2021年中考數(shù)學(xué)綜合題沖刺17 二次函數(shù)綜合（拔高）（含答案及解析）

專題17二次函數(shù)綜合(提優(yōu))

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線-2x+c與直線>=丘+6都經(jīng)過A(0,-3)、8(3,

0)兩點，該拋物線的頂點為C.

.(1)求此拋物線；

(2)求直線AB的解析式；

(3)設(shè)直線AB4該拋物線的對稱軸交于點E,在射線EB上是否存在二點M,過M作x軸的垂磁交拋

物線于點N,使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

【分析】(1)、(2)用待定系數(shù)法即可求解;--

，(3)［)如圖八連接CN,,若點用在》軸出；四邊形CEMN為平行四邊形，則CE=MV,選而默解;

②如圖2,連奏EM,CM,MN,若點M癥x軸;方，四邊形CENM為平行四邊彩，則CE=MN,進而

求解.LJ、一-［故?］女.L-、

【解答】解：(j)?.?拋物線y=o?-2x+c經(jīng)過A(0,-3)、B(3,0)兩點，

拋物線的解析式為y=?」2x-3；

(2)?直線)，=匕+8經(jīng)過A(0,-3)、B(3,0)兩點,

.(3k+b=0，解得：｛O

.力=一3

直線AB的解析戲y=〈-3；

(3)?.?>=/-2x-3尸(x-1)2-4,

??.拋物線的頂點。的坐標(biāo)為(1,-4),

,?，CE〃)，軸，：：

：.E(1,-2),/

：.CE=2,ii■

①如圖1,連接CM若點M在x軸下方，四邊形CEMN為平行四邊形，貝l」CE=A/N,

feM(〃，a-3h*WV(tz,a2-2a-3),

.\MN=a-3-(J-如-3)=-(r+3af

.*.-/+3。=2,

解得：4=2,.4=](舍去)，

>??.?

：.M(2,-1),-

②如圖2,連接EMCM,MN,若點例在x軸上方，，四邊形CEMW^F行四邊形，則CE=MN,1?

設(shè)A-3),則N(。，。2-2。-3),

:.MN=j-2a-3-(〃-3)ka?-3。,

，/-3a=2,.

你得：“=當(dāng)豆一卷去負云)，

3+717-34-V17

AM(----,------),

綜上，M點的坐標(biāo)為(2,-1)或(------，-------).、

2*A2*..、、

【.點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì).等，其中(3),要注

意分類求解，避免遺漏.

2.拋物線y=o?+法+3(a,b為常數(shù)，。70)與x軸交于A(-2,0),B(6,0)兩點，與y軸交于C點.設(shè)

該拋物線的頂點為其對稱軸與x軸的交點為N.

(I)求該拋物線的解析式和頂點M的坐標(biāo)；

(II)P為線段MN(含端點M,N)上一點，且縱坐標(biāo)為〃?，Q(〃，0)為x軸上一點，且尸Q_LPC.

①求〃關(guān)于，”的函數(shù)解析式；

②當(dāng)〃取最大值時，將線段CQ向上平移/個單位長度，使得線段CQ與拋物線有且只有一個交點，請

U1)①設(shè)P點坐標(biāo)為(2,M(其中04〃W4),由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ1,即可求解；

②求出線段CQ的解析式，得到線段CQ向上平移，個單位長度后的解析式為：)=-親+3+f,當(dāng)線段CQ

向上平移，線段：CQ與拋物線有且只有一個灰點時，由△=(),即可求的.

>

■.??L，L>\'?

【解答】解：(I)設(shè)拋物線的表達式為y—ci(x-xi)(x-X2)—a(x+2)(x-6)—a(x2-4x-12),

則-12a=3,解得：a=-i,

拋物線解柝式為：y=-1(7-4x-12)==#+x+3①；

???則拋物線的對稱軸為：x=2,頂點拉(2,4)；-----

(JI)①設(shè)P點坐標(biāo)為(2,〃?)(其中0+“W4),

貝l」PC2=22+(w-3)2,P^^m1+(〃-2)2,CQ1=32+n2,

?《■▼Jy■■/fA'、■%J/?

