基于Matlab語(yǔ)言的Monte Carlo入門教程

前言與說(shuō)明—、MonteCarlo方法是一門簡(jiǎn)單而復(fù)雜的學(xué)問(wèn)MonteCarlo方法往小的方面說(shuō)很簡(jiǎn)單，就是生成一堆隨機(jī)數(shù)，然后以某函數(shù)規(guī)則計(jì)算出一堆數(shù)值，最后求這些數(shù)值的平均值就得到了結(jié)果；往大的方面說(shuō)卻很復(fù)雜，要將蒙特卡洛做好需要考慮的問(wèn)題很多，例如：需要解決的問(wèn)題是否收斂倘若不收斂，MonteCarlo方法就不能用，不然計(jì)算出來(lái)的結(jié)果有何意義，只有老天才知道；所選用的具體方法收斂速度如何一一雖然幾乎所有MonteCarlo收斂階數(shù)為1/2,但不同的方法收斂階數(shù)前面的系數(shù)不同；所得解的誤差是多少——MonteCarlo方法從來(lái)得不到精確值，而是一個(gè)近似的隨機(jī)變量，因此，任何時(shí)候，報(bào)告MonteCarlo解時(shí)，需要同時(shí)報(bào)告該解的方差；如何選擇具體算法，以加快速度MonteCarlo模擬需要較長(zhǎng)時(shí)間，所以速度很重要。尤其是你使用MonteCarlo方法實(shí)時(shí)計(jì)算金融產(chǎn)品價(jià)格時(shí)，時(shí)間就是金錢。加快MonteCarlo速度有很多或大或小的技巧，而且這些技巧還要依據(jù)不同問(wèn)題而定。偽隨機(jī)數(shù)問(wèn)題一一計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)都是偽隨機(jī)數(shù)，很多MonteCarlo書(shū)中都大書(shū)特書(shū)偽隨機(jī)數(shù)的危害以及如何生成盡可能“真”的偽隨機(jī)數(shù)。有此告誡在，我們自然不能對(duì)偽隨機(jī)數(shù)問(wèn)題視而不見(jiàn)，但是我們是否就要因這一問(wèn)題惶惶不可終日呢？模型與現(xiàn)實(shí)——模型是我們的理想，但是現(xiàn)實(shí)中的市場(chǎng)卻是殘酷的。如果有人僅僅拿著書(shū)本就沖進(jìn)市場(chǎng)，那他必然還要交高昂的學(xué)費(fèi)，最終鮮血淋漓地出來(lái)。同理，MonteCarlo方法（以及其他幾乎所有方法），任何時(shí)候都只能給我們作參考。然而，我們卻可以以科學(xué)的態(tài)度和方法使用MonteCarlo方法，以使其結(jié)果更加貼近現(xiàn)實(shí)，參考價(jià)值更大。二、本課程將解決的問(wèn)題作為一門針對(duì)非學(xué)術(shù)人士的入門性質(zhì)的課程，本課程最注重的是基礎(chǔ)的應(yīng)用性知識(shí)。在接下來(lái)，我會(huì)詳細(xì)講述MonteCarlo方法本身，且為了確保大家看懂，我會(huì)精選一些例子，從這些例子的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，到算法描述，到程序設(shè)計(jì)，到誤差分析，這些基礎(chǔ)過(guò)程都將涉及。尤其考慮到我見(jiàn)過(guò)的不少人（尤其是論壇上的不少網(wǎng)友），編程基礎(chǔ)比較薄弱，所以在講解程序時(shí)我會(huì)逐句分析，至少確保你能看懂這個(gè)程序的每個(gè)步驟。另一方面，入門課程還肩負(fù)為大家未來(lái)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)的重要使命，故課程中要覆蓋各個(gè)方面的內(nèi)容，例如上一節(jié)所提到的都或多或少有所覆蓋。但是，正是因?yàn)檫@是一個(gè)入門性質(zhì)的課程，很多的內(nèi)容無(wú)法涉及，同時(shí)很多有所涉及的內(nèi)容也無(wú)法充分展開(kāi)。具體在下文中涉及到相關(guān)內(nèi)容時(shí)我會(huì)盡量提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)的方向、方法等延伸性問(wèn)題。這里值得一提的是上文所提及的模型與現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題。本課程中的例子基本都是理論化的例子，這樣的例子好處在于它簡(jiǎn)化了很多復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)狀況，對(duì)于初學(xué)者而言容易上手，也便于教授MonteCarlo方法如何使用，同時(shí)它還是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的基礎(chǔ)。所以，要特別注意，我在課程中講的那些金融工具定價(jià)的例子都是理論化的例子，千萬(wàn)不要以為學(xué)會(huì)那些之后就已經(jīng)學(xué)會(huì)了現(xiàn)實(shí)中的金融產(chǎn)品的定價(jià)，套用一句廣告詞：“才剛剛開(kāi)始呢”。