第四章數(shù)據(jù)特征測度3平均指標

4.3平均指標(平均數(shù)-集中程度測度)數(shù)據(jù)集中區(qū)變量x學(xué)習(xí)目標1. 集中趨勢各測度值的計算方法集中趨勢各測度值的特點及應(yīng)用場合

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(位置)偏態(tài)和峰態(tài)（形狀）離中趨勢

(分散程度)數(shù)據(jù)分布特征的測度數(shù)據(jù)特征的測度分布的形狀集中趨勢離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標準差峰態(tài)四分位差異眾比率偏態(tài)集中趨勢

(Centraltendency)一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值低層次數(shù)據(jù)的測度值適用于高層次的測量數(shù)據(jù)，但高層次數(shù)據(jù)的測度值并不適用于低層次的測量數(shù)據(jù)一、平均指標的概念和作用（一）平均指標的含義平均指標是同質(zhì)總體各單位某一數(shù)量標志值在具體時間、地點、條件下達到的一般水平。平均指標具有以下特點：（1）同構(gòu)型（2）抽象性（3）代表性（二）平均指標的作用

1.平均指標可以反映分配數(shù)列中各變量值分布的集中趨勢2.平均指標可以反映現(xiàn)象總體的綜合特征3.平均指標經(jīng)常用來進行同類現(xiàn)象在不同空間、不同時間條件下的對比分析

二、平均指標的類別及計算均值（Mean）

中位數(shù) (Median)眾數(shù) (Mode)算術(shù)平均數(shù)（Mean）調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）幾何平均數(shù)（Geometricmean）（一）算術(shù)平均數(shù)（Mean）1．簡單算術(shù)平均數(shù)（Simplemean）簡寫為：簡寫為：分組資料時，各組變量值應(yīng)用組中值M代替。2．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(Weightedmean)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

(權(quán)數(shù)對均值的影響)

甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下

甲組：

考試成績（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：118乙組：考試成績（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：811已改至此?。〖訖?quán)算術(shù)平均數(shù)

(例題分析)3．算術(shù)平均數(shù)的重要數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差總和等于0，即：未分組資料：分組資料：（2）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小。即：未分組資料：為最小。分組資料：為最小。

這兩個性質(zhì)是進行趨勢預(yù)測、回歸預(yù)測、建立數(shù)學(xué)模型的重要數(shù)學(xué)理論依據(jù)。為最小。算術(shù)平均數(shù)（均值，mean）

小結(jié)集中趨勢的最常用測度值一組數(shù)據(jù)的均衡點所在（重心）體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征易受極端值的影響用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)（二）調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）

調(diào)和平均數(shù)是總體各單位標志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱為倒數(shù)平均數(shù)記作。1.簡單調(diào)和平均數(shù)

2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)

(例題分析)【例】某蔬菜批發(fā)市場三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表，計算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價格算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系及運用調(diào)和平均數(shù)一般作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用，它仍然是依據(jù)算術(shù)平均數(shù)的基本公式——標志總量除以總體單位總量來計算。若已知條件為分組資料的各組變量值及各組的標志總和即時，可采用加權(quán)調(diào)和平均法計算平均指標；若已知條件為分組資料的各組變量值及各組的次數(shù)時，可直接用加權(quán)算術(shù)平均法計算平均指標。算術(shù)平均法和調(diào)和平均法在相對指標和平均指標的平均數(shù)的應(yīng)用

計算相對指標和平均指標的平均數(shù)應(yīng)根據(jù)被研究標志的性質(zhì)即具有的權(quán)數(shù)資料用不同的方法。舉例見書P73-74。

調(diào)和平均數(shù)(harmonicmean)

小結(jié)均值的另一種表現(xiàn)形式易受極端值的影響計算公式為原來只是計算時使用了不同的數(shù)據(jù)！（三）幾何平均數(shù)（Geometricmean）幾何平均數(shù)是個變量值乘積的次方根，主要用于計算比率的平均數(shù)。在實際應(yīng)用中，幾何平均數(shù)主要用于計算社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展速度、比率（如本利率）等變量的平均。1．簡單幾何平均數(shù)（根據(jù)未分組資料計算）

2．加權(quán)幾何平均數(shù)（根據(jù)分組資料計算）

簡單幾何平均數(shù)

(例題分析)

【例】某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2000年與1999年相比增長率為9%，2001年與2000年相比增長率為16%，2002年與2001年相比增長率為20%。求各年的年平均增長率。年平均增長率＝114.91%-1=14.91%簡單幾何平均數(shù)

(例題分析)

【例】一位投資者購持有一種股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分別為4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。計算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率算術(shù)平均：

幾何平均：加權(quán)幾何平均數(shù)

