專題27：找點專題18

專題27：找點專題1．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)，并給予證明．【解析】（1）

由題意得，即在區(qū)間上恒成立．當時，，所以，故實數(shù)的取值范圍為．（2）由已知得，則．當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，又，，故函數(shù)有且只有一個零點．當時，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，而，，（在上恒成立）由于，所以，所以在上存在一個零點．又，且，設(shè)，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．而，所以在上恒成立，所以，所以在上存在一個零點．綜上所述，當時，函數(shù)有且只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點．2．已知函數(shù).(是自然對數(shù)的底數(shù))（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）記，，試討論在上的零點個數(shù).(參考數(shù)據(jù)：)【解析】（1）由題意，函數(shù)，其定義域為，可得，令，即，解得解得.令，即，解得解得.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由，可得，令，則，因為，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，，①當時，即時，，所以，使得，所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，所以，又因為，由零點存在性定理可得，此時在上僅有一個零點.②若時，，又因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以，，使得，，且當?時，；當時，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以，因為，所以.又因為，由零點存在性定理可得，在和內(nèi)各有一個零點，即此時在上有兩個零點.綜上所述，當時，在上僅有一個零點；當時，在上有兩個零點.3．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).【解析】（1）當時，，函數(shù)的定義域為所以，設(shè)，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，所以當時，；當時，所以當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）當時，由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，所以函數(shù)有且僅有一個零點.當時，，所以函數(shù)沒有零點.當時，，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又且，所以，，所以.令，則且.令，則且.下面先證：，令，則故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以所以.令，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以所以，所以函數(shù)在和內(nèi)各有一個零點，所以函數(shù)有兩個零點綜上，當時，函數(shù)沒有零點；當時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點.4．已知函數(shù)，其中，.（1）當時，證明不等式恒成立；（2）若()，證明有且僅有兩個零點.【解析】（1）令，則，當時，，∴在上單調(diào)遞減，∴，即不等式恒成立；（2）的定義城為，且，令，，則在上單調(diào)遞增，當時，，∴，，故在上有唯一解，從而在上有唯一解，不妨設(shè)為，則，當時，，∴在上單調(diào)遞減，當時，，∴在上單調(diào)遞增，因此是唯一極值點，∵，∴，即在上有唯一零點，，∵，由（1）可知，∴，即在上有唯一零點，綜上，在上有且僅有兩個零點.5．已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).【解析】（1）當時，，定義域為，，又，，∴曲線在處的切線方程是，即；（2）顯然，函數(shù)的定義域為，，令，則，當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴有最大值，當，即時，，于是，即，∴在上單調(diào)遞減，又，∴只有一個零點，當，即時，，，令()，則，∴在上單調(diào)遞減，，∴；∴，又且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴存在，使得，存在，使得，∴當時，，當時，，當時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，且，∴在內(nèi)有唯一零點，且、，又，，∴在與內(nèi)均有唯一零點，故當時，函數(shù)有三個零點，因此當時，函數(shù)有一個零點，當時，函數(shù)有三個零點.6．已知函數(shù)，．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．【解析】（1）當時，，，，，所以曲線在處的切線方程為．（2）函數(shù)的定義域為，．①當時，，無零點．②當時，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值．當，即時，無零點．當，即時，只有一個零點．當，即時，，，令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，因此當時，，．因為，所以，于是．又在上單調(diào)遞增，，且，所以在上有唯一零點．，當時，，令，其中，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，，故當時，．因為，所以，即，所以．由，得，即，得，于是．又，，在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點．故時，有兩個零點．③當時，由，得，則，又當時，，所以，無零點．綜上可知，或時，無零點；時，只有一個零點；時，有兩個零點．7．已知函數(shù)．（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，當時，證明：當時，；（Ⅱ）若有兩個不同的零點，求的取值范圍.【解析】（Ⅰ），所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，當時，.（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，則，令，當時，當時，，當時，，得，所以當時，，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時至多有一個零點，至多一個零點不符合題意舍去.當時，有，此時有兩個零點，設(shè)為，且．又因為，，所以.得在，為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，，又因為，，且圖象連續(xù)不斷，所以存在唯一，使得，存在唯一，使得，又因為，所以，當有兩個不同的零點時，.8．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）令，當時，證明∶函數(shù)有2個零點.【解析】（1）（2）當時，，∴是的一個零點，由，設(shè)，則.因為，①當時，，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，此時在無零點②當時，，有，此時在無零點.③當時，，，∴在單調(diào)遞增，又，，由零點存在性定理知，存在唯一，使得.當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；又，，所以在上有1個零點.綜上，當時，有2個零點．9．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）函數(shù)，當時，討論零點的個數(shù).【解析】（1）函數(shù)的定義域為，.①當時，，所以在上單調(diào)遞減；②當時，令得.若，；若，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.（2）設(shè)函數(shù)因為，所以得.當時，，在上單調(diào)遞減.當時，，在上單調(diào)遞增.所以當時，取最小值，最小值為.若時，，所以函數(shù)只有1個零點；若時，，所以函數(shù)無零點；若時，，，，故，；所以函數(shù)在和各有一個零點，所以函數(shù)有兩個零點.綜上所述，當時，函數(shù)只有1個零點；當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)有兩個零點10．已知函數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線平行于直線，求該切線方程；（2）若，求證：當時，；（3）若恰有兩個零點，求a的值．【解析】（1）因為，所以，故．所以．所求切線方程為，即．（2）當時，，．當時，；當時，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以的最小值為．故時，．（3）對于函數(shù)，．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以是的極大值，是的極小值．因為，所以在上有且只有一個零點．由于，①若，即，在區(qū)間上沒有零點；②若，即，在區(qū)間上只有一個零點；③若，即，由于，所以在區(qū)間上有一個零點．由（2）知，當時，，所以．故在區(qū)間上有一個零點．因此時，在區(qū)間上有兩個零點．綜上，當有兩個零點時，．11．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1），，設(shè)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故時，，即在區(qū)間單調(diào)遞減，當時，，即在區(qū)間單調(diào)遞增．所以當時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；（2）函數(shù)的定義域為．由．①當時，，此時單調(diào)遞增，最多只有一個零點；②當時，令．由，可知函數(shù)單調(diào)遞增，又，，可得存在，使得，有，可知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．若函數(shù)有兩個零點，必有，得．又由．令，有，令，可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有．當時，，．可得此時函數(shù)有兩個零點．由上可知，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是．12．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的零點個數(shù).【解析】（1）要使函