小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)涵

小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)涵

20世紀(jì)80年代，美國國家數(shù)學(xué)教師委員會(huì)（rcm）在20世紀(jì)80年代的學(xué)校數(shù)學(xué)教育法案上指出了這一點(diǎn)?！边@一口號(hào)提出以來,問題解決已成為國際數(shù)學(xué)教育研究的重要課題之一。進(jìn)入90年代以來,問題解決仍被不少國家的數(shù)學(xué)教育工作者置于使學(xué)生具有較高數(shù)學(xué)素質(zhì)這一教學(xué)目標(biāo)的中心地位。從我國的情況來看,這方面的研究有待深入。本文擬結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際,就問題解決的有關(guān)問題作一初步的探討。一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目對于問題解決的內(nèi)涵,即什么是問題解決,不同學(xué)者、不同文件作出了不同的解釋。較有代表性的觀點(diǎn)有以下幾種。其一,問題解決是應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程。如美國數(shù)學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)(NCSM)在《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中指出:“問題解決是把前面學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到新的和不熟悉的情境中的過程?！逼涠?問題解決是一種能力。如英國的考克羅夫特(Cockcroft,W.H.)等人稱:“那種把數(shù)學(xué)用于各種情況的能力,我們叫做問題解決。”其三,問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的。美國學(xué)者西爾弗(Silver,E.A.)指出:“20世紀(jì)80年代以來,世界上幾乎所有的國家都把提高學(xué)生的問題解決能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一?！逼渌?問題解決是一種教學(xué)模式。如英國的《考克羅夫特報(bào)告》中提到:“將‘問題解決’的活動(dòng)形式看做教或?qū)W的類型。”上面四種解釋的著眼點(diǎn)雖各有側(cè)重,但其實(shí)質(zhì)是一脈相通的,即問題解決是一種在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中形成的數(shù)學(xué)能力,這種數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)必須著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素質(zhì)之一,需要構(gòu)建一種適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)模式來實(shí)現(xiàn)這一培養(yǎng)目標(biāo)。事實(shí)上,問題解決本是學(xué)習(xí)心理學(xué)中早就存在的一個(gè)重要概念。在美國心理學(xué)家加涅最初提出的學(xué)習(xí)等級分類中,問題解決為層次最高的一類學(xué)習(xí),是指以獨(dú)特的方式選擇多組規(guī)則并加以綜合運(yùn)用的學(xué)習(xí)。從問題解決學(xué)習(xí)的心理活動(dòng)來看,它是一種以問題為目標(biāo)定向,以思考為內(nèi)涵的探索活動(dòng)。具體地說,是指學(xué)生面臨新的問題情境,發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要有矛盾但又缺乏現(xiàn)成對策時(shí)所引起的探究處理問題方法的心理活動(dòng)。有必要指出,本文之所以強(qiáng)調(diào)問題解決的心理學(xué)含義,是因?yàn)閷栴}解決視為一種高級形式的學(xué)習(xí),其外延就要比“學(xué)習(xí)解題”(不管是什么樣的題)廣泛得多。就小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,它首先存在于獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中,表現(xiàn)為憑借已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)去完成新的學(xué)習(xí)課題;其次存在于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中,表現(xiàn)為將學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)、原理、技能遷移到新的問題情境中去。