三、章節(jié)設(shè)置常見(jiàn)的MonteCarlo書(shū)籍包含如下內(nèi)容：隨機(jī)數(shù)的生成、特定分布抽樣、優(yōu)化（降低方差）技巧、隨機(jī)過(guò)程模擬、MonteCarlo方法實(shí)際應(yīng)用、以及擴(kuò)展（主要是Quasi-MonteCarlo,即擬蒙特卡洛方法）本教程覆蓋隨機(jī)數(shù)生成、特定抽樣分布、隨機(jī)過(guò)程模擬和應(yīng)用實(shí)例。但和那些書(shū)籍不同在于如下這些方面：不詳細(xì)講偽隨機(jī)數(shù)問(wèn)題——我們用Matlab內(nèi)附帶的隨機(jī)數(shù)生成器，將偽隨機(jī)數(shù)問(wèn)題留給Mathworks的專家吧不講降低方差技巧一一降低方差技術(shù)講的是怎樣更快地作MonteCarlo,而這是入門教程，目的在教會(huì)你怎樣做MonteCarlo,如果你還不會(huì)做就去學(xué)怎樣可以做得更快那沒(méi)有意義。所以,先學(xué)會(huì)基本使用方法最重要,優(yōu)化的問(wèn)題在熟練后再講述就水到渠成了。特定分布抽樣會(huì)講很多有用的技巧，例如RejectMethod、條件分布方法、協(xié)方差陣、Copula等方法生成聯(lián)合分布隨機(jī)變量,但是如果講述太深,每個(gè)內(nèi)容都可以寫(xiě)一本書(shū)了,所以不會(huì)講太深,只講用的最多的那很少一部分內(nèi)容。并行MonteCarlo――很多入門的書(shū)上不會(huì)講這個(gè)，但是這個(gè)課程里面會(huì)專門用一章講，更詳細(xì)介紹見(jiàn)本章倒數(shù)第三小節(jié)。四、課程的教授模式本課程中每個(gè)知識(shí)點(diǎn)基本按照如下步驟展開(kāi)：主要介紹與知識(shí)點(diǎn)息息相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，例如公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)、概念的含義、Matlab語(yǔ)句基礎(chǔ)、計(jì)算機(jī)相關(guān)知識(shí)等等。這樣做最大的作用是幫助大家回憶這些內(nèi)容，以便與主體內(nèi)容展開(kāi)相銜接。由于這并非主旨所在，所以不會(huì)在其上花費(fèi)過(guò)多筆墨。若你從未接觸過(guò)這些基礎(chǔ)知識(shí)，你要是看一遍課程中的簡(jiǎn)介就懂了自然最好，若不懂，則建議翻閱相應(yīng)的參考書(shū)籍。我會(huì)在課程講義最后附上我寫(xiě)作本課程講義所用到的所有參考書(shū)目。（由于我習(xí)慣看英文原版書(shū)，所以此教程的參考書(shū)目大多數(shù)是英文書(shū)籍）（二）主體內(nèi)容不必多言，就是知識(shí)點(diǎn)的展開(kāi)。（三）相關(guān)例子每個(gè)知識(shí)點(diǎn)后面我會(huì)附上一些與其有關(guān)的簡(jiǎn)單的例子。任何知識(shí)、方法都有它自身的局限，所以僅僅知道方法怎么做還不夠，還需要明白這些方法何時(shí)何地能用。從另一個(gè)角度來(lái)看，本課程主要包含如下資料：（一）講義就是你當(dāng)前看到的這份資料。此資料覆蓋所有便于書(shū)寫(xiě)的內(nèi)容。而且，購(gòu)買了視頻教程的網(wǎng)友將收到PDF版本的講義；同時(shí)這份講義還會(huì)以HTML網(wǎng)頁(yè)的形式掛在我的個(gè)人主頁(yè)（/），網(wǎng)頁(yè)教程可以直接打印，打印過(guò)程中非主要內(nèi)容（如導(dǎo)航、廣告等）會(huì)自動(dòng)隱藏。由于我的個(gè)人主頁(yè)是商業(yè)空間，需要大量的流量才能產(chǎn)生足以支持空間運(yùn)營(yíng)的廣告收入，所以請(qǐng)購(gòu)買了視頻教程的網(wǎng)友不要在未經(jīng)我個(gè)人允許前提下將PDF講義等資料公布在網(wǎng)絡(luò)上，對(duì)此我保留追究法律責(zé)任的權(quán)力。特別需要指出一點(diǎn)：由于時(shí)間緊迫，寫(xiě)作講義時(shí)文字不經(jīng)細(xì)細(xì)斟酌，雖然意思基本表達(dá)清楚，但中文語(yǔ)法錯(cuò)誤在所難免。今后有時(shí)間會(huì)逐句修改，也歡迎大家?guī)兔πＳ?，具體做法是：保存當(dāng)前網(wǎng)頁(yè)為html,用word打開(kāi)網(wǎng)頁(yè)，另存為doc,之后再修訂文檔。（二）PPTPPT主要覆蓋一些公式性推導(dǎo)和一些我并不擁有完全版權(quán)的內(nèi)容——有些比較獨(dú)特的知識(shí)、例子來(lái)自于我在北京大學(xué)的金融工程等課程，將其以電子版發(fā)布在網(wǎng)絡(luò)上會(huì)冒犯到為這些知識(shí)、例子付出很多心血的老師一一故PPT不會(huì)分發(fā)（無(wú)論是否購(gòu)買視頻教程），但是會(huì)顯示在視頻中。觀眾通過(guò)暫停視頻的方式閱讀這些內(nèi)容。（三）代碼MonteCarl。