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文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)聯(lián)系刪除僅供參考專題07三角形的相關(guān)線段新知預(yù)習(xí)(一)三角形的定義(1)不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。注意:三條線段必須①不在一條直線上,②首尾順次相接。(2)組成三角形的線段叫做三角形的邊,相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角,簡(jiǎn)稱角,相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。(3)三角形ABC用符號(hào)表示為△ABC.三角形ABC的頂點(diǎn)C所對(duì)的邊AB可用c表示,頂點(diǎn)B所對(duì)的邊AC可用b表示,頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC可用a表示.(二)三角形的三邊關(guān)系(1)三角形的任意兩邊之和大于第三邊。
三角形的任意兩邊之差小于第三邊。(這兩個(gè)條件滿足其中一個(gè)即可)
用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)就是:記三角形三邊長(zhǎng)分別是a,b,c,則a+b>c或c-b<a。(2)已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a,b,求第三邊長(zhǎng)度的范圍:|a-b|<c<a+b
(三)三角形的相關(guān)線段(重點(diǎn)在于性質(zhì))(1)高:從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高.(等積法、互余等量代換)(2)中線:在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.(中線平分面積)(3)角平分線:三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.(角度相等)(四)三角形的穩(wěn)定性新知訓(xùn)練考點(diǎn)1:三角形的定義理解典例1:(2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí))如圖所示,頂點(diǎn)是A、B、C的三角形,記作___________,讀作___________.其中,頂點(diǎn)A所對(duì)的邊為___________還可用___________表示;頂點(diǎn)B所對(duì)的邊為___________還可用___________表示;頂點(diǎn)C所對(duì)的邊為___________還可用___________表示.【變式1】(2020秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖所示,圖中有____________個(gè)三角形;其中以AB為邊的三角形有____________;含∠ACB的三角形有____________;在△BOC中,∠OCB的對(duì)角是____________,∠OCB的對(duì)邊是____________.【變式2】(2022·全國·七年級(jí)假期作業(yè))如圖,點(diǎn)D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn),則在△ABC中∠C所對(duì)的邊是__________;在△ACD中∠C所對(duì)的邊是__________;在△ABD中邊AD所對(duì)的角是__________;在△ACD中邊AD所對(duì)的角是__________.【變式3】(八年級(jí)單元測(cè)試)如圖,∠A的對(duì)邊是_________;∠B的對(duì)邊是_______;邊AC的對(duì)角是___________;邊BD的對(duì)角是____________.考點(diǎn)2:三角形的個(gè)數(shù)問題典例2:(2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí))若有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為一對(duì)“共邊三角形”,則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有___________對(duì).【變式1】(2022秋·湖南湘西·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖中三角形的個(gè)數(shù)共有_____個(gè).【變式2】(八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,圖1中共有3個(gè)三角形,圖2中共有6個(gè)三角形,圖3中共有10個(gè)三角形,…,以此類推,則圖6中共有__________個(gè)三角形.【變式3】(2022秋·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三角形有_____個(gè),它們分別是_____.考點(diǎn)3:三角形的三邊關(guān)系典例3:(2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí))有4條線段的長(zhǎng)度分別是4cm、7cm、【變式1】(2022春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末)三角形的三邊長(zhǎng)分別是2,5,m,則|m﹣3|+|m﹣7|等于___.【變式2】(2021秋·甘肅武威·八年級(jí)校考階段練習(xí))若a,b,c是△ABC的三邊的長(zhǎng),則化簡(jiǎn)|a-b-c|+|b-c-a|+|a+b-c|=________.【變式3】(陜西西安·七年級(jí)西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)??茧A段練習(xí))已知a、b、c為ΔABC的三邊長(zhǎng),且a、b滿足a-2+b2-14b+49=0,c考點(diǎn)4:求解第三邊的取值范圍典例4:(2023春·江蘇常州·七年級(jí)常州市第二十四中學(xué)??茧A段練習(xí))在△ABC中,如果AB=5,BC=8,那么______<AC<______【變式1】(2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí))已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、5、a,化簡(jiǎn)a-2-a-1+【變式2】(2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))在△ABC中,若AB=4,BC=5,則△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍是___________.