，*/?.-，?/——j—―/*--t^p//>二一

'：PQ±PC,

..二'.?'【"一?-I

?在RlZXPCQ中，由勾股定理得：PC2+P02=Ce2,

即22+(-3)W+(n-2)2=32+n2,

wQ.V

整理得：〃=Jinr-3/?7+4)=.(m—1(0<〃W4)；

ZZZo

,R'JT1，1.<t—/17.

②對于〃=J{nr-3m+4)=i(/??—5)(0WmW4),..\

Z*ZZo

,當(dāng).m=4時，”取得最大值為4,

則。(4,0),

由點C、。典坐標(biāo)得：線段C。的解析式為：產(chǎn)一點+3,

■■.―一.?”.?

.設(shè)線段CQ向上平移"/個區(qū)位長度后的解析式后y=-$+3+,②，

當(dāng)線段CQ向上#琢線段‘CQ與拋物線有白或有一上交點時，

聯(lián)立①②并整理得：，d-7x+4r=0,，,，，

由4=49-16r=0,

解得t=y|.^

【點評】本題是二《函數(shù)綜合題，主要考查的總一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定熱的運用、圖形的平移等,7

；定的綜合性：*J適中「..

3.如圖，拋物線y=-7+2葉3與x軸正手軸，)，軸正半軸分別交于gA、B,點G為拋物線的厚點.

(1)求頂點G的坐標(biāo)；

(2)求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；

(3)若點P是拋物線上一點，點尸的橫坐標(biāo)為,〃，當(dāng)x》〃?，此函數(shù)圖象上的函數(shù)值y隨x的增大而減

小，寫出機的取值范圍；

(4)點M、N為拋物線上兩點(點M在點N的左側(cè))，且到對稱軸的距離分別為3個單位和5個單位長

度，點。為拋物線上點M、N之間(含M、N)的一個動點，求點。的縱坐標(biāo)的取值范圍.

【分析】(I)y虧-』+2x+3=-(x-1)2+4,即可求解：

.，(2)令y=-7苞+3=0,解得x=-l或1,即可求解；

(3)由(1?知，拋物線的云稱軸為『1,“=?■1<0,.故當(dāng)x>［時，函數(shù)值y隨二的增大眄減小，即

甫求解；’.

(4)求出點M,點N坐標(biāo)，即可求解.?.,

A■一

【解答】解：(1)*y=-+2x+3—~Cx-1)*4,

上頂點G的坐標(biāo)為'(1,4)：

(2)令)=-/+2T+3=0,解得彳=-1或3,

故拋物線和R府的交點坐標(biāo)為屋1,0)>(3,0)；

???

?(3)由(1)'知；.拋物線的對稱軸為直線I,

V?=-l<0,

?■，；'.Mt/,*?，//.，:/1.

故當(dāng)x>l時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，

故加21；

/?，,3d，jv'?

(4)?.?產(chǎn)-?+2x+3=-(x-1)2+4,?一??

?*■-KJ-

；.對稱軸為直線x=l,

?.?點M,N為拋物線X兩點(點M在點N的左自)，且到對稱軸的距離分疝為3個單位長度和5個單日

長度，

??.點加的橫坐標(biāo)為-2或.4,點N的橫坐標(biāo)為6,.,

.?.點M坐標(biāo)為(：-2,-5)或(4,-5?,N坐標(biāo)為(6,-21),:

??,點Q為拋物說t點M,N之間(含點M,灰)的一個動點，.

??二點Q的縱坐標(biāo)y()的取值范'圍為：-?1.0oWa5.

【點評】本題為二次函數(shù)綜杳題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，”二次函

數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

4.已知，如圖，拋物或yua^+Zw+c與坐標(biāo)軸分別交于點A(0,6),B(6,0),C(-2,0),點P息線

段4B上方拋物線上的一個動點.

(1)求直線AB的解析式；

(2)求拋物線的解析式：

(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，△B4B的面積有最大值？

【分析】(1)‘直博利用待定系數(shù)法，即可得當(dāng)結(jié)論；，.\?,

(2)根據(jù)交點式，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-6)(科2)(aWO),將點A(0,G)代入求解，即可得

出結(jié)論；

(3)利用5△以冷=SeB4/v+SaPBN，即可求解.

【薛答】解：(1)等線<8的解析式為(ZWO)：

將點A(0,6);B(6,0)代入y=Ax+A.(4WO),得_0，.'j.,.；、

-[/<=-1

F=6'

則直線AB的解析式為y=」x+6；?

