品市場價(jià)格取決于市場供需之間的關(guān)系,市場價(jià)格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價(jià)格稱為(靜態(tài))均衡價(jià)格).也就是說,如果不考慮商品價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程,那么商品的市場價(jià)格應(yīng)能保證市場的供需平衡,但是,實(shí)際的市場價(jià)格不會(huì)恰好等于均衡價(jià)格,而且價(jià)格也不會(huì)是靜態(tài)的,應(yīng)是隨時(shí)間不斷變化的動(dòng)態(tài)過程.例3試建立描述市場價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型解假設(shè)在某一時(shí)刻t,商品的價(jià)格為p(t),它與該商品的均衡價(jià)格間有差別,此時(shí),存在供需差,此供需差促使價(jià)格變動(dòng).對新的價(jià)格,又有新的供需差,如此不斷調(diào)節(jié)，就構(gòu)成市場價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程，假設(shè)價(jià)格p(t)的變化率dp與需求dt和供給之差成正比，并記f(p,r)為需求函數(shù)，g(p)為供給函數(shù)(r為參數(shù))，于是字=a[f(p,r)一g(p)]dtp(0)=po，其中p0為商品在t=0時(shí)刻的價(jià)格,a為正常數(shù).若設(shè)f(p,r)=-ap+b,g(p)=cp+d，則上式變?yōu)橐籥(a+c)p+a(b―d)p(0)=p0，①1p(t)二p—1p(t)二p—0b一da+cb一d)e_a(a+c)t+a+c丿面對所得結(jié)果進(jìn)行討論:設(shè)；為靜態(tài)均衡價(jià)格，則其應(yīng)滿足/(p,r)—g(p)二0,一ap+b=cp+d,于是得~p=―，從而價(jià)格函數(shù)p(t)可寫為a+cp(t)=(p一p)e-a(a+c”+p,0令tT+a，取極限得limp(t)=ptT+a這說明，市場價(jià)格逐步趨于均衡價(jià)格?又若初始價(jià)格p=p,則動(dòng)態(tài)價(jià)格就維持在0均衡價(jià)格~p上,整個(gè)動(dòng)態(tài)過程就化為靜態(tài)過程；由于—=(p-p)a(a+c)e_a(a+c)t,dt0所以，當(dāng)p>p時(shí)，也<0,p(t)單調(diào)下降向p靠攏；當(dāng)p<p時(shí)，—>0,p(t)

0dt0dt單調(diào)增加向萬靠攏.這說明：初始價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí)，動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步降低,且逐步靠近均衡價(jià)格；否則，動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步升高?因此，式①在一定程度上反映了價(jià)格影響需求與供給,而需求與供給反過來又影響價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程,并指出了動(dòng)態(tài)價(jià)格逐步向均衡價(jià)格靠攏的變化趨勢.第三章混合溶液的數(shù)學(xué)模型例4設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽，內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為O.Olkg/L的淡鹽水，同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水，求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.解設(shè)t時(shí)刻容器內(nèi)的鹽量為x(t)kg,考慮t到t+dt時(shí)間內(nèi)容器中鹽的變化情況，在dt時(shí)間內(nèi)容器中鹽的改變量=注入的鹽水中所含鹽量一抽出的鹽水中所含鹽量容器內(nèi)鹽的改變量為dx，注入的鹽水中所含鹽量為0.01x3dt,t時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為型，假設(shè)t到t+dt時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不100+(3-2)t變(事實(shí)上，容器內(nèi)的溶液質(zhì)量濃度時(shí)刻在變，由于dt時(shí)間很短，可以這樣看).于是抽出的鹽水中所含鹽量為x(t)2dt，這樣即可列出方程100+(3-2)tdx=°.°3dt-皚dt，竺=0.03-亠.

dt100+1又因?yàn)閠=0時(shí)，容器內(nèi)有鹽10kg，于是得該問題的數(shù)學(xué)模型為■竺+丄二0.03,

dt100+1Vx(0)二10,這是一階非齊次線性方程的初值問題，其解為9x104X(t)二咖100+1"而市下面對該問題進(jìn)行一下簡單的討論，由上式不難發(fā)現(xiàn)：t時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為p(t)p(t)二x(t)100+1二0.01+9x104(100+t)3且當(dāng)tT+a時(shí)，p(t)T0.01，即長時(shí)間地進(jìn)行上述稀釋過程，容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度.溶液混合問題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液，以流量V注入質(zhì)量濃度為C的溶液(指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同)，假定11

溶液立即被攪勻，并以V的流量流出這種混合溶液，試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)2間的數(shù)學(xué)模型.首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為x(t)，原來的初始質(zhì)量為X0,t=0時(shí)溶液的體積為V,在dt時(shí)間內(nèi)，容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的2數(shù)量，即dx二CVdt-CVdt,1122其中C是流入溶液的質(zhì)量濃度，C為t時(shí)刻容器中溶液的質(zhì)量濃12度，F(xiàn)度，F(xiàn)巧'于是，有混合溶液的數(shù)學(xué)模型012竺二CV-CV<dt1122x(0)二X.0該模型不僅適用于液體的混合，而且還適用于討論氣體的混合.