的代碼不是很復(fù)雜，但要寫(xiě)出高質(zhì)量的代碼卻不容易，所以對(duì)于大多數(shù)例子我會(huì)寫(xiě)至少兩個(gè)版本代碼，一個(gè)是基礎(chǔ)版本，采用大家最熟悉的最基礎(chǔ)的Matlab語(yǔ)句來(lái)寫(xiě)；另一個(gè)是優(yōu)化后的版本，這一版本將充分考慮Matlab特點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，但是它可能不那么容易讀懂。對(duì)于購(gòu)買了視頻的網(wǎng)友，我會(huì)將PDF和代碼文件放在一個(gè)壓縮包中發(fā)送至你的郵箱，只要將此附件解壓縮即可得到代碼文件。視頻教程文件太大，我不可能找到足夠的免費(fèi)空間來(lái)存放這些視頻文件，免費(fèi)提供給大家觀看。故視頻教程將借助其他網(wǎng)站的空間。在我當(dāng)前與人大經(jīng)濟(jì)論壇的合同結(jié)束前，此視頻教程由人大經(jīng)濟(jì)論壇獨(dú)家提供。具體的網(wǎng)址見(jiàn)：/Default.aspx?id=ll五、基礎(chǔ)知識(shí)要求雖然我會(huì)在每章開(kāi)始部分很簡(jiǎn)略地復(fù)習(xí)部分基礎(chǔ)概念，但是要順利完成此課程，請(qǐng)確保自己牢固掌握了如下知識(shí)。（一）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)MonteCarlo必備基礎(chǔ)的概率論知識(shí)。隨機(jī)變量、PDF（隨機(jī)變量的概率分布）、CDF（隨機(jī)變量的累積分布）、聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布、COPULA、隨機(jī)微分方程（SDE）等等。而且不僅僅是知道這些概念是什么含義，還要會(huì)用、會(huì)算。不過(guò)也不用被這些嚇到，雖然我在相關(guān)章節(jié)講的內(nèi)容比較深，這些知識(shí)都全要用到，但是里面最重要的知識(shí)只有一個(gè)，那就是正態(tài)分布。你只要會(huì)熟練學(xué)習(xí)正態(tài)分布，就可以解決不少金融產(chǎn)品理論定價(jià)的問(wèn)題。話說(shuō)回來(lái)，必須指出，本教程里面涉及的數(shù)學(xué)相對(duì)于真正難的知識(shí)還只是入門，要做現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中的產(chǎn)品定價(jià)這些知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。補(bǔ)充說(shuō)明，大多數(shù)理論定價(jià)模型，例如BlackScholes模型，Black模型，為了推導(dǎo)簡(jiǎn)便起見(jiàn)（當(dāng)前也限于這些論文寫(xiě)作時(shí)的計(jì)算機(jī)技術(shù)等外界因素），都只考慮正態(tài)分布；但是，在真實(shí)市場(chǎng)中，很多經(jīng)濟(jì)變量（例如股票收益率），可能符合白噪聲假設(shè)，但是一般不符合正態(tài)分布假設(shè)及獨(dú)立假設(shè)。總之，只掌握正態(tài)分布，理論模型基本不會(huì)有問(wèn)題，卻不足以做真實(shí)市場(chǎng)的分析。（二）Matlab基本教程的某章中，我會(huì)簡(jiǎn)略講講編程入門知識(shí)。但是Matlab的基本操作需要你自己去看。要求掌握程度可以參考我寫(xiě)得Matlab簡(jiǎn)明教程(/notes/matlab/)金融工程知識(shí)雖然這個(gè)教程沒(méi)有明確表明專門講金融產(chǎn)品定價(jià)，但是這里用了不少金融產(chǎn)品理論定價(jià)的例子來(lái)解說(shuō)MonteCarlo方法，如果你對(duì)金融工程比較熟悉，那么看這些部分相對(duì)會(huì)更順利。即使不熟悉也沒(méi)關(guān)系，每個(gè)例子的開(kāi)始部分，我會(huì)簡(jiǎn)要解釋相關(guān)背景知識(shí)。由于需要講述Matlab實(shí)際操作，所以你應(yīng)該熟悉Matlab軟件啟動(dòng)退出，磁盤(pán)目錄概念；另外會(huì)講述并行MonteCarlo計(jì)算，所以你應(yīng)該明白雙核概念，內(nèi)存CPU等等基本知識(shí)總要懂一點(diǎn)的。其他的不要求。六、MonteCarlo并行計(jì)算這里還特別提一下并行計(jì)算?，F(xiàn)在雙核機(jī)器基本普及，還有不少網(wǎng)友的機(jī)器是三核甚至四核，如果能夠同時(shí)使用多個(gè)核心做計(jì)算，運(yùn)算速度可以有顯著提升。幸運(yùn)的是，MonteCarl。方法的特點(diǎn)使得它特別適合并行計(jì)算。所以，在這個(gè)教程中，我將用獨(dú)立的一章特別講述如何使用Matlab并行計(jì)算工具箱(ParallelComputingToolbox)做MonteCarlo模擬。