立體幾何初步復(fù)習(xí)課

立體幾何初步復(fù)習(xí)課一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容人教版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第167頁(yè)至第171頁(yè)第八章立體幾何初步小結(jié)及復(fù)習(xí)參考題8．重點(diǎn)是通過(guò)分析常見(jiàn)幾何圖形及典型問(wèn)題，梳理立體幾何初步的核心概念、定理等內(nèi)容與思想方法．本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下框圖：2．內(nèi)容解析本章包括兩部分內(nèi)容，第一部分是認(rèn)識(shí)基本立體圖形：包括從空間幾何體的整體觀察入手，通過(guò)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球等基本立體圖形的組成元素及其相互關(guān)系，認(rèn)識(shí)這些圖形的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及它們?cè)谄矫嫔系闹庇^圖表示和它們的表面積和體積的計(jì)算．第二部分是認(rèn)識(shí)基本圖形位置關(guān)系：主要是討論組成立體圖形的幾何元素之間的位置關(guān)系．從組成立體圖形的基本元素——點(diǎn)、直線、平面出發(fā)，研究平面基本性質(zhì)，認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，重點(diǎn)研究直線、平面之間的平行和垂直這兩種特殊的位置關(guān)系．因此本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是通過(guò)分析常見(jiàn)幾何圖形及典型問(wèn)題，梳理立體幾何初步的核心概念、定理等內(nèi)容與思想方法，從而構(gòu)建立體幾何的核心體系．難點(diǎn)是分析組合體的結(jié)構(gòu)特征以及運(yùn)用有關(guān)定理推理證明一些幾何元素間的位置關(guān)系．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）在回顧與思考本章的主要內(nèi)容的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生梳理立體幾何的核心概念、定理等內(nèi)容與思想方法，構(gòu)建立體幾何的核心體系，體會(huì)研究空間圖形的基本思路：直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算．（2）借助分析典型問(wèn)題的通性通法，通過(guò)“圖”（識(shí)圖、畫(huà)圖、用圖）提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，通過(guò)“寫(xiě)”（圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言）培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，通過(guò)“悟”（直觀感知、操作確認(rèn)）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象水平．2．目標(biāo)解析（1）通過(guò)問(wèn)題的形式回顧主要內(nèi)容，并不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是深入思考、歸納概括、建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成研究空間圖形的基本方法．（2）借助正方體等常見(jiàn)幾何體模型，設(shè)計(jì)一些綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題讓學(xué)生自主探究，建立一套解決復(fù)雜問(wèn)題的處理模式．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生雖然學(xué)完了立體幾何初步的內(nèi)容，但對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)基本上停留在碎片化的就題論題的表層水平，對(duì)空間元素位置關(guān)系的研究不深入，需要在一兩節(jié)復(fù)習(xí)課上以師生相互交流的方式更深入地認(rèn)識(shí)立體幾何．四、教學(xué)支持條件分析觀察和展示現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例與圖片，“幾何畫(huà)板”的畫(huà)圖軟件，投影儀等．五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題1：我們是從哪些角度入手研究基本幾何體的結(jié)構(gòu)特征的？你能用基本幾何體的結(jié)構(gòu)特征解釋身邊物體的結(jié)構(gòu)嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明．我們從對(duì)空間幾何體（實(shí)物、模型、圖片等）的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)多面體、旋轉(zhuǎn)體以及一些基本幾何體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球）的結(jié)構(gòu)特征，研究這些幾何體的組成元素及其相互關(guān)系． 師生共同總結(jié)：（1）n棱錐：F=n+1,E=2n,V=n+1,V+F-E=2n棱柱與n棱臺(tái)：F=n+2,E=3n,V=2n,V+F-E=2n棱錐的本質(zhì)特征：有一個(gè)面是n邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．n棱柱的本質(zhì)特征：有兩個(gè)面（均為n邊形）相互平行，其余各面是每相鄰兩個(gè)面的公共邊互相平行的四邊形面．n棱臺(tái)是用一個(gè)平行于n棱錐底面的平面去截棱錐，所得的底面與截面之間的部分．當(dāng)n棱柱的一個(gè)底面“均勻”縮小變?yōu)槊娣e較小的相似底面時(shí)，變成n棱臺(tái)；繼續(xù)“均勻”縮小成一個(gè)點(diǎn)時(shí)，便變成n棱錐．（2）V+F-E=2這個(gè)規(guī)律是歐拉拓?fù)涔剑篤+F-E=2,其中V,F,E分別是簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、面數(shù)、棱的條數(shù)．例2中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美．圖2是圖1“半正多面體”的直觀圖．（1）請(qǐng)你數(shù)一數(shù)該幾何體的面數(shù)F，棱數(shù)E，頂點(diǎn)數(shù)V，是否有例1的規(guī)律？（2）請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)是怎樣數(shù)出來(lái)的？說(shuō)說(shuō)該半正多面體的結(jié)構(gòu)特征．師生共同總結(jié)：（1）F=26,E=48,V=24,F+V-E=2（2）①該半正多面體可看成一個(gè)組合體，從上而下看，最上層與最下層是兩個(gè)全等的多面體（如圖3，圖5），圖3多面體的下底面是正八邊形，上底面是正方形，且下底面與上底面平行，側(cè)面有四個(gè)正方形，四個(gè)正三角形；中間是正八棱柱（如圖4）．②從上下、左右、前后三個(gè)方向看，該半正多面體都具有相同的結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，也展示了南北朝時(shí)期的審美觀與幾何文化．問(wèn)題2：利用斜二測(cè)畫(huà)法可以畫(huà)出空間幾何體的直觀圖．你能結(jié)合實(shí)例說(shuō)出用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖的基本步驟嗎？斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖，是用平面圖形表示空間圖形的重要方法，我們能夠根據(jù)直觀圖想象空間幾何體的形狀和結(jié)構(gòu)．簡(jiǎn)單說(shuō)，斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則是：橫豎不變，縱減半，平行性不變．我們可以例1中的正八棱柱為例，具體展示用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖的基本步驟（如圖6）．問(wèn)題3：對(duì)于空間幾何體，可以有不同的分類(lèi)，你能選擇不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球等空間幾何體進(jìn)行分類(lèi)嗎？如何計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積？你能說(shuō)出柱、錐、臺(tái)、球的體積公式之間的聯(lián)系嗎？空間幾何體按照圍成它的各個(gè)面的特征（平面還是曲面）分類(lèi)，可以得到多面體、旋轉(zhuǎn)體．進(jìn)一步地，按照組成多面體和旋轉(zhuǎn)體的面、棱、頂點(diǎn)等組成要素的特征及其位置關(guān)系分類(lèi)，又可以得到棱柱、棱錐、棱臺(tái)等基本的多面體以及圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等基本的旋轉(zhuǎn)體．棱柱、棱錐和棱臺(tái)的表面積就是組成它們的各個(gè)面的面積和，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面與表面積可以通過(guò)側(cè)面展開(kāi)為平面圖形來(lái)處理．用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究棱柱、棱錐和棱臺(tái)的體積公式之間的關(guān)系：分析：考慮旋轉(zhuǎn)后得到怎樣的幾何體．解析：圖7旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體是底面圓半徑與高均為的圓柱挖去一個(gè)圓錐后的幾何體，該圓錐的頂點(diǎn)為圓柱下底的圓心，底面與圓柱上底面重合（如圖9中的右圖所示）．為什么這兩個(gè)幾何體的體積相等呢？課后同學(xué)們可上網(wǎng)查閱“祖暅原理”進(jìn)行更多的了解．