【變式3】(2021秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖,AB=DE,AC=DF,BF=CE,點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上,AB=4,EF=6,求△ABC中AC邊的取值范圍.考點(diǎn)5:三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用典例5:(2022秋·北京朝陽·八年級(jí)??计谥校┤鐖D,由三角形兩邊的和大于第三邊,得AB+AD>________,①PD+CD>________.②將不等式①,②的左邊、右邊分別相加,得AB+AD+PD+CD>________,③不等式③兩邊都減PD,得AB+AC>PB+PC.【變式1】(2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí))一個(gè)三角形三條邊長(zhǎng)分別為x,x+1,x+2,它的周長(zhǎng)不超過39,則x的取值范圍是_________.【變式2】(2021秋·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期中)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部,連接PB,PC.比較大?。篜B+PC______AB+AC(填>,=,<).【變式3】(2022春·陜西西安·七年級(jí)高新一中校考期中)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c均是整數(shù),且滿足(a-3)2+|b-4|=0,則△ABC周長(zhǎng)的最大值是考點(diǎn)6:畫三角形的高典例6:(2022秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,在直角△ABC中,BC邊上有E,D,F(xiàn)三點(diǎn),BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足為F.以AD為中線的三角形是_____;以AE為角平分線的三角形是_____;以AF【變式1】(2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖所示,△ABC中,AC邊上的高線是線段___________.【變式2】(2023春·河北廊坊·八年級(jí)校考期末)如圖,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,G為AD的中點(diǎn),BG的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)為AB上的一點(diǎn),CF與AD垂直,交AD于點(diǎn)H,則下面結(jié)論:①AD是△ABE的角平分線;②BE是△ABD的AD邊上的中線;③CH是△ACD的AD邊上的高;④AH是△ACF的角平分線和高.其中正確的有______(填序號(hào))【變式3】(2022秋·廣東惠州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,AD⊥BC,那么以AD為高的三角形有___________個(gè).考點(diǎn)7:與三角形的高線有關(guān)的計(jì)算問題典例7:(2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校??茧A段練習(xí))如圖已知,在△ABC中,AE⊥BC,BE=3,BE:CE=1:2,D為BC邊上一點(diǎn),BD=5,若S△ADE=4,則S【變式1】(2023春·七年級(jí)單元測(cè)試)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),連PC,則線段PC的最小值是______.【變式2】(2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,(1)若AM是△ABC的中線,BC=12cm,則BM=CM=______cm;(2)若AD是△ABC的角平分線,則∠BAD=∠DAC=______;若∠BAC=106°,則∠DAC=______;(3)若AH是△ABC的高,則△ABH是______三角形.【變式3】(2022秋·江西宜春·八年級(jí)校考階段練習(xí))若AD是△ABC的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,則∠BAC的度數(shù)為_____.考點(diǎn)8:與三角形中線有關(guān)的計(jì)算問題典例8:(2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí))如圖,AD是△ABC的中線,已知△ABD的周長(zhǎng)為16cm,AB比AC長(zhǎng)3cm,則△ACD的周長(zhǎng)為【變式1】(2023春·北京西城·七年級(jí)北京市第十三中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,已知AD是△ABC的中線,且AB=5cm,AC=3cm,則△ABD和△ACD的周長(zhǎng)之差為_________,△ABD和△ACD的面積之差為【變式2】(2022春·江蘇無錫·七年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,在△ABC中,D,E分別是BC,AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在BE上,且EF=2BF,若S△BCF=2cm2,則【變式3】(2023秋·湖南郴州·八年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D、E、F分別為BC、AD、考點(diǎn)9:與三角形角平分線有關(guān)的計(jì)算問題典例9:(2020秋·貴州黔西·八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,則∠CBE+∠BCE=______°.【變式1】(八年級(jí)統(tǒng)考假期作業(yè))如圖,ΔABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,CD是中線,CE平分∠ACB【變式2】(2020秋·湖北宜昌·八年級(jí)??