?.■?W

,(2):拋物線過點R(6；0),C(-2,0),一

，設(shè)拋物線的解標(biāo)式為.y=a(x-6)(x+25：(aW0),i

將點A(0,6)代入y=a(x，-6)(x+2),得-12。=6,?

解得〃=―?

???拋物線的解析式為尸(%-6)(x+2)=—J/+2r+&

-、.?j一、一一

，(3)如圖，

過點尸作PN〃y軸，及AB于N,

.******.

1f

設(shè)尸點坐標(biāo)為S，—5P+2f+6)(0<r<6),

則N(/,r+6),

PN=yp-w-5^+2^+6-(-什6)=-i「+2什6+f-6=—與d+3九

N乙'乙

?'?SAAB=S4PAN+S&PBN

.J，if，1/?,*7’d

11

=1PN,\xp-必|+]PN?\XB-xp\

=gpN?xB-XA），=^x（-52+3八X6

=+（L3）2+g,上：'<

，z

15*

...當(dāng)，=3,即點P位于（3「一）時，△以8的面積有最大值.

2

【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角蔡的面積公式掌握坐標(biāo)系中求幾何圖形

面積的方法是解本題的關(guān)鍵.

5.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線-2m?+"?-3與x軸交于點A、B.

（I）①求相的取值范圍；.

②當(dāng)拋物線經(jīng)過原點時，求拋物線的解析式；

,,f?.z

③求拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）若線段48上有且只有5個點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，求”的取值范圍；

（3、若拋物線在-3<x<0這一段位于x軸下方，在5Vx<6這一段位于x軸上方，求機的值.

【分析】（1）,①根據(jù)拋物線與x軸有兩個交展得出△>（）,即可得出軍儂；

用將點（0,0）代入拋物線好析式中，求解即可得出結(jié)論；

③用配方法潞拋物線葡析式配成頂點式，即可落出結(jié)論；.’.

（2）先判斷出*=3時，yWO,當(dāng)x=4時，>>>0,解不等式，即,可得、出結(jié)論；

..（3夕先判斷出拋物線在這一段位于1軸上方，結(jié)合拋物線在-30x<（r這一段位于x軸下

方，得出當(dāng)X=-3時，y=0,即可得出結(jié)洽

【解答】解：（,1廣（3：拋物線尸族-2必+”?-3與.軸交于點4、B,

；.△=（-2m）2-4w（/n-3）>0,

t>??

：.m>0；

??■

?②將'（0,0）代入皿物線y=蕨-2/nx+〃L3吊，得0=，〃-3,

r./w=3,?-，，.

???拋物線的解析式為,=3/--6x：

(3)Vy=??tx2-2nix+)n-3=m(x2-2x+l)?-3=m(m-1)2-3,

■??<k?>K***■f.***:,?

，拋物線的頂1巾標(biāo)為(L-3)；

(2)由⑴知，拋物線的對稱軸為直線為x=l,

???線段AB上有目只有5個點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，?,

；.這些整數(shù)為i1.0,1,2,3,

?.4k.：■一1..Lw

7/w>0,1?-.〕

，當(dāng)％=3時，y=9/n,6，〃+加-3W0,f,.

.一

..w<甲

當(dāng)>=4時?y=16m-Sm+m-3>0,

.1

13

-，?gV，"W4；''

(3)由(1)知，拋物線的對稱軸為曾線為x=l,且m>0,

:施物線在，5<x<6或一段位?x軸上方，.-.*^-、,.

矍據(jù)拋物線的號稱性得，購物線在-4。<*「3這一盤位于x軸上方廠.

1/拋物線在-3<x<0這一段位于x軸下方，

..O**..

???當(dāng)x=-3時,y=9m+6〃?+〃7-3=0,?

：3

..,〃=否

【￡評】此題是二次函數(shù)綜合窗，主要考直了二次函數(shù)的‘性質(zhì)，配方羊，熟練掌握疝運用二次函數(shù)的性

質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.、\??、?？、

?.%??

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=32-左經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸正手軸交于點4,該拋物線的貨

點為M,直線y=~^x+b經(jīng)過點A,與y軸交于點B,連接OM.

(1)求人的值及點M坐標(biāo).