探究1：?jiǎn)栆栽撜襟w的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有幾種（全等的算一種）？比較這些四面體的結(jié)構(gòu)特征．展示同學(xué)們的作業(yè)，同時(shí)交流思路．四面體的四個(gè)頂點(diǎn)不可能在正方體的同一個(gè)面上，應(yīng)該分布在正方體的上、下兩個(gè)面上，以在下底面的頂點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)考慮．歸納總結(jié)有以下四種（如圖11）：探究2：是否存在四個(gè)面都是直角三角形的四面體？總結(jié)：（1）求四面體的體積一般可根據(jù)四面體的結(jié)構(gòu)特征，確定高與底面，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積；圖11（4）中的四面體是正四面體（各面都是全等的正三角形），也可通過(guò)割補(bǔ)法求得；定義法、轉(zhuǎn)化法、割補(bǔ)法等是求幾何體體積的重要方法．（2）經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，圖11（4）中的正四面體的體積最大，表面積最小，這也是現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常要考慮的最優(yōu)化問(wèn)題．探究4：怎樣求圖11中的四個(gè)四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑？四個(gè)四面體的外接球與正方體的外接球相同，其一條直徑為正方體的體對(duì)角線，半徑．如圖12，可以類(lèi)比三角形內(nèi)切圓半徑的面積計(jì)算思路，可計(jì)算出四個(gè)內(nèi)切球的半徑．問(wèn)題4：刻畫(huà)平面的三個(gè)基本事實(shí)是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形、進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)．實(shí)際上，三個(gè)基本事實(shí)刻畫(huà)了平面的“平”、平面的“無(wú)限延展”，你能歸納一下刻畫(huà)的方法嗎？平面的三個(gè)基本事實(shí)是按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序，刻畫(huà)平面的基本性質(zhì)．基本事實(shí)1是從點(diǎn)與平面關(guān)系的角度刻畫(huà)平面的唯一存在性，基本事實(shí)2是從直線與平面關(guān)系的角度利用直線的“直”和“無(wú)限延伸”的屬性刻畫(huà)了平面的“平”和“無(wú)限延展”的屬性，基本事實(shí)3是從平面與平面關(guān)系的角度進(jìn)一步說(shuō)明了平面的“平”和“無(wú)限延展”的特征：由于平面是“平的”，因而它們才可能交于一條直線，否則交線就不是“直”的，而是“曲”的了，例如圓柱的側(cè)面和底面的交線就是一條曲線；另外，兩個(gè)平面相交于一條直線，直線是“無(wú)限延伸”的，也說(shuō)明平面的交點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，平面是“無(wú)限延展”的．空間直線與直線，直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系是從生活世界中找到模型，再根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)、是否共面等進(jìn)行邏輯分類(lèi)建立起來(lái)的．例5（復(fù)習(xí)參考題8第5題）三個(gè)平面可將空間分成幾部分？請(qǐng)分情況說(shuō)明．探究1：一個(gè)平面將空間分成兩個(gè)部分，兩個(gè)平面有幾種位置關(guān)系？它們將空間分成幾部分？圖13（1）中αPβ，它們將空間分成三部分；圖13（2）中αIβ=a，它們將空間分成四部分．探究2：在圖13中再增加一個(gè)平面，這三個(gè)平面可能產(chǎn)生哪些位置關(guān)系？每種位置關(guān)系可將空間分成幾部分？可能出現(xiàn)五種不同的位置關(guān)系如圖14，三個(gè)不同的平面α，β，γ，直線a,b,c,l．

