2022新高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納35直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（學(xué)生版）

專題35直線、平面垂直的判定與性質(zhì)一、關(guān)鍵能力1.了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關(guān)系的定義，掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理；2.掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理.二、教學(xué)建議1.以幾何體為載體，考查線線、線面、面面垂直證明.2.利用垂直關(guān)系及垂直的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，處理綜合問題.3.本節(jié)是高考的必考內(nèi)容．預(yù)測2020年高考將以直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)為重點，涉及線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定及其應(yīng)用，題型為解答題中的一問，或與平行相結(jié)合進(jìn)行命題的判斷.以及運用其進(jìn)一步研究體積、距離、角的問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、運算求解能力及空間想象能力．三、自主梳理 定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直．定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,l⊥a,l⊥b,a∩b＝A))?l⊥α性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b知識點2．平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ABβ,AB⊥α))?β⊥α性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝MN,ABβ,AB⊥MN))?AB⊥α知識點3．線面、面面垂直的綜合應(yīng)用1．直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法①定義法．②利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．(2)直線和平面垂直的性質(zhì)①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線．②垂直于同一個平面的兩條直線平行．③垂直于同一直線的兩平面平行．2．斜線和平面所成的角斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角．3．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法①定義法②利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的性質(zhì)如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．四、高頻考點+重點題型考點一與線、面垂直相關(guān)命題的判定例1-1．（2021·浙江期末）已知，是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例1-2.（2021·湖南省安化二中模擬）如圖，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC訓(xùn)練1．【多選題】（2021·南京市寧海中學(xué)高一月考）如圖，在正方體中，線段上有兩個動點，，若線段長度為一定值，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值考點二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例2-1.（線面垂直的判定）（2021·河北易縣中學(xué)）在三棱錐中，，，O是線段AC的中點，M是線段BC的中點.（1）求證：PO⊥平面ABC；例2-2.（線面垂直的性質(zhì)）（2020·云南省下關(guān)第一中學(xué)高二月考（文））如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，底面.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成的角為，求點到平面的距離.考點三面面垂直的判定與性質(zhì)例3-1.（面面垂直的判定）（2020·全國高考真題（文））如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.例3-2.（面面垂直的性質(zhì)）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,，面面,為等邊三角形，為的中點．若是的中點，求三棱錐的體積．訓(xùn)練1.在四邊形中，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結(jié)論正確的是（）A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面訓(xùn)練2.（2021·全國高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．考點四、線線垂直的判定例4.（2021·全國高考真題（文））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.ABCDD1A1ABCDD1A1C1B1EABCDD1A1C1BEABCDD1A1C1B1F求證⊥．訓(xùn)練3．如圖，在長方體中，，是的中點，ABCDD1ABCDD1A1C1B1EABCDD1A1C1ABCDD1A1C1B1E求證⊥．ABCDP訓(xùn)練5．如圖，在四棱錐中，底面，且底面是菱形，ABCDP求證⊥．OABPC訓(xùn)練6．如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在平面，是圓上不同于的任一點，求證：⊥平面．OABPC考點五、平行與垂直的互相利用例5-1.（2021·安徽省舒城中學(xué)）設(shè)m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個不同的平面．給出下列四個命題：①若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；③若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，則m⊥β．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④例5-2.（2021·湖南期末）如圖，在三棱柱中，，，.證明：平面平面；訓(xùn)練1．（2021·浙江高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面考點六、垂直的探索例6-1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是邊PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)例6-2.在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中，給出下列結(jié)論：①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結(jié)論的序號是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)例6-3.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．例6-4.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點，PD⊥BF.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E在線段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一點G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱錐D－CEG的體積；若不存在，請說明理由．鞏固訓(xùn)練一、單項選擇題1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n(2021·河北唐山模擬)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()A．①② B．②④C．①③ D．②③3.如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE4．（2020·四川省眉山中學(xué)模擬）如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部5.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直6.如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC多項選擇題7．判斷下列結(jié)論中正確的是()A．垂直于同一個平面的兩平面平行．B．直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.C．若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．D．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.8．如圖PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論，其中真命題的是()A．AE⊥BCB．EF⊥PBC．AF⊥BCD．AE⊥平面PBC，三、填空題9．（2021·北京101中學(xué)期末）設(shè)，是兩個不同的平面，l是直線且，則“”是“”的______.條件(參考選項：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).10．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．11．在正三棱錐(底面為正三角形且側(cè)棱相等)P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE．其中正確論斷的序號為________．12．(1)三角形的一邊BC在平面α內(nèi)，l⊥α，垂足為A，ABC，P在l上滑動，點P不同于A，若∠ABC是直角，則△PBC是________三角形；(2)直角三角形PBC的斜邊BC在平面α內(nèi)，直角頂點P在平面