我會(huì)先介紹并行計(jì)算的基礎(chǔ)知識(shí)(例如兩種主要的并行模式)，以及會(huì)更詳細(xì)介紹Matlab并行計(jì)算工具箱的工作原理一一Matlab的并行計(jì)算并非標(biāo)準(zhǔn)的并行計(jì)算，必須了解其特點(diǎn)才能發(fā)揮并行計(jì)算優(yōu)勢(shì)，否則速度可能更慢。介紹完基礎(chǔ)知識(shí)，我將通過(guò)將此前各章的MonteCarlo例子改寫(xiě)為并行計(jì)算代碼這種形式來(lái)講述MonteCarlo并行算法。之后，還將特別列出用Matlab做并行MonteCarlo的一些注意事項(xiàng)，并給出一些用以確保效率的簡(jiǎn)要規(guī)則。七、關(guān)于回答疑問(wèn)不論是否購(gòu)買了視頻教程都可以通過(guò)郵件形式聯(lián)系我，我的Email地址在主()頁(yè)上及視頻教程中已標(biāo)明。我很樂(lè)意就本課程相關(guān)的任何問(wèn)題與大家交流。不過(guò)有幾點(diǎn)還請(qǐng)大家理解：由于我郵箱中垃圾郵件很多，所以你寫(xiě)信時(shí)的書(shū)寫(xiě)方式和內(nèi)容盡量確保不要被Gmail當(dāng)成垃圾郵件處理掉我事情比較忙，所以可能不能及時(shí)回信，還請(qǐng)見(jiàn)諒。有疑問(wèn)可以通過(guò)郵件聯(lián)系我，也可以直接在論壇上相關(guān)板塊發(fā)帖咨詢。(我收郵件頻率一般高于上論壇頻率)在詢問(wèn)我之前強(qiáng)烈建議你在講義、我主頁(yè)的FAQ欄目中查詢是否已有類似問(wèn)題。提問(wèn)一定要詳細(xì)具體，并附上詳盡的背景材料，那些飄渺無(wú)蹤影的問(wèn)題實(shí)在令人無(wú)從下手！我回答問(wèn)題的方式可能是直接給出代碼等解答，也可能是告知你從何處尋找相關(guān)信息以自己解決——即授人以魚(yú)和授人以漁這兩種方式我都有可能選擇。如果所提問(wèn)題有很好的代表性，我將略去或更換你提問(wèn)中涉及你個(gè)人情況的信息、數(shù)據(jù)，然后將此問(wèn)題的解答方法放置在課程主頁(yè)上，以便其它網(wǎng)友參考。我保證會(huì)很認(rèn)真對(duì)待每位網(wǎng)友每個(gè)有意義的問(wèn)題并會(huì)盡力去尋找答案，但我無(wú)法保證每個(gè)問(wèn)題我都能回答。八、關(guān)于后續(xù)課程這個(gè)課程只講基礎(chǔ)。主要作用有兩個(gè)，一個(gè)是為更深課程提供一個(gè)入門途徑，這樣將來(lái)我要是講更深課程時(shí)就不必浪費(fèi)時(shí)間講基礎(chǔ)知識(shí)了；另一個(gè)是投石問(wèn)路，我的時(shí)間一直很緊張，此課程也是第一次和人大經(jīng)濟(jì)論壇合作，因此我需要看看市場(chǎng)反應(yīng)再?zèng)Q定是否有必要花費(fèi)大量時(shí)間準(zhǔn)備延伸課程。如果結(jié)果顯示有足夠數(shù)量的網(wǎng)友對(duì)這方面的知識(shí)很感興趣（這個(gè)主要體現(xiàn)在視頻購(gòu)買上哈哈），那么我可能考慮推出關(guān)于金融產(chǎn)品MonteCarlo定價(jià)的課程。在那個(gè)課程中，理論模型不再是主要內(nèi)容，我會(huì)從現(xiàn)實(shí)出發(fā)，從如何分析市場(chǎng)歷史數(shù)據(jù)以得到重要參數(shù)，到如何建立各種模型，再到現(xiàn)實(shí)中各項(xiàng)應(yīng)用等等。九、版權(quán)申明未經(jīng)本作者書(shū)面授權(quán)許可，本課程任何資料不得用于商業(yè)或盈利性用途。講義的PDF版本僅僅提供給購(gòu)買了視頻教程的最終用戶，此講義可以復(fù)印，也可打印后分發(fā)，但未經(jīng)作者本人書(shū)面許可，任何人不得散發(fā)講義PDF電子版。網(wǎng)頁(yè)版本的講義可下載，且在保證網(wǎng)頁(yè)文件未被認(rèn)為修改情況下可以公開(kāi)傳播，但考慮到我會(huì)時(shí)常更新網(wǎng)頁(yè)版本內(nèi)容，強(qiáng)烈建議直接訪問(wèn)課程網(wǎng)站。除上述兩種情章卜,任關(guān)料不得在未經(jīng)作者本人方面法概述下散發(fā)。講課人：XaeroChang|課程主頁(yè):/notes/intro2mc本章主要概述MonteCarlo的一些基礎(chǔ)知識(shí)，另外包括一^最簡(jiǎn)單的用MonteCarlo方法計(jì)算數(shù)值積分的例子。―、MonteCarlo歷史淵源MonteCarlo方法的實(shí)質(zhì)是通過(guò)大量隨機(jī)試驗(yàn)，利用概率論解決問(wèn)題的一種數(shù)值方法，基本思想是基于概率和體積間的相似性。它和Simulation有細(xì)微區(qū)別。單獨(dú)的Simulation只是模擬一些隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)，其結(jié)果是不確定的；MonteCarlo在計(jì)算的中間過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)是隨機(jī)的，但是它要解決的問(wèn)題的結(jié)果卻是確定的。