二、發(fā)現(xiàn)與發(fā)現(xiàn)并形成的內(nèi)角和內(nèi)因小學(xué)生以數(shù)學(xué)為研究客體的問題解決學(xué)習(xí),同樣具有一般問題解決的一些特征。第一,問題解決是指試行解決初次遇到的新問題。也就是說,主體必須具有解決該問題的意愿,并且是第一次解決這一問題。如果是第二次、第三次解決同類問題,那么這樣的活動(dòng)只能說是一種練習(xí)。第二,問題解決是一種進(jìn)行探究、克服障礙的活動(dòng)。因此,這里所說的問題具有障礙性和探究性,它能使主體陷入一定的認(rèn)知困惑狀態(tài),所以有別于通常針對學(xué)習(xí)內(nèi)容而設(shè)計(jì)的操練性習(xí)題。因?yàn)樵谝话闱闆r下,解答這類操練性習(xí)題時(shí)學(xué)生只要運(yùn)用教師提供的典范方法(甚至是詳細(xì)的操作步驟),避免失誤就能取得解題成功。也正是由于問題的障礙性、探究性,所以問題又是因?qū)W生而異的。例如,利用三角形的內(nèi)角和去探求多邊形的內(nèi)角和,對于小學(xué)生具有障礙性和探究性,而對于知道結(jié)論的中學(xué)生,就不成為問題。第三,導(dǎo)致問題獲得解決的已有規(guī)則(包括概念、命題等)的獨(dú)特組合,往往生成一種更高級的規(guī)則或解題策略,因而具有發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的成分。例如,在130、144、147、158、159、174六個(gè)數(shù)中1.能被2整除的數(shù)有哪幾個(gè)?2.能被3整除的數(shù)有哪幾個(gè)?3.能被6整除的數(shù)有哪幾個(gè)?回答前兩個(gè)問題,明顯地只是已學(xué)整除特征的運(yùn)用。在教師沒教能被6整除的數(shù)的特征的情況下,如果學(xué)生依據(jù)整除概念用6去除給出的每一個(gè)數(shù),根據(jù)是否有余數(shù)來作出判斷,且就此結(jié)束解題活動(dòng),那就仍停留在前兩個(gè)問題的學(xué)習(xí)水平上,只是應(yīng)用的知識(shí)有所不同。如果學(xué)生通過自己的思考,將能被2、3整除的數(shù)的特征綜合成能被6整除的數(shù)的判斷方法,就得到了一個(gè)新的規(guī)則。不管這一規(guī)則的得出,是受了前兩個(gè)問題的啟發(fā)或者說“暗示”,還是先用6試除,然后才發(fā)現(xiàn)能被6整除的數(shù)既能被2、又能被3整除都沒關(guān)系。因?yàn)閷W(xué)生來說,這確實(shí)是一個(gè)新的發(fā)現(xiàn),這說明學(xué)生已進(jìn)入了問題解決學(xué)習(xí)的層次。對于問題解決的內(nèi)在心理機(jī)制,長期以來,不同的心理學(xué)派作出過不同的解釋。早期的聯(lián)想心理學(xué)派認(rèn)為問題解決是“試誤”,而格式塔心理學(xué)派則認(rèn)為是“頓悟”。應(yīng)該說,試誤與頓悟都不是絕對的。當(dāng)解決問題的途徑不明確時(shí),有選擇地進(jìn)行嘗試并及時(shí)糾正偏差,常常是可取的。但盲目的嘗試既費(fèi)時(shí),又難以奏效,就是僥幸成功,也無多大的認(rèn)知收獲,而解題者沉浸在思考中突然悟出解法的現(xiàn)象,也并非絕無僅有。但頓悟的出現(xiàn)常常是探究、假設(shè)的結(jié)果,是已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的遷移,而且頓悟還可能是試誤的產(chǎn)物。從50年代起,由人工智能研究發(fā)展起來的信息加工理論認(rèn)為,問題解決是一個(gè)搜集信息、處理信息的過程,因此,這種理論側(cè)重于問題解決程序的研究。近年來這方面的研究已取得很大進(jìn)展。但程序設(shè)計(jì)必須在問題和解決方法都能非常明確地陳述出來的條件下才能進(jìn)行。如果說“問題說得明白,等于解決了一半”,那么計(jì)算機(jī)程序?qū)嶋H上只實(shí)現(xiàn)了問題解決的另一半?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)將問題解決解釋為問題情境與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相互作用,側(cè)重于問題解決中認(rèn)知策略的研究。三、核心問題的確立、描述和描述通常,小學(xué)數(shù)學(xué)課本中新的學(xué)習(xí)課題,以及首次出現(xiàn)的例題,大多符合上述的問題特征。因此,新授階段無疑是問題解決的廣闊天地。在問題解決的教學(xué)中,既有啟發(fā)式、探究式教學(xué)的成分,也有動(dòng)手操作、帶著問題閱讀課本、討論質(zhì)疑等多種學(xué)習(xí)方法的綜合運(yùn)用。