计谥校┤鐖D,點(diǎn)O是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn),點(diǎn)I是三角形外角平分線的交點(diǎn),則∠O與∠I的數(shù)量關(guān)系是_____________【變式3】(2020春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,AD是△ABC的角分平線,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=50°,點(diǎn)F為邊AB上一點(diǎn),當(dāng)△BDF為直角三角形時(shí),則∠ADF的度數(shù)為____.考點(diǎn)10:三角形的穩(wěn)定性典例10:(2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))在日常生活中,我們通常采用如圖的方法(斜釘上一塊木條)來修理一張搖晃的椅子,請(qǐng)用數(shù)學(xué)知識(shí)說明這樣做的依據(jù)是:______.【變式1】(2023秋·云南楚雄·八年級(jí)統(tǒng)考期末)西雙版納大橋是云南省境內(nèi)一座橋梁,位于西雙版納州府景洪市,跨越瀾滄江,是西雙版納十大標(biāo)志性建筑之一,如圖,西雙版納大橋中的斜拉索、索塔和橋面構(gòu)成了一個(gè)三角形,這樣使其更穩(wěn)固,其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是________.【變式2】(2022秋·新疆阿克蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中)木工師傅做完門框后,為防止變形,通常在角上釘一斜條,他的根據(jù)是___________.【變式3】(2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖所示,建筑工人吊鋼材時(shí),為防止鋼材墜落,通常會(huì)在鋼材的兩個(gè)不同位置拴上吊繩,然后再起吊,你能用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋其中的道理嗎?___________.新知檢測(cè)一、單選題1.(2022秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市周南梅溪湖中學(xué)校考階段練習(xí))已知鈍角三角形ABC,畫BC邊上的高,正確的畫法是()A. B.C. D.2.(2022秋·廣東中山·八年級(jí)??茧A段練習(xí))一個(gè)三角形的3邊長(zhǎng)分別是xcm、3x-3cm,x+2cm,它的周長(zhǎng)不超過39cm.則xA.53<x<5 B.5<x≤8 C.533.(2022秋·湖北鄂州·八年級(jí)階段練習(xí))△ABC的三條線高所在的直線相交于一點(diǎn)H,則點(diǎn)H在()A.△ABC內(nèi)部 B.△ABC邊上C.△ABC的外部 D.以上都有可能4.(2023秋·安徽安慶·八年級(jí)校聯(lián)考期末)一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,且第三邊長(zhǎng)為整數(shù),則這樣的三角形周長(zhǎng)的最大值是(
)A.12 B.13 C.14 D.155.(2023秋·北京·八年級(jí)統(tǒng)考期中)若三角形的周長(zhǎng)為18,且三邊長(zhǎng)都是整數(shù),則滿足條件的三角形有(
)個(gè).A.6 B.7 C.8 D.96.(2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))如圖,AD、BE、CF是△ABC三邊的中線,若S△ABC=12,則圖中的陰影部分的面積是(
)A.3 B.4 C.5 D.67.(2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,點(diǎn)D,E分別是△ABC邊BC,AC上一點(diǎn),BD=2CD,AE=CE,連接AD,BE交于點(diǎn)F,若△ABC的面積為18,則△BDF與△AEF的面積之差S△BDF﹣S△AEF等于(
)A.3 B.185 C.92 D8.(2023秋·廣東肇慶·八年級(jí)??茧A段練習(xí))下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度,用它們能擺成三角形的是(
)A.7cm、5cm、11cm B.4cm、3cm、7cm C.5cm、10cm、4cm D.2cm、3cm、1cm9.(2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,下列說法不正確的是(
)A.直線m,n相交于點(diǎn)P B.PA+PB>QA+QBC.PA+PB<QA+QB D.直線m不經(jīng)過點(diǎn)Q10.(2023秋·廣西欽州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))可以把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的是()A.三角形的中線 B.三角形的高線 C.三角形的角平分線 D.三角形一邊的垂線11.(2023·重慶·模擬預(yù)測(cè))如圖,AD,AE,AF分別是△ABC的中線,角平分線,高,下列各式中錯(cuò)誤的是(
)A.BC=2CD B.∠BAE=C.∠AFB=90° D.AE=CE12.(2022·全國·八年級(jí)統(tǒng)考假期作業(yè))下列三條線段不能組成三角形的是()A.a(chǎn)B.a(chǎn)C.a(chǎn):b:cD.a(chǎn)13.(2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知等腰三角形的腰和底邊長(zhǎng)分別為5cm和4cm,則它的周長(zhǎng)等于()A.9cm B.13cmC.14cm D.13cm或14cm14.(2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知一個(gè)三角形的兩邊分別為2和7,則這個(gè)三角形的第三邊可以是(
)A.4 B.5 C.7 D.1015.(2022·湖北隨州·中考真題)如圖,在ΔABC中,E是BC上的一點(diǎn),EC=2BE,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),設(shè)ΔABC,ΔADF,ΔBEF的面積分別為SΔABC,SΔADF,A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題16.(2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,AD是△ABC的中線,若AB:AC=3:4,則S△ABD:S△ACD=_____.17.(2023春·七年級(jí)單元測(cè)試)如圖,把手機(jī)放在一個(gè)支架上面,就可以非常方便地使用,這是因?yàn)槭謾C(jī)支架利用了三角形的_________性.
