人教版八年級數(shù)學(xué)上冊課件第十二章-全等三角形

12.2三角形全等的判定第十二章全等三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時“邊角邊”

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重點）

2．會用“SAS”判定方法證明兩個三角形全等及進行簡單的應(yīng)用．（重點）3.了解“SSA”不能作為兩個三角形全等的條件．（難點）

1.回顧三角形全等的判定方法1

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為

“邊邊邊”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD2.符號語言表達(dá)：ABCDEF知識回顧當(dāng)兩個三角形滿足六個條件中的3個時，有四種情況:三角×三邊√兩邊一角？兩角一邊

除了SSS外,還有其他情況嗎？思考講授新課三角形全等的判定（“邊角邊”定理）一問題：已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC“兩邊及夾角”“兩邊和其中一邊的對角”它們能判定兩個三角形全等嗎？尺規(guī)作圖畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A

（即使兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ABC探究活動1：SAS能否判定的兩個三角形全等動手試一試ABCA′

DEB′

C′

作法：（1）畫∠DA'E=∠A；（2）在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；（3）連接B'C'.？思考：

①

△A′B′C′與

△ABC

全等嗎？如何驗證？②這兩個三角形全等是滿足哪三個條件？在△ABC

和△DEF中，∴

△ABC

≌△DEF（SAS）．

文字語言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等

（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）．知識要點

“邊角邊”判定方法幾何語言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF

，ABCDEF必須是兩邊“夾角”例1：如果AB=CB

，∠ABD=∠CBD，那么

△ABD

和△CBD

全等嗎？分析:△ABD

≌△CBD.邊:角:邊:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，？ABCD(SAS)BD=BD(公共邊).典例精析證明：在△ABD

和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴△ABD≌△CBD(SAS).BD=BD(公共邊)，變式1:已知：如圖,AB=CB,∠1=∠2.求證:(1)AD=CD；

(2)DB平分∠ADC.ADBC1243在△ABD與△CBD中，證明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AB=CB(已知），∠1=∠2（已知），BD=BD（公共邊），∴AD=CD，∠3=∠4，∴DB平分∠ADC.ABCD變式2:已知:AD=CD，DB平分∠ADC，求證:∠A=∠C.12在△ABD與△CBD中，證明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AD=CD(已知），∠1=∠2（已證），BD=BD（公共邊），∴∠A=∠C.∵DB平分∠ADC，∴∠1=∠2.例2：如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達(dá)A和B的點C，連接AC并延長到點D，使CD＝CA，連接BC并延長到點E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么?C·AEDB證明：在△ABC和△DEC

中，∴△ABC

≌△DEC（SAS），∴AB=DE，（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.AC=DC（已知），∠ACB

=∠DCE

（對頂角相等），CB=EC（已知）

，

證明線段相等或者角相等時，常常通過證明它們是全等三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.歸納已知:如圖,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求證:∠A=∠D.證明:∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性質(zhì))，

即∠ABC＝∠DBE.

在△ABC和△DBE中,

AB＝DB(已知)，∠ABC＝∠DBE(已證)，

CB＝EB(已知)，∴△ABC≌△DBE(SAS).∴∠A=∠D(全等三角形的對應(yīng)角相等).1A2CBDE針對訓(xùn)練想一想：

如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD.這個實驗說明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD滿足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC與△ABD不全等.探究活動2：SSA能否判定兩個三角形全等畫一畫：畫△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm．觀察所得的兩個三角形是否全等？

ABMCDABCABD有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.結(jié)論例3

下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是(

)典例精析A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判斷能不能使△ABC≌△DEF，應(yīng)看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只有選項C的條件不符合，故選C.C方法總結(jié)：判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．解題時要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的．當(dāng)堂練習(xí)1.在下列圖中找出全等三角形進行連線.Ⅰ?30o8cm9cmⅥ?30o8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30o?8cm5cmⅤ30o8cm?5cmⅧ8cm5cm?30o8cm9cmⅦⅢ?30o8cm8cmⅢ2.如圖，AB=DB，BC=BE，欲證△ABE≌△DBC，則需要增加的條件是

()A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBC

D3.如圖，點E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.

求證：△AFD≌△CEB.