(2)將直線A8向卞平移，得到過點M的直箋)，=〃a+〃，且與x軸負半軸交于點C,取點。(2,0),

連接。M,此時發(fā)現(xiàn)/ADM-ACM是個常數(shù)，請寫出這個常數(shù)，并證明.

(3)點E是線段A8上一動點，點F是線段OA上一動點，連接E凡線段￡尸的延長線與線段。/交于

點G,當(dāng)NBEF=2NBAO時,是否存在點E,使得3GF=4EF?若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

(2)證明：如圖1中，設(shè)平移后的直線的解析式為把點M的坐標(biāo)代入求出"，過點。(2,

0)作。干從則直線Q”的解析式為y=2r-4,構(gòu)建方程組求出點”的坐標(biāo)，證明

推出/Z)MC=45°晶結(jié)論.

'(3)如圖2中'，菰覆G作匕"J_QA于H；上1E作E/JLQA于K.證明［跖4』/840,由題意》詁A

11

=/GFH,tanZBAO==4，推出tanNG/T/ntaHNEFK：為由G”〃EK,進而求解.

【解答】(1)解：對于拋物線y=基2-令y=0,得到三t2-2x=(),

J3

解得V=0或6,

?*.A(6,0),...?a-a

?.?二、1?1,1?;、B?二't

直線y--1x+/?經(jīng)過點A,...

L■■■

???0=-3+b,

：.b=3,

?*<小/?"?jt/?

**.*v=iv2-2x=i(l3)"-3,

-33

：.M(3,-3A:、

〉“j|rfr,jfi

(2)證明:如圖1中，設(shè)平移后的直線的解析式y(tǒng)=-1r+”.

xX'

-*-

???平移后的直線經(jīng)過M(3；-3)：

3=-l+n,<，f-

?

??__13?

???

V?.平移后的直線的解析式為尸一營一處,.---,

過點D(2,01作DHLMC于H,

則直線DH的解析式為y=2x.-4②，

.一■

聯(lián)立①②并解得「二1_2'::

：.H(1,-2),

*-VD(2,0),M(31-3：,

：.DH=g2+1%V5,HM=Vl2+22=V5.

iirM?y(/?*jfr.

，NDWC=45°,

???ZADM=ZDMC+ZACM,

???

.?????NAOM」NACMw45—為常數(shù)；..

(3)解：存在；理由：

，，

如圖2中，過點G作G“_LOA于"，過點E作EKJ_OA于K."

：?2EFA=NBA0,,

VZEM=ZGFH,tanZB/lO=^=1=1,

*0462

14

Z.tanZGFH=tanZEFAT=務(wù)’

,:GH〃EK,：

GFGH4、「

—=—=-,設(shè)GH=4k,EK=3k,

FEEK3

則OH=HG=4k,FH=8k,FK=AK=6k,

：.OF=AF=\2k=3,

??k='r,

：.OF=3,FK=AK=I，Ek=%.

9/

：?OK=〈2,.?,

93

；?E(一，一).一

24

【￡評】本題屬于*次函數(shù)綜A題，考查了：次函數(shù)的性;貢，一次函數(shù)的性質(zhì),.平*線分線段成比例定

程，解直角三般(等知識，，解題的關(guān)鍵是學(xué)含添加常用輔助線，構(gòu)薄篤角三角形解決問題，學(xué)唐利用參

數(shù)購建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-/+2%+3與x軸交于點A,8(點A在點B的左側(cè))，與)，

軸交于點C,拋物線頂點為點￡>.

.(1)求B,C,。三點坐標(biāo)；

(2)如圖1,拋物線上有E,尸兩點，且軸，當(dāng)△￡>￡下是等腰直角三角形時，求線段EF的長度；

(3)如圖2,連接BC,在直線BC上方的拋物線上有一動點P,當(dāng)△P8C面積最大時，點尸坐標(biāo).

【分析】(1)對于y=-/+2x+3,令丁=-7+2》+3=0,解得x=3或-1,令x=0,,則y=3,故點A、B、

。的坐標(biāo)分別為(7,0)、(3,0)、(0,3),函數(shù)的對稱軸為x=l,工x=l時，y=-/+2x+3=4,即

■??

"苛求解；「"'一//**.**/:'’/Xy

.(2)△OEF是等腰直角三角形，E尸〃x軸，典]根據(jù)函數(shù)的對稱性，‘只有ZEDF為直角一種情況，即”尸

=DH,即可求觸；.1：'.)