歷史上有記載的MonteCarlo試驗(yàn)始于十八世紀(jì)末期（約1777年），當(dāng)時(shí)布豐（Buffon）為了計(jì)算圓周率，設(shè)計(jì)了一個(gè)“投針試驗(yàn)”。（后文會(huì)給出一個(gè)更加簡(jiǎn)單的計(jì)算圓周率的例子）。雖然方法已經(jīng)存在了200多年，此方法命名為MonteCarlo則是在二十世紀(jì)四十年，美國(guó)原子彈計(jì)劃的一個(gè)子項(xiàng)目需要使用MonteCarlo方法模擬中子對(duì)某種特殊材料的穿透作用。出于保密緣故，每個(gè)項(xiàng)目都要一個(gè)代號(hào)，傳聞命名代號(hào)時(shí)，項(xiàng)目負(fù)責(zé)人之一vonNeumann靈犀一點(diǎn)選擇摩洛哥著名賭城蒙特卡洛作為該項(xiàng)目名稱，自此這種方法也就被命名為MonteCarlo方法廣為流傳。十一、Mo毗eCarlo方法適用用途一）數(shù)值積分計(jì)算一個(gè)定積分，如巾，如果我們能夠得到f(x)的原函數(shù)F(x)，那么直接由表達(dá)式：F(x1)-F(x0)可以得到該定積分的值。但是，很多情況下，由于f(x)太復(fù)雜，我們無(wú)法計(jì)算得到原函數(shù)F(x)的顯示解，這時(shí)我們就只能用數(shù)值積分的辦法。如下是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值積分的例子。數(shù)值積分簡(jiǎn)單示例如圖，數(shù)值積分的基本原理是在自變量x的區(qū)間上取多個(gè)離散的點(diǎn)，用單個(gè)點(diǎn)的值來(lái)代替該小段上函數(shù)f(x)值。常規(guī)的數(shù)值積分方法是在分段之后，將所有的柱子(粉紅色方塊)的面積全部加起來(lái),用這個(gè)面積來(lái)近似函數(shù)f(x)(藍(lán)色曲線)與x軸圍成的面積。這樣做當(dāng)然是不精確的，但是隨著分段數(shù)量增加，誤差將減小，近似面積將逐漸逼近真實(shí)的面積。MonteCarlo數(shù)值積分方法和上述類似。差別在于，MonteCarlo方法中，我們不需要將所有方柱的面積相加，而只需要隨機(jī)地抽取一些函數(shù)值，將他們的面積累加后計(jì)算平均值就夠了。通過(guò)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)可以證明，隨著抽取點(diǎn)增加，近似面積也將逼近真實(shí)面積。在金融產(chǎn)品定價(jià)中，我們接觸到的大多數(shù)求基于某個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的期望值?？紤]一個(gè)歐式期權(quán)，假定我們已經(jīng)知道在期權(quán)行權(quán)日的股票服從某種分布(理論模型中一般是正態(tài)分布)，那么用期權(quán)收益在這種分布上做積分求期望即可。(五)隨機(jī)最優(yōu)化MonteCarlo在隨機(jī)最優(yōu)化中的應(yīng)用包括：模擬退火(SimulatedAnnealing)、進(jìn)化策略(Evolutionstrategy)等等。一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子是，已知某函數(shù)，我們要求此函數(shù)的最大值，那么我們可以不斷地在該函數(shù)定義域上隨機(jī)取點(diǎn)，然后用得到的最大的點(diǎn)作為此函數(shù)的最大值。這個(gè)例子實(shí)質(zhì)也是隨機(jī)數(shù)值積分，它等價(jià)于求此函數(shù)的無(wú)窮階范數(shù)?-Norm)在定義域上的積分。由于在金融產(chǎn)品定價(jià)中，這部分內(nèi)容用的相對(duì)較不常見(jiàn)，所以此課程就不介紹隨機(jī)最優(yōu)化方法了。十二、MonteCarlo形式與一般步驟積分形式做MonteCarlo時(shí)，求解積分的一般形式是：AJgm功血X為自變量，它應(yīng)該是隨機(jī)的，定義域?yàn)?xO,xl),f(x)為被積函數(shù)，巾(x)是x的概率密度。在計(jì)算歐式期權(quán)例子中，x為期權(quán)到期日股票價(jià)格，由于我們計(jì)算期權(quán)價(jià)格的時(shí)候該期權(quán)還沒(méi)有到期，所以此時(shí)x是不確定的(是一隨機(jī)變量)，我們按照相應(yīng)的理論，假設(shè)x的概率密度為巾(x)、最高可能股價(jià)為x1(可以是正無(wú)窮)、最低可能股價(jià)為xO(可以是0)，另外，期權(quán)收益是到期日股票價(jià)格x和期權(quán)行權(quán)價(jià)格的函數(shù)，我們用f(x)來(lái)表示期權(quán)收益。(二)一般步驟我將MonteCarlo分為三加一個(gè)步驟：1.依據(jù)概率分布巾(X)不斷生成隨機(jī)數(shù)x,并計(jì)算f(x)由于隨機(jī)數(shù)性質(zhì)，每次生成的x的值都是不確定的，為區(qū)分起見(jiàn)，我們可以給生成的x賦予下標(biāo)。如Xj表示生成的第i個(gè)x。