其教學(xué)功效是不言而喻的,即充分發(fā)揮學(xué)生的主體性和能動(dòng)性,使他們在獲取知識(shí)、理解知識(shí)的同時(shí),感悟探究的某些策略與方法,從而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),促進(jìn)發(fā)展。實(shí)施問題解決的教學(xué)過程,大致包括四個(gè)環(huán)節(jié):感知問題→分析問題→解決問題→檢驗(yàn)評價(jià)。這是基于一般情況所作的劃分,這幾個(gè)環(huán)節(jié)是典型的,但又不是刻板的。在不少情況下,某一步可嵌入另一步中,從而使問題解決過程得到簡縮,或使某種特殊的解題策略得以實(shí)施。這里,僅就感知問題與檢驗(yàn)評價(jià)環(huán)節(jié)中易被忽視的幾個(gè)問題作些分析。感知問題是解決問題的第一步,也是對分析問題的定向。因此,感知問題不能僅僅滿足于分清已知什么、要求什么,更重要的是通過了解問題的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài),在頭腦里建立起整個(gè)問題的映象。雖然這種映象一開始可能是粗略的,但可以定出繼續(xù)研究的方向。如果只注意片斷的感知和局部的了解,就難以實(shí)現(xiàn)對分析問題的定向,也難以引起感知與思維的“共振”。例如,以下面的例題為載體推導(dǎo)分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則。小明爬山,3535小時(shí)行910910千米,他1小時(shí)行多少千米?感知這一問題,如果僅僅讓學(xué)生說出已知條件和所求問題,那就等于將題目重讀一遍,對探尋算法并無多大幫助。如果指導(dǎo)學(xué)生由題意畫線段圖,那么學(xué)生是否理解已知數(shù)與未知數(shù)的含義,是否對問題有所整體領(lǐng)悟,都可以通過畫出的線段圖反映出來。借助圖示很容易明確分析的方向是搞清3等份與5等份的關(guān)系。不難看出對于這個(gè)問題來說,圖示既是感知問題的外顯形式,又是分析問題的輔助手段,同時(shí)還起到了自然銜接感知問題、分析問題兩個(gè)環(huán)節(jié)的作用。為了幫助學(xué)生更好地感知問題,還應(yīng)當(dāng)盡可能地在知識(shí)系統(tǒng)的框架下引入問題,使學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的背景,并造成學(xué)生的認(rèn)知沖突,激起學(xué)生解決問題的欲望,進(jìn)而誘發(fā)他們更大的主動(dòng)性和積極性。例如,教學(xué)能被3整除的數(shù)的特征。通常認(rèn)為沒有必要復(fù)習(xí)能被2、5整除的數(shù)的特征,理由是新舊知識(shí)差異較大,擔(dān)心只看個(gè)位數(shù)的思維定勢對獲取新知識(shí)產(chǎn)生負(fù)遷移。然而實(shí)踐已證明,不但應(yīng)該復(fù)習(xí),而且還可因勢利導(dǎo),讓學(xué)生從小到大報(bào)出10個(gè)3的倍數(shù):3,6,9,12,15,18,21,24,27,30然后引導(dǎo)學(xué)生觀察思考:1.能被3整除的數(shù),個(gè)位數(shù)字有哪幾種情況?2.判斷某數(shù)能否被3整除,只看個(gè)位數(shù)行嗎?這樣,學(xué)生從一開始接觸課題就知道,能被3整除的數(shù)的特征與能被2、5整除的數(shù)的特征不同,需要另外尋找新的判斷方法,不能只看一個(gè)數(shù)字。顯然,這有利于轉(zhuǎn)換思路去發(fā)現(xiàn)新的方法,接納新的知識(shí),而且轉(zhuǎn)換思路本身還是一種有益的解題經(jīng)驗(yàn)。問題解決的檢驗(yàn)是指對問題答案、結(jié)論的檢查與驗(yàn)證。通過檢驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生從其他角度深入審視問題,增強(qiáng)對結(jié)論的確信感。問題解決的評價(jià)是指對問題解決過程的合理性、簡捷性等因素作出評判;對問題解決的策略、方法進(jìn)行總結(jié)。因?yàn)槲覀兊哪康氖窃讷@得陳述性知識(shí)的同時(shí)積累程序性知識(shí),所以評價(jià)是問題解決教學(xué)應(yīng)當(dāng)重視的環(huán)節(jié)。以上述導(dǎo)出分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算法則的問題為例,可以根據(jù)乘除法的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)算;也可以將910910千米改寫成900米,使分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為前面學(xué)過的整數(shù)除以分?jǐn)?shù),通過計(jì)算:一方面驗(yàn)證答案的正確性,另一方面進(jìn)一步看到每一等份是300米(310(310千米),從而理解計(jì)算過程中約分的實(shí)際含義?？