(3)由△P8C面積=SMHC+SAPHB=，'〃?08,即可求解.

【解答】解：.(1)對于y=-1+2無+3,令y=-/+2x+3q0,解得克=3或-1,令x：0,.貝!]y=3,

’做點4、B、。的坐標(biāo)分另『為(-1,Q故(3,0\(0,3),

函數(shù)的對稱軸為±±1,當(dāng)為=1時，y=-%2+2r+3=4,?

故點D的坐標(biāo)為(1,4),?

故B,C,。三點坐標(biāo)分別為(3,0)、’(0,3)、(1,4)；

1?⑵；△。即是等腰直角三廟形，小〃》軸，-..一

則根據(jù)函數(shù)的對稱性，,只食NE/加為直角一種情況，*.?*.,

設(shè)點EG,-f+2x+3),點0和點E關(guān)于函數(shù)對稱軸對.稱，故點尸(2-x,-/+2/3),

圖1

過點。作DHLEF與點4,

???△CEF是等麻直角三角形，故△￡>“￡病腰直角三角形，

故HF=DH,即居,(yo-")，

I

則-(2-x-x).=(4-?-2x-3),解得x=l(舍去)或0,

?2??

故x=0,■

則所=2-1一%2；

?<^?<?■?

，.■?,?

(3)過點P作P〃〃y軸交BC于點H,

山點8、C的坐標(biāo)得，直線8c的表達式為y=-x+3,

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(x,-/+2X43)，則點”(x，-x+3),.

則△PBC面積=%HC+SAPHB=3PH*OB=ix3X(-?+2x+3+x-3)=-1)+%,

V-1<0,故△P8C面積存在最大值，此時x=2，

■.■，一?/］，，AJ

」人-315

故點P(一，一).

24

【點評】本題為三次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的

自養(yǎng).要會利畝成形結(jié)合而思想把代數(shù)和)由圖形結(jié)A起來，利用小威標(biāo)的意攵表示線段的必看從

而未出線段之間的關(guān)系.

??<

8.如圖，己知二次函數(shù)產(chǎn)成+后的的圖象與x軸交于A、B,與y軸交于點C,ZACB=90°,且0C=

20A.

(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)若點P為直線BC上方拋物線上的一動點，PM_LBC于M,PN〃丫軸交8c于N,求△2"義周長的

最大值及此時是P的坐標(biāo)；

(3)過點A作BC的平行線交拋物線于￡>,E為直線A￡>上一動點，尸為平面內(nèi)一動點，當(dāng)以8、C、E、

尸為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出點E坐標(biāo).

【分析】(1)證明為C0=NC8。，則。不二辦”。，即42=2?08,-解得：0B=8,故點8(8,07,

進而求解；

(2)設(shè)△PMN周長為/,則i=PN+PM+NM=PN(\+sinZMPN+cosZMPN)=%在(-|r+4+1.v

-4)=邑箸，―32+^),即可求解；“I

.(3)分BC是菱形的邊、8c是菱形的對角線兩種情況，利用菱形的性質(zhì)和中點公式T，分別求解即可.

【解答】解：(1)連接4C,由拋物線的表出式知，點C(0,4),而OC=2O4,

：./ACO+NBCO=90°,4CO+NCBO=90°,

ZACO=^CBO,

tanZACO=就=tanZCBO=的，

即.0C2=0A-B0,即42=2?。8,解得：0B=8,故點8(8,0),

由點A、8的坐標(biāo)知，拋物線的表達式為y=a(x+2)(x-8),。

將點C的灰標(biāo)代入工式并解得〃=-i

q

故拋物線的表達式詠=一1(x+2)Gf-8"==#+|x+4：

(2)由點8、C的坐標(biāo)得，直線BC舞表達式為尸-巨+4,

延長PN交x軸.于點H,

則ZMNP=90°二NPNM=90：-ZBNM=ZCBO,

nr41-，-71

在RtACOB中,.tanNC3O=滯=尹*W'NMPN,則cosZMPN=南，sihZMPN=言

設(shè)點P(x>—]:+全+4),則點N(x,-3+4),

設(shè)△PMN周長為/,則l=PN+PM+NM=PN(1+sin/MPN+cosNMPN)=(-|x2+|A+44-1r-4)

=^|^([#+2x),)...、...；.,?..;?、J..