生成了多少個(gè)x,就可以計(jì)算出多少個(gè)f(x)的值將這些f(x)的值累加，并求平均值x，例如我們共生成了N個(gè)x,x，ai-l到達(dá)停止條件后退出常用的停止條件有兩種，一種是設(shè)定最多生成N個(gè)x，數(shù)量達(dá)到后即退出，另一種是檢測(cè)計(jì)算結(jié)果與真實(shí)結(jié)果之間的誤差，當(dāng)這一誤差小到某個(gè)范圍之內(nèi)時(shí)退出。有趣的類比：積分表達(dá)式中的積分符合類比為上式中累加符號(hào)，dx類比為1/N(數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們積分實(shí)質(zhì)是極限意義下的累加；f(x)還是它自己，積分中的巾(x)可類比為依據(jù)巾(x)生成隨機(jī)數(shù)誤差分析MonteCarl。方法得到的結(jié)果是隨機(jī)變量，因此，在給出點(diǎn)估計(jì)后，還需要給出此估計(jì)值的波動(dòng)程度及區(qū)間估計(jì)。嚴(yán)格的誤差分析首先要從證明收斂性出發(fā)，再計(jì)算理論方差，最后用樣本方差來(lái)替代理論方差。在本課程中我們假定此方法收斂，同時(shí)得到的結(jié)果服從正態(tài)分布，因此可以直接用樣本方差作區(qū)間估計(jì)。詳細(xì)過(guò)程在例子中解釋。這個(gè)步驟的理論意義很重要，但在實(shí)際應(yīng)用中，它的重要性有所淡化，倘若你的老板不太懂這些知識(shí)，你報(bào)告計(jì)算結(jié)果時(shí)可以只告訴他點(diǎn)估計(jì)即可。注意，前兩大步驟還可以繼續(xù)細(xì)分，例如某些教科書(shū)上的五大步驟就是將此處的前兩步細(xì)分成四步。十三、最簡(jiǎn)單的例子舉個(gè)例子:2JeTdx:計(jì)算從孑函數(shù)從0到2的定積分值。數(shù)學(xué)方法：我們已知b的原函數(shù)是孑，那么定積分值就是：決=6.38905609893065。計(jì)算這個(gè)數(shù)值可以在Matlab中輸入代碼：exp(2)-exp(0)上面得到的值是此不定積分的真實(shí)值。常規(guī)數(shù)值積分：在區(qū)間內(nèi)取n個(gè)點(diǎn)，計(jì)算各個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，然后用函數(shù)值乘以每個(gè)區(qū)間寬度，最后相加。Matlab代碼：N=100;x=linspace(0,2,N);sum(exp(x).*2/N)試著調(diào)大N的值，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后的結(jié)果將更接近真實(shí)值。MonteCarlo數(shù)值積分法：在內(nèi)隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn)，計(jì)算各個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，最后求這些函數(shù)值的平均值再乘以2(為何要乘以2在后面小節(jié)詳細(xì)講)。看Matlab代碼：N=100;x二unifrnd(0,2,N,l);mean(2*exp(x))同樣的，通過(guò)增大N，這種方法得到的結(jié)果也將越來(lái)越接近真實(shí)值。解釋3J1這個(gè)例子要求的積分形式是：，還不完全是形式，我們先做變2|換，，這里姑是f(x)；1/2是巾(X),它表示，在取值范圍(0,2)區(qū)間內(nèi)，x服從均勻分布。前一例子共三條語(yǔ)句，逐句解釋如下：N=100;設(shè)定停止條件，共做N次MonteCarlo模擬。x二unifrnd(0,2,N,l);按照(0,2)區(qū)間均勻分布概率密度對(duì)x隨機(jī)抽樣，共抽取N個(gè)X。此句相當(dāng)于第一個(gè)步i驟中的前半部分。mean(2*exp(x))2*exp(x)作用是對(duì)每個(gè)x計(jì)算f(x)的值，共可得到N個(gè)值，這個(gè)相當(dāng)于第一個(gè)步驟后半ii部分；Mean()函數(shù)的作用是將所有的f(x)加起來(lái)取平均值，相當(dāng)于第二個(gè)步驟。i這段代碼中的停止條件隱含于N值設(shè)定中，它一次性生成N個(gè)x值，完成此次計(jì)算后整個(gè)程序就結(jié)束了。十四、MonteCarlo方法的優(yōu)點(diǎn)對(duì)比前面常規(guī)數(shù)值積分和MonteCarlo數(shù)值積分代碼，同樣數(shù)量的N值一一也就意味這幾乎相同的計(jì)算量常規(guī)數(shù)值積分結(jié)果的精確度要高于MonteCarlo數(shù)值積分的結(jié)果。那么，我們?yōu)楹芜€需要用MonteCarlo來(lái)算數(shù)值積分呢？答案的關(guān)鍵在于，常規(guī)數(shù)值積分的精度直接取決于每個(gè)維度上取點(diǎn)數(shù)量，維度增加了,但是每個(gè)維度上要取的點(diǎn)卻不能減少。在多重積分中，隨著被積函數(shù)維度增加，需要計(jì)算的函數(shù)值數(shù)量以指數(shù)速度遞增。