FABDCE證明：∵AD//BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE

∴△AFD≌△CEB（SAS）.∴AE+EF=CF+EF，

即

AF=CE.(已知），(已證），(已證），4.已知：如圖，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，

求證：BD=CD.證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD

∴△ABD≌△ACD（SAS）.(已知），(已證），(已證），∴BD=CD.已知：如圖，AB=AC,BD=CD，求證：∠BAD=∠CAD.變式1證明：∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.AB=ACBD=CDAD=AD

(已知），(公共邊），(已知），已知：如圖，AB=AC,BD=CD，E為AD上一點，求證：

BE=CE.變式2證明：∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD

(已知），(公共邊），(已知），∴BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE

(已知），(公共邊），(已證），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴△ABE≌△ACE（SAS）.5.如圖，已知CA=CB,AD=BD,M，N分別是CA，CB的中點，求證：DM=DN.在△ABD與△CBD中證明:CA=CB(已知）AD=BD（已知）CD=CD（公共邊）∴△ACD≌△BCD（SSS）能力提升連接CD，如圖所示；∴∠A=∠B又∵M，N分別是CA，CB的中點，∴AM=BN在△AMD與△BND中AM=BN(已證）∠A=∠B（已證）AD=BD（已知）∴△AMD≌△BND（SAS）∴DM=DN.課堂小結(jié)

邊角邊內(nèi)容有兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“SAS”)應(yīng)用為證明線段和角相等提供了新的證法注意1.已知兩邊，必須找“夾角”2.已知一角和這角的一夾邊，必須找這角的另一夾邊

12.2三角形全等的判定第十二章全等三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第3課時

“角邊角”、“角角邊”

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）教學(xué)課件情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．2．會用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”證明兩個三角形全等．導(dǎo)入新課如圖,小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說明其中理由嗎?情境引入321講授新課三角形全等的判定（“角邊角”定理）一問題：如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？ABCABC圖一圖二“兩角及夾邊”“兩角和其中一角的對邊”它們能判定兩個三角形全等嗎？作圖探究先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，

使A′B′=AB，∠A

′=∠A，∠B′=∠B

(即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等).把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔緼CBACBA′B′C′ED作法：（1）畫A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁畫∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于點C'.想一想：從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？知識要點

“角邊角”判定方法文字語言：有兩角和它們夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”）.幾何語言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′例1

已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.典例精析BCAD

判定方法：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等兩個三角形全等．例2

如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求證：AD=AE.ABCDE分析：證明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.證明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B

（已知），∴△ACD≌△ABE（ASA)，∴AD=AE.問題：若三角形的兩個內(nèi)角分別是60°和45°，且45°所對的邊為3cm，你能畫出這個三角形嗎?60°45°用“角角邊”判定三角形全等二合作探究60°45°思考：

這里的條件與1中的條件有什么相同點與不同點？你能將它轉(zhuǎn)化為1中的條件嗎？75°兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.簡寫成“角角邊”或“AAS”.歸納總結(jié)∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′

（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF．∠B＝∠E，

BC＝EF，

∠C＝∠F.證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，例4

如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS).(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.證明：∵△BDA≌△AEC,方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)進行線段之間的轉(zhuǎn)化．1.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，則下列補充的條件中錯誤的是（）A．AC＝DFB．BC＝EFC．∠A＝∠DD．∠C＝∠F2.在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么這兩個三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不對當(dāng)堂練習(xí)AB

3.如圖，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判別下面的兩個三角形是否全等，并說明理由.不全等，因為BC雖然是公共邊，但不是對應(yīng)邊.ABCDABCDEF4.如圖∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么應(yīng)補充一個條件

，才能使△ABC≌△DEF

（寫出一個即可）.∠B=∠E或∠A=∠D或

AC=DF（ASA）（AAS）（SAS）AB=DE可以嗎？×AB∥DE5.已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,求證：AB=AD.ACDB12證明：∵

AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.

在△ABC和△ADC中，∠1=∠2（已知），∠B=∠D（已證），AC=AC（公共邊），∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB=AD.學(xué)以致用：如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說明其中理由嗎?321答：帶1去，因為有兩角且夾邊相等的兩個三角形全等.能力提升：已知：如圖，△ABC

≌△A′B′C′，AD、A′D′

分別是△ABC

和△A′B′C′的高.試說明AD＝A′D′

，并用一句話說出你的發(fā)現(xiàn).ABCDA′B′C′D′解：因為△ABC

≌△A′B′C′，所以AB=A'B'（全等三角形對應(yīng)邊相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形對應(yīng)角相等）.因為AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已證），∠ABD=∠A'B'D'（已證），AB=AB（已證），所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.ABCDA′B′C′D′全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等.課堂小結(jié)

邊角邊角角邊內(nèi)容有兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“ASA”)應(yīng)用為證明線段和角相等提供了新的證法注意注意“角角邊”、“角邊角”中兩角與邊的區(qū)別12.2三角全等形的判定第十二章全等三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)

第4課時

“斜邊、直角邊”