?，殳第<D,圈有最大值，當(dāng):4時，/典最大值為空詈在，此呻點尸(4,6)；「

(3)-：AD//BC,則設(shè)直線AQ的表達式為)，=一1G+2)

設(shè)點￡的坐標(biāo)為(3—5-1),點尸(〃?，〃)，

乙

而點■8、C的坐標(biāo)分別為？8,0)、(0,4)；：*

①當(dāng)8C是菱形的邊時，?,.

則，8C=CE或BE,.

?

即82+4?=?尸+(4+i/+l)2或82+42=?，(8-/)2+(-if-1)2,

解得t=-2±4百或6±4V3,.

故點E的坐標(biāo)為K-2+4百，-2百)或(-2-曷氏2V3)或(6+4b，-4三26)或(6-46，2+2舊]

②當(dāng)8C是菱形的對角線時，

且CE=CE即尸+(士+1+4)2=m2+(/?-4)之①，

2

由中點公式得：5(.8+0)=*Cm+t),且5(4+0)=1-1)②，

聯(lián)其①②并解得尸2,故點E(2,-2)；-

綜上，點E的坐標(biāo)為(-2+48，-28)或(-2-4V12%)或X6+4V1-4-2百)或Y6-48，

-4+2V5)'或G2，-2).

【點評】本題是三孥數(shù)舔合題，主要考查了工■次函數(shù)盼性質(zhì)、菱形的性理、解直雋三角形、圖形呼f

移等，其中(3),胃注意分類求解，避免遺漏；

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=fcr+l與x軸交于點A,與)，軸交于點C,過點C的拋物線;=〃/

-(6a-2)x+b與直線AC交于另一點B(4,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)已知x軸上一動點Q(〃?，0),連接BQ,若AAeQ與ZVIOC相似，求出〃?的值.

【4析】(1)把點￡、8坐標(biāo)A入二次函數(shù)表達式得13=?X42-4(6?-2)+1,即看求解:

(2)分NAQB=90。、NA8Q=90。兩種情，況，求解即可.

【例答】解：(1)點C的坐好為(0,1),b=\,

將點B坐標(biāo)代入代入二次函數(shù)表達式得：3=4%+1,解得：k"，'

則一次函數(shù)表立式為：尸全+1，則點A匯標(biāo)為(-2,0),

把點C、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式得：3=aX42-4(6a-2)+1,解得，=/

則二次函數(shù)表達式為：y=P-jr+1；

.4.2

(2)①如下圖4當(dāng)乙4。8=90°時，

f

△48。與△AOC相似，機=4,

②當(dāng)乙48。=90°時，△Ab。與△AOC相似,

A0_2_

AB=J(4+2尸+32=3底cosZBAO=石=海'

則AQ=eV瓢。=T'

.則而=竽一2=學(xué),

乙乙■“??

11

即：肥的值為4或二■.

【點評】本題考查的二次函數(shù)綜合運用，落及到三角形形似、解直角‘三角形等知識“要注意根焉不同情

《if4-if

況分類討論，本題難度不大，但容易遺漏情況.

10.如圖，拋物線)，=0?+版+6經(jīng)過A(-2,0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點C,點力是拋物線上一動

點，設(shè)點。的橫坐標(biāo)為，"(l</n<4),連結(jié)AC、BC、DB、DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式.

3

(2)當(dāng)△8CQ的面積等于△AOC的面積的;時，求加的值.

4

(3)當(dāng)，〃=2時，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使

得以點8、D、M.N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

【分析】(1，)用待定系數(shù)法即時求解；

(2)SABDC=KHDXOB=2(-為2+射+6+薪-6)=2(-^m2+3m)?硝LiC0=|x|x6X2=l即

L4-ZZ<4-4L

可求解?；

(3)分8。是邊、8。是對角線兩種情況，利用圖象平移的性質(zhì)和中點公式即可求解.

【解答】解：(1)由拋物線交點式表達式得：y=a(x+2)(x-4)-2x-8)=ax2-2ax-8d,

即-8?=6,解得：ci=—彳q,

故拋物線的表達式為：尸一#+|r+6；

'(2)由拋物線的表達式知，點C(0,6),..