例如在一重積分中，只要沿著x軸取N個(gè)點(diǎn)；ff—f/Oih巧一w)呎心乓一兀)臥旺=2—耳)要達(dá)到相同大小的精確度，在s重積分中，仍然需要在每個(gè)維度上取N個(gè)點(diǎn)，s個(gè)緯度的坐標(biāo)相組合，共需要計(jì)算Ns個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的f()函數(shù)值。取點(diǎn)越多，會(huì)占用計(jì)算機(jī)大量?jī)?nèi)存，也需要更長(zhǎng)運(yùn)算時(shí)間，最終導(dǎo)致這種計(jì)算方法不可行！MonteCarlo方法卻不同，不管是積分有多少重，取N個(gè)點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果精確度都差不多。因此，即使在一重積分的情形下，MonteCarlo方法的效率比不過(guò)常規(guī)數(shù)值積分，但隨著積分維度增加，常規(guī)數(shù)值積分的速度呈指數(shù)下降，MonteCarlo方法的效率卻基本不變。經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)積分重?cái)?shù)達(dá)到4重積分甚至更高時(shí)，MonteCarlo方法將遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于常規(guī)數(shù)值積分方法?，F(xiàn)在回到金融產(chǎn)品定價(jià)，歐式期權(quán)理論定價(jià)公式只需要一重積分，此時(shí)MonteCarlo方法的效果不明顯，但是如果我們考慮一個(gè)亞式期權(quán)：期限為1年期，期權(quán)價(jià)格基于此1年內(nèi)每天某個(gè)時(shí)點(diǎn)時(shí)的價(jià)格，全年共252個(gè)交易日，這樣此亞式期權(quán)理論定價(jià)公式是一個(gè)252重積分。常規(guī)的數(shù)值積分方法，需要取N25個(gè)點(diǎn)，這個(gè)數(shù)有多大，你自己去計(jì)算一下就知道了（注意：N取值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于2）,常規(guī)數(shù)值積分方法不可行，只能用MonteCarlo。綜上，如果計(jì)算高維度多重積分，如路徑依賴的exoticoptions（奇異期權(quán)）等金融產(chǎn)品定價(jià)，我們一般用的方法都是MonteCarlo。十五、MonteCarlo方法原理（選讀）MonteCarlo方法計(jì)算的結(jié)果收斂的理論依據(jù)來(lái)自于大數(shù)定律，且結(jié)果漸進(jìn)地（Asymptotically）服從正態(tài)分布的理論依據(jù)是中心極限定理。以上兩個(gè)屬性都是漸進(jìn)性質(zhì)，要進(jìn)行很多次抽樣，此屬性才會(huì)比較好地顯示出來(lái)，如果MonteCarlo計(jì)算結(jié)果的某些高階距存在，即使抽樣數(shù)量不太多，這些漸進(jìn)屬性也可以很快地達(dá)到。這些原理在理論上意義重大，但由于我們一般遇上的MonteCarlo問(wèn)題都是收斂的、結(jié)果也都是漸進(jìn)正態(tài)分布，所以工作中使用時(shí)可以不加考慮。詳細(xì)第二章：隨機(jī)數(shù)的生成講課人：XaeroChang|課程主頁(yè):/notes/intro2mc本章第一節(jié)會(huì)簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)隨機(jī)變量的一些概念，但學(xué)習(xí)本章最好要有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第二節(jié)主要介紹如何生成一維概率分布的隨機(jī)數(shù)，第三節(jié)介紹如何生成高維分布的隨機(jī)數(shù)。最后略提及偽隨機(jī)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)對(duì)策略?！?…-…—-…-…—-…-…—-…-…—_"iS…—-…-…—-…-…—-…-…—由前文可知，MonteCarlo積分解決的問(wèn)題形如，f（x）值只需由x值決定，因此此處最重要的就是如何生成服從巾（x）概率分布的隨機(jī)數(shù)。可以說(shuō)，正確生成隨機(jī)數(shù)，MonteCarlo方法就做完了一半。一、隨機(jī)變量基本概念（一）隨機(jī)變量現(xiàn)實(shí)世界中有很多可以用數(shù)字來(lái)衡量的事物，站在當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)來(lái)看，它們?cè)谖磥?lái)時(shí)刻的值是不確定的。例如，我們擲一骰子，在它停穩(wěn)前，我們不可能知道擲出多少點(diǎn)（傳說(shuō)中的賭王除外，哈哈）；例如某只股票在明天的股價(jià)，沒(méi)有人能準(zhǔn)確知曉第二天股票的價(jià)格（不然他就發(fā)慘了?。?。但是，我們卻可以描述這些事物未來(lái)各種值的可能性。（二）離散型隨機(jī)變量