18.(2022春·七年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí))如果一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)為2cm,7cm,且三角形的第三邊為偶數(shù),則三角形的周長(zhǎng)是________cm.19.(2022秋·浙江杭州·八年級(jí)期末)如圖,△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點(diǎn)為G,若S△ABC=12,則S△ABD=20.(2022秋·山東德州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))造房子時(shí)屋頂常用三角結(jié)構(gòu),從數(shù)學(xué)角度來看,是應(yīng)用了_______,而活動(dòng)掛架則用了四邊形的________.21.(2023春·七年級(jí)單元測(cè)試)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),連PC,則線段PC的最小值是______.22.(2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))小明用尺規(guī)作圖作△ABC的邊AC上的高BH,作法如下:①分別以點(diǎn)D、E為圓心,大于DE的一半的長(zhǎng)度為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)F;②作射線BF,交邊AC于點(diǎn)H;③以B為圓心,BK的長(zhǎng)為半徑作弧,交直線AC于點(diǎn)D和E;④取一點(diǎn)K,使K和B在AC的兩側(cè);⑤所以BH就是所求作的高.正確的作圖順序應(yīng)該是____________.23.(2022春·重慶·七年級(jí)重慶一中??计谥校┤鐖D,CD是△ABC的中線,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E,使CE=54CD.連接AE并延長(zhǎng),交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,已知四邊形BDEF的面積為2,則△AFC24.(2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖,在ΔABC中,E是BC上的一點(diǎn),EC=2BE,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),AE與BD相交于點(diǎn)F,設(shè)ΔABC、ΔADF、ΔBEF的面積分別為SΔABC、SΔADF、SΔBEF,且S25.(2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中校考階段練習(xí))如圖,△ABC的面積為10,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且AD=CD,AE:BE=2:1.連接BD,CE交于點(diǎn)F,連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H.則四邊形BEFH的面積為_________.三、解答題26.(2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))如圖,在△ABC中,AB=2,BC=4.△ABC的高AD與CE的比是多少?(提示:利用三角形的面積公式.)27.(2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中)某市木材市場(chǎng)上的木棒規(guī)格與價(jià)格如下表:規(guī)格12345678價(jià)格/(元/根)1015202530354045小明的爺爺要做一個(gè)三角形的支架用來養(yǎng)兔子,在木材市場(chǎng)上已經(jīng)購買了兩根長(zhǎng)度分別為2m和7(1)有幾根規(guī)格的木棒可供小明的爺爺選擇?(2)在能做成三角形支架的情況下,要求做成的三角形支架的周長(zhǎng)為偶數(shù),則小明的爺爺做三角形支架,買木棒一共花了多少元?28.(2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí))已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3)(1)在如圖坐標(biāo)紙中描出各點(diǎn),畫出△ABC并求出它的面積;(2)設(shè)點(diǎn)P在x軸上,且△ABP的面積為4,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).29.(2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí))如圖,BD和CE是△ABC的中線,AE=3cm,CD=2cm,若△ABC周長(zhǎng)為15cm,求BC邊的長(zhǎng).30.(2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的高,AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm,求:(1)求△ABC的面積(2)求CD的長(zhǎng);(3)作出△ABC的邊AC上的中線BE,并求出△ABE的面積.
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