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）

情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（難點）2．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．（重點）SSSSASASAAAS舊知回顧:我們學(xué)過的判定三角形全等的方法導(dǎo)入新課如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______.CBAACBCAB思考：前面學(xué)過的四種判定三角形全等的方法,對直角三角形是否適用？ABCA′B′C′1.兩個直角三角形中，斜邊和一個銳角對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？2.兩個直角三角形中，有一條直角邊和一銳角對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？3.兩個直角三角形中，兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？口答：動腦想一想如圖，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF嗎？我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF問題：如果這兩個三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF嗎？ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理）一講授新課任意畫出一個Rt△ABC,使∠C=90°.再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？ABC作圖探究畫圖方法視頻畫圖思路（1）先畫∠MC′

N=90°ABCM

C′N畫圖思路（2）在射線C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′畫圖思路（3）以點B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于A′MC′ABCNB′A′畫圖思路（4）連接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通過上面的探究，你能得出什么結(jié)論？知識要點“斜邊、直角邊”判定方法文字語言：

斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.幾何語言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定兩個直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）一個銳角和這個角的對邊對應(yīng)相等；（）（2）一個銳角和這個角的鄰邊對應(yīng)相等；（）（3）一個銳角和斜邊對應(yīng)相等；（）（4）兩直角邊對應(yīng)相等；（）（5）一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等．（）HL×SASAASAAS判一判典例精析

例1

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求證：BC﹦AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC

和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC應(yīng)用“HL”的前提條件是在直角三角形中.這是應(yīng)用“HL”判定方法的書寫格式.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.

變式1：如圖，∠ACB=∠ADB=90，要證明△ABC≌△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應(yīng)的括號內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS如圖，AC、BD相交于點P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C、D,AD=BC.求證：AC=BD.變式2HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC如圖：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判斷AD和BC的位置關(guān)系.變式3HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC例2

如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．例3：如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形對應(yīng)角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.DA當(dāng)堂練習(xí)1.判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（）A.兩條直角邊對應(yīng)相等B.斜邊和一銳角對應(yīng)相等

C.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等D.兩個銳角對應(yīng)相等2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，AD、CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則CH的長為（）A．1B．2C．3D．44.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.ABCED證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，

CE=BD,

BC=CB

.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC

（填“全等”或“不全等”），根據(jù)

（用簡寫法）.全等HLAFCEDB5.如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BF=DE.證明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,

AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BD平分EF.AFCEDBG變式訓(xùn)練1

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF嗎?變式訓(xùn)練2C

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF6.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？【分析】本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP＝AC，P、C重合．解：(1)當(dāng)P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；能力拓展(2)當(dāng)P運動到與C點重合時，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當(dāng)AP＝5cm或10cm時，△ABC才能和△APQ全等．【方法總結(jié)】判定三角形全等的關(guān)鍵是找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．課堂小結(jié)“斜邊、直角邊”內(nèi)容斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.前提條件在直角三角形中使用方法只須找除直角外的兩個條件即可（兩個條件中至少有一個條件是一對對應(yīng)邊相等）12.3角的平分線的性質(zhì)第十二章全等三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第1課時角平分線的性質(zhì)

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點）2.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.

（重點）挑戰(zhàn)第一關(guān)情境引入問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分

線嗎？

導(dǎo)入新課用量角器度量，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？提煉圖形

問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應(yīng)角相等.挑戰(zhàn)第二關(guān)探索新知問題：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO尺規(guī)作角平分線一做一做：請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細(xì)觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點MN為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)二驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.方法歸納

性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用典例精析ABCP變式：如

圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4,AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長.·AB·PD=28.由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，=1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解當(dāng)堂練習(xí)2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，解得AC＝3.F方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．EDCBA68105.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴AE＝AB-BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.6.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.

7.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.課堂小結(jié)角平分線尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握性質(zhì)定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點向兩邊作垂線段12.3角的平分線的性質(zhì)第十二章全等三角形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第2課時角平分線的判定

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解角平分線判定定理.(難點）2.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.（重點）3.學(xué)會判斷一個點是否在一個角的平分線上.導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)回顧ODPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.1.敘述角平分線的性質(zhì)定理不必再證全等E2.我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.講授新課角平分線的判定一PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．問題：交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE幾何語言：猜想:思考：這個結(jié)論正確嗎？已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，

∴點P在∠AOB

角的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP證明猜想判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.知識總結(jié)典例精析

例1：如圖，要在S區(qū)建一個貿(mào)易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O方法點撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點.活動1分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的內(nèi)角平分線二發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點活動2分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等你能證明這個結(jié)論嗎？已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明結(jié)論證明：過點P作PD，PE，