由點B、.C的坐標(biāo)，得直線/C的表達式為；尸一|x+6,

如圖所示，過點D作,軸的平行線交直線BC于點H,

則S/、BDC=XOB=2（—■?〃廣+*”+6+6）=2（—最〃「+3/"）,

Z4ZZ4

331；9-

.?./△ACO=4xzx6X2=2，

即：2（—薪?+3加）=

4L

解得：加=1或3（舍去1）,

故機=3；..

(3)當(dāng)加=2時；點。(2,6),

■、*.K.

設(shè)點M(x,0),點N(f,〃)，貝lj”=一3+|/+6①，

①當(dāng)BD是邊時，

點B向左平移2個單位向上平移6個單位得到點D,同樣點M(N)向左平移2個單位向I平移6個單

位得到點MIM),

幽工廣。啾；江

解得x=4(此時是點B的橫坐標(biāo)，舍去)或±g(不合題意的值已舍去)；

故點M的坐標(biāo)為(舊，0)或(-舊，0)；

②當(dāng)8。是對角繾時，

^(3+4)=；")③,

由中點公式得：

|(6+0)=1(n+0)

=6

聯(lián)立①③并解得t=2,

e1%=5???

.故點M的坐標(biāo)為(V0)；'

綜上，點M的坐標(biāo)為(V1710)或(-V17,6)或(,5.0).,

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了欠函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)I圖形的平移、面枳

的計算等，其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

11.如圖1,拋物線y=-f+fcr+c與x軸相交于點4(-1,0)和點B,交y軸于點C,CO=3AO,點P是

拋物線上第一象限內(nèi)的一動點，點Q在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式：.

(2)過點P作PO〃y軸交8c于點Q,求線段PO長度的最大值；

(2)設(shè)點P(x,>/+2r+3),則點。(x,-x+3)(0<x<3),則PD=(-#+2x+3)-(-x+3)=--+

3x=-(x-|)2+1,即可求解；

(3)證明△CM8也△CP3CASA),則CA/=CP=2,OM=2>-2=1,即可求解.

【解答】解：2VA(-1,0),則OA=1,

又'.'CO=3AO,：.OC=3,Ct0,3),

把A,C兩點的坐板代入y=-/+fec+c得仁1二°+。=°,

.1c==□

解得『=今。。'?.匕7

lc=3

拋物線的解析式為y=-?+2r+3；.

(2)由=0得點8(3,0),設(shè)直殯8c的解析式為.尸質(zhì)+b,'

將點8(3,0),C(0,3)代入得解得｛：=-1

=3

二直線BC的解析式為y=-x+3,

設(shè)點P(x,,-/+2x+3),.則點力(X,-x+3)<0<x<3),'

9

2+-

PD=(―%2+2x+3)—(—x4-3)=—x2+3%=—(%4

.?.當(dāng)x=|時，P￡>有英大值/

(3)；B(3.,0),C(0,3),

*'：.OC=OB,----

ABOC是等腰直角三角形，

：.^BCO=45°',

VZBCP=45\,

；./BCP=/BCO=45°,

J.CP//OB,

設(shè)P(f,3),代木拋物線y=-r+2x+3得P(2，3〉，'一二》.「--??k.'

[，，?[>??]>

故CP=2-0=2,

????-?

在ACMB和△CPB/；

'/BCP=zfBCO=45°

BC=BC>

.、4QBC=LPBC

：.2CMB迫ACPB(AS4),

，CM=CP=2,

：.OM=3-2=1,*

.?.點M(0,1).

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形全等、等腰直角三角形的性質(zhì)等，

,有?定的綜合性；賴適血

12.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3,3)、8(4,0)和原點O.P為二次函數(shù)圖象上的一個動點,

過點P作X軸的垂線，垂足為￡>("30),并與直線OA交于點C.

(1)求出二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)點P在直線。4的上方時，求線段PC的最大值；

（3）當(dāng)點尸在直線OA的上方時，求△APO的最大面積.

【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；

)

9

求解

2即可

2+-

（2）由PC—PD-CD--m+4m-m=-nr+3nif4

、

（3）由S/\AOP的最大值=5“（7。+5八/04=$xPC〃*Xx4，,即可求解.

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：），=ox（x-4）,

把A點坐標(biāo)（3,3）代入得：〃=-1,

,函數(shù)的解析式為j=;,/+4x,