第四章振動(dòng)模型振動(dòng)是生活與工程中的常見現(xiàn)象.研究振動(dòng)規(guī)律有著極其重要的意義.在自然界中,許多振動(dòng)現(xiàn)象都可以抽象為下述振動(dòng)問題.例5設(shè)有一個(gè)彈簧，它的上端固定，下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體，試研究其振動(dòng)規(guī)律.解假設(shè)物體的平衡位置位于坐標(biāo)原點(diǎn)，并取x軸的正向鉛直向下(見圖4).物體的平衡位置指物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的位置.此時(shí)，作用在物體上的重力與彈性力大小相等，方向相反；在一定的初始位移x0及初始速度v0下，物體離開平衡位置，并在平衡位置附近作沒有搖擺的上下振動(dòng)；物體在t時(shí)刻的位置坐標(biāo)為x=x(t),即t時(shí)刻物體偏離平衡位置的位移;在振動(dòng)過程中，受阻力作用.阻力的大小與物體速度成正比，阻力的方向dx總是與速度方向相反，因此阻力為-hdX，h為阻尼系數(shù)；dt圖4當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有位移x(t)時(shí),假設(shè)所受的彈簧恢復(fù)力是與位移成正比的，而恢復(fù)力的方向總是指向平衡位置，也就是總與偏離平衡位置的位移方向相反，因此所受彈簧恢復(fù)力為-kx,其中k為勁度系數(shù)；(6)在振動(dòng)過程中受外力f(t)的作用.在上述假設(shè)下，根據(jù)牛頓第二定律得圖4m=-h-kx+f(x)，①dt2dt這就是該物體的強(qiáng)迫振動(dòng)方程.由于方程①中，f(t)的具體形式?jīng)]有給出，所以，不能對式①直接求解?下面我們分四種情形對其進(jìn)行討論.無阻尼自由振動(dòng)在這種情況下，假定物體在振動(dòng)過程中，既無阻力、又不受外力作用.此時(shí)方程①變?yōu)閗令—=?k令—=?2,方程變?yōu)閙d2xm-

dt2d2x+W2x=0,dt2特征方程為特征根為九=±io,1,2通解為x=Csin?t+Ccos?t,通解為1或?qū)⑵鋵憺椤v*1.Vv*1A(cospsin?t+sinpcos?t)其中A=￡+C；，其中A=￡+C；，sinp「2,cosp=1J；C2+C2JC2+C2"122122這就是說，無阻尼自由振動(dòng)的振幅A=V--C7TC7,頻率?=：-均為常數(shù).12Vm有阻尼自由振動(dòng)在該種情況下,考慮物體所受到的阻力,不考慮物體所受的外力.此時(shí),方程①變?yōu)閙空+h竺+kx=0,dt2dt令￡=?2,=25，方程變?yōu)閙md2xdx+25+?2x=0,dt2dt特征方程為入2+2血乜2=0，特征根〈出土^2--2?根據(jù)5與-的關(guān)系,又分為如下三種情形：

(1)大阻尼情形，8>?.特征根為二不等實(shí)根，通解為x=Ce(-8+、8+C”12(2)臨界阻尼情形，8=?.特征根為重根，通解為x二(C+Ct)e-8t12這兩種情形，由于阻尼比較大，都不發(fā)生振動(dòng).當(dāng)有一初始擾動(dòng)以后，質(zhì)點(diǎn)慢慢回到平衡位置，位移隨時(shí)間t的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示.圖6圖6⑶小阻尼情形，8<?.特征根為共軛復(fù)根,通解為x二e-8t(Csin①2-821+Csing2-821)12將其簡化為x二Ae-8tsin(g2-821+p)d2xm+kx=msinpt,dt2d2x+w2x=smpt,dt2根據(jù)ip是否等于特征根i3,其通解分為如下兩種情形:(1)當(dāng)p鼻3時(shí)，其通解為1x=sinpt+Csin31+Ccos31,32-p212此時(shí)，特解的振幅一—為常數(shù)，但當(dāng)p接近于3時(shí)，將會(huì)導(dǎo)致振幅增大,發(fā)生32-p2類似共振的現(xiàn)象；2)當(dāng)2)當(dāng)p=3時(shí),其通解為此時(shí),特解的振幅x=--^—tcospt+Csin31+Ccos此時(shí),特解的振幅x=--^—tcospt+Csin31+Ccos31,2pi2占隨時(shí)間t的增加而增大，這種現(xiàn)象稱為共振，即當(dāng)外力的頻率p等于物體的固有頻率?時(shí),將發(fā)生共振.4.阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)在這種情形下，假定振動(dòng)物體既受阻力作用,又受外力f(x)=msinpt的作用,并設(shè)6<3，方程①變?yōu)閐2xdx+26+32x=sinpt,dt2dt特征根九=-6土k32—62,6鼻0，則ip不可能為特征根,特解為x*=Asinpt+Bcospt,其中A=竺工,B=三匯(32-p2)2+462p2(32-p2)2+462p2還可將其化為x*[(w2-p2)sinpt-25pcospt],x*(w2—p2)2+452p2由此可見，在有阻尼的情況下，將不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，不過，當(dāng)p時(shí),x*=—cospt,25p若5很小，則仍會(huì)有較大的振幅；若5比較大，則不會(huì)有較大的振幅.結(jié)論在科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常要尋求表示客串事物