將12條分成三個(gè)共面組，側(cè)棱組4條，上底面棱組4條，下底面棱組4條，若“異面直線組”含四條或以上的棱，則至少有兩條棱在同一組，這樣兩條棱便共面，這與“異面直線組”的定義矛盾，故“異面直線組”最多有三條棱．

問(wèn)題5：在直線、平面的位置關(guān)系中，“平行”和“垂直”是最重要的．（1）在研究這些位置關(guān)系的判定時(shí)，我們采用了哪些思想方法？以直線與平面垂直為例，總結(jié)一下研究判定的內(nèi)容、過(guò)程和方法．（2）研究這些位置關(guān)系的性質(zhì)，實(shí)際上就是要研究什么問(wèn)題？以?xún)蓚€(gè)平面相互垂直為例，總結(jié)一下研究性質(zhì)的內(nèi)容、過(guò)程和方法．研究“什么是空間直線、平面的垂直？”以及“空間直線、平面垂直時(shí)其要素（直線、平面）有什么確定不變關(guān)系”；確立研究空間直線、平面垂直的內(nèi)容（判定與性質(zhì)）與路徑：“化繁為簡(jiǎn)”“以簡(jiǎn)馭繁”“空間問(wèn)題平面化”是空間元素位置關(guān)系的一般思路．我們利用直線與直線的垂直研究直線與平面的垂直，利用直線與直線垂直、直線與平面垂直研究平面與平面垂直．反過(guò)來(lái)，由直線與平面垂直又可以得到直線與直線垂直，由平面與平面垂直又可以得到直線與直線、直線與平面垂直．

小結(jié)：正方體（或長(zhǎng)方體）是重要的幾何體模型，我們要深入研究正方體模型，對(duì)它進(jìn)行變形，構(gòu)建出新的模型，探求各種空間位置關(guān)系或幾何模型與正方體之間的聯(lián)系，彰顯正方體的“母體”地位．課后作業(yè)：

5．教材第170頁(yè)復(fù)習(xí)參考題8第10題．6．教材第170頁(yè)復(fù)習(xí)參考題8第11題．7．教材第171頁(yè)復(fù)習(xí)參考題8第13題．8．教材第171頁(yè)復(fù)習(xí)參考題8第14題．六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（時(shí)間：90分，滿(mǎn)分：100分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）．（A）一個(gè)八棱柱有10個(gè)面（B）任意n面體都可以分割成n個(gè)棱錐（C）棱臺(tái)側(cè)棱的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)（D）矩形旋轉(zhuǎn)一周一定形成一個(gè)圓柱2．給出下列4個(gè)命題：①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一平面的兩條直線平行；③平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；④平行于同一平面的兩個(gè)平面平行．其中正確的命題是（）．（A）①② （B）③④ （C）①④ （D）②③3．給出下列4個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一平面的兩條直線平行；③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．其中正確的命題是（）．（A）①② （B）③④ （C）①④ （D）②③4．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長(zhǎng)分別為，則這個(gè)三棱錐的體積是（）．

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．請(qǐng)將答案填在對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．9．正方體相鄰兩個(gè)面的兩條對(duì)角線所成角的大小是________．10．長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，那么這個(gè)球面的面積是________．11．正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則它的體積為_(kāi)_______．13．已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，沿BD將△ABD折起成△．若點(diǎn)A′