偨Y(jié)時(shí),除了歸納計(jì)算法則、計(jì)算要點(diǎn)之外,還應(yīng)總結(jié)推導(dǎo)的過程與方法:先算出幾等份中的一份是多少,再算出全部的幾份是多少,整個(gè)過程如同應(yīng)用題的“歸一”解法。實(shí)踐告訴我們,學(xué)生掌握這一思路對于洞察分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題的內(nèi)在解題機(jī)制,對于用口算解決有關(guān)的實(shí)際問題都有益處。四、問題的開放性數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用過程中的問題解決,其步驟與上面給出的四個(gè)環(huán)節(jié)基本一致。不妨更簡練地表述為:審題→分析→解答→回顧。美國著名數(shù)學(xué)家波利亞提倡的解題步驟也是類似的四步。鑒于并不是所有的練習(xí)題都具有問題解決學(xué)習(xí)的問題性質(zhì),所以一些學(xué)者在研究中,往往側(cè)重于數(shù)學(xué)中的非常規(guī)問題、開放性問題和現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際數(shù)學(xué)問題。其實(shí),常規(guī)與非常規(guī)的界線是很模糊的。例如:72+75+78本是一道極其普通的常規(guī)計(jì)算題,但具有選擇簡便算法自覺性的學(xué)生卻想到了3種算法:算法一72+75+78=(72+78)+75算法二72+75+78=75×3算法三72+75+78=70×3+2+5+8如果說,依據(jù)加法交換律與結(jié)合律的算法一是學(xué)過的,應(yīng)歸入常規(guī)方法的話,那么巧妙應(yīng)用“平均數(shù)”的算法二和靈活應(yīng)用“數(shù)的組成”的算法三無疑是非常規(guī)的了?？梢姵Ｒ?guī)與非常規(guī)是相對的。所謂開放性問題是指題目的條件不充分,或答案不惟一,或問題解決的途徑多種多樣。也有學(xué)者概括為問題存在某種不確定性。應(yīng)該說,相對于傳統(tǒng)的封閉性問題而言,適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些開放性問題,開闊學(xué)生的思路,使學(xué)生了解現(xiàn)實(shí)生活中各種數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性、多樣性是有益的。例如:如果給你10元錢,可以買回多少千克蘋果?這道缺少條件的應(yīng)用題,似乎更接近生活實(shí)際?？梢宰寣W(xué)生自己去水果店了解蘋果售價(jià)再計(jì)算,把錢用完或剩余一點(diǎn)都可以。學(xué)生問到的單價(jià)不盡相同恰恰反映了市場經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)實(shí)狀況。要是由此引起討論:追求量多還是質(zhì)好?偏遠(yuǎn)地區(qū)價(jià)低合算嗎?那么收獲就更大了。又如:王師傅接受了加工600個(gè)零件的生產(chǎn)任務(wù),他每小時(shí)加工72個(gè),工作8小時(shí)有沒有完成任務(wù)?這是一道改變了問題提法的應(yīng)用題。從筆者作的測試結(jié)果來看,學(xué)生想到的解法主要有:解法一72×8=576(個(gè)),600-576=24(個(gè))解法二600÷72=8(小時(shí))……24(個(gè))解法三600÷8=75(個(gè))可見,問題提法的“開放性”給學(xué)生提供了展現(xiàn)個(gè)性的機(jī)會(huì)。也有一些學(xué)生無從下手,但當(dāng)把問題改為“工作8小時(shí)后還剩幾個(gè)沒加工?”他們中的絕大多數(shù)很快作出了正確的解答。這正說明只練習(xí)封閉性題目的局限性。必須指出,從某種意義上講,數(shù)學(xué)的價(jià)值,它的生命、力量,就在于它的確定性、精確性?？梢哉f數(shù)學(xué)的任務(wù)就是從混亂狀態(tài)中抽取規(guī)律性,從開放性中找出確定性。因此,適當(dāng)補(bǔ)充一些開放性問題是可取的,但不應(yīng)厚此薄彼。類似地,解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際數(shù)學(xué)問題有利于加強(qiáng)教學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系,促進(jìn)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。但實(shí)際問題要搬到課堂上來,且適于教和學(xué),常常不得不進(jìn)行簡化或典型化。再者,解決實(shí)際問題需要將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題,而這種化歸能力又可以反過來通過給數(shù)學(xué)問題賦予各種實(shí)際