(例題分析)【例】某人有一筆款現(xiàn)存入銀行10年，前2年的平均率為6%，第3至5年的年利率為5%，后5年的年利率為3%，如果按復(fù)利計算，這筆款項的平均年利率為多少？幾何平均數(shù)(geometricmean)

小結(jié)

n個變量值乘積的

n次方根適用于對比率數(shù)據(jù)的平均主要用于計算平均增長率計算公式為5.可看作是均值的一種變形(四）眾數(shù)（Mode）

眾數(shù)（）是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值。由于它出現(xiàn)的次數(shù)最多，在總體各標志值之中它的代表性較強，能夠鮮明地反映數(shù)據(jù)分布的集中趨勢。1．由單項式數(shù)列確定眾數(shù)單項式數(shù)列確定眾數(shù)，只需觀察找出次數(shù)最多的標志值即可。2．由組距數(shù)列確定眾數(shù)（1）確定眾數(shù)所在組（2）利用公式計算眾數(shù)的近似值下限公式：上限公式：式中：—為眾數(shù)；—是眾數(shù)組的下限；—是眾數(shù)組的上限；—為眾數(shù)組的次數(shù)；—為眾數(shù)組前一組的次數(shù)；—為眾數(shù)組后一組的次數(shù)；—為眾數(shù)組的組距。

3.眾數(shù)的特征及作用眾數(shù)是一種位置平均數(shù)，不受極端值的影響。當總體單位數(shù)多且具有明顯集中趨勢時，計算眾數(shù)既方便且意義明確。（當然，如果總體單位數(shù)少或沒有明顯的集中趨勢，則眾數(shù)就不存在。當變量數(shù)列中有兩個或幾個變量值的次數(shù)都比較集中時，就可能有兩個或幾個眾數(shù)）眾數(shù)也適用于定類、定序數(shù)據(jù)集中趨勢的測度，尤其頗適用于定類資料集中趨勢的測度。

眾數(shù)

(不唯一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

364242分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(例題分析)解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個分類變量，不同類型的飲料就是變量值在所調(diào)查的50人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即

Mo＝可口可樂順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(例題分析)解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即

Mo＝不滿意眾數(shù)(mode)小結(jié)出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)（五）中位數(shù)(median)中位數(shù)（）是將總體各單位的標志值按大小順序排列，處于中間位置的那個標志值。1.中位數(shù)的計算：確定中點位次；找出中點位次對應(yīng)的標志值（中位數(shù)）。（1）由未分組資料計算中位數(shù)先將總體各單位的標志值按大小順序排列，再按下式確定中位數(shù)所在的位次，進而確定中位數(shù)。未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(9個數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:7507808509601080

1250150016302000位置:123456789中位數(shù)

1080

未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(10個數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:12345

678910

（2）由分組資料計算中位數(shù)

在單項式分組資料下：首先計算累計次數(shù)，再按確定中位數(shù)的位次，找出中位數(shù)所在組，該組的變量值就是中位數(shù)。在組距式分組資料下：首先計算累計次數(shù)，按確定中位數(shù)所在組，再利用公式按比例求得中位數(shù)的近似值，此公式有下限公式和上限公式兩種。式中：—為中位數(shù)所在組的下限；—為中位數(shù)所在組的次數(shù)；—為中位數(shù)組前一組的累計次數(shù)（累計次數(shù)按向上累計計算）；—為中位數(shù)所在組的組距。—中位數(shù)所在組的上限；——中位數(shù)組前一組的累計次數(shù)（累計次數(shù)按向下累計計算）。下限公式：

上限公式：

2.中位數(shù)的特征和作用中位數(shù)是位置平均數(shù)，不受極端值的影響（當次數(shù)分布非對稱，特別是資料中存在極端值時，中位數(shù)作集中趨勢的測度量較準確）。中位數(shù)適用于測度數(shù)量資料集中趨勢外，尤其適用于測度定序數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于定類數(shù)據(jù)。順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(例題分析)解：中位數(shù)的位置為300/2＝150從累計頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中。因此

Me=一般中位數(shù)

(median)排序后處于中間位置上的值Me50%50%不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即三、集中趨勢的其它測度量—四分位數(shù)(quartile)將資料按大小順序排列后，分割成四等分，得到三個分割點，每個分割點上的數(shù)值就是四分位數(shù)。四分位數(shù)位置的確定：未分組資料分組資料順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(例題分析)解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4

=225從累計頻數(shù)看，QL在“不滿意”這一組別中；QU在“一般”這一組別中。因此

QL

=不滿意

QU

=一般數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(9個數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789

數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(10個數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)確定了上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的位置后，可根據(jù)下列公式確定四分位數(shù)值。四分位數(shù)

(quartile)