離散型隨機(jī)變量最重要的是分布律，即每個(gè)取值的概率是多少。例如擲骰子，我們認(rèn)為扔出任何一個(gè)點(diǎn)的概率都是1/6。那么擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)的分布律如下表:骰子點(diǎn)數(shù)123456概率1/61/61/61/61/61/6連續(xù)性隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量有兩個(gè)重要的概念。概率密度函數(shù)(PDF)和累積概率分布函數(shù)(CDF),具體定義見(jiàn)數(shù)學(xué)書(shū)籍。PDF函數(shù)本身不是概率，只有對(duì)x的某段區(qū)間中的PDF積分得到的數(shù)值才有概率的含義。CDF是概率的意思，點(diǎn)x上CDF的值表示該隨機(jī)變量可能取值小于x的概率的大小。如圖是正態(tài)分布的PDF和CDF多元分布在這個(gè)課程里面，我不將多維的隨機(jī)變量拆分成多個(gè)一維的隨機(jī)變量來(lái)表述，而是將各個(gè)維度組合成一個(gè)隨機(jī)變量向量。多元隨機(jī)變量分布需要掌握聯(lián)合分布、邊緣分布和條件分布。聯(lián)合分布和單變量PDF類似，如果將其對(duì)隨機(jī)變量某個(gè)取值范圍做積分就可以得到隨機(jī)變量最終取值落在該區(qū)間內(nèi)的概率。邊緣分布是只考慮多維隨機(jī)變量中的某一維，其他維度不考慮情況下的PDF條件分布是固定隨機(jī)變量在其他維度的取值，再考慮剩余那個(gè)維度上的PDF。如圖是一個(gè)二維正態(tài)分布（兩個(gè)維度間相關(guān)系數(shù)為0.3）的示意圖。兩個(gè)小圖分別是第一和第二維度的邊緣分布PDF圖（都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布PDF）。右上角的大圖是依據(jù)此二維正態(tài)聯(lián)合分布生成的隨機(jī)數(shù)。從隨機(jī)數(shù)的疏密程度可以看出聯(lián)合分布PDF函數(shù)在該區(qū)域的大小。研究這些分布不是我們的目的，只是達(dá)到目的的手段。我們所需要做的事情是生成符合各種分布的隨機(jī)數(shù)。由分布的不同類型一一連續(xù)型和離散型，常規(guī)型（Matlab中有內(nèi)置函數(shù)）和特殊型（Matlab中無(wú)內(nèi)置函數(shù)），一維分布和多維分布一一我們接下來(lái)就各種情況分別講述如何在Matlab中生成各種各樣的隨機(jī)數(shù)。十六、一維隨機(jī)數(shù)兩個(gè)注意事項(xiàng)：生成隨機(jī)數(shù)有兩種選擇，可以每次只生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)，直接用此數(shù)計(jì)算f（x）,然后循環(huán)重復(fù)此過(guò)程，最后求平均值；另一種方法是每次生成全部循環(huán)所需的隨機(jī)數(shù)，利用Matlab矩陣運(yùn)算語(yǔ)法計(jì)算f（x），不需要寫(xiě)循環(huán)，直接即可求平均值。前一種方法代碼簡(jiǎn)單，但速度慢；后一種方法代碼相對(duì)更難寫(xiě)。此處一定要掌握如何生成隨機(jī)數(shù)組成的向量和矩陣（單個(gè)隨機(jī)數(shù)就是一個(gè)1*1的矩陣），在后面章節(jié)的例子里面一般會(huì)有兩個(gè)版本的代碼分別講述這兩種生成方法。生成了一維的隨機(jī)數(shù)后，可以用hist（）函數(shù)查看這些數(shù)服從的大致分布情況。基本隨機(jī)數(shù)Matlab中有兩個(gè)最基本生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)。rand（）生成（0,1）區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量?；菊Z(yǔ)法:rand（［M,N,P...］）生成排列成M*N*P...多維向量的隨機(jī)數(shù)。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：rand(5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式rand(5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣rand([5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=rand(100000,l);hist(x,30);由此可以看到生成的隨機(jī)數(shù)很符合均勻分布。(視頻教程會(huì)略提及hist()函數(shù)的作用)2．randn()生成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(均值為0方差為1)的隨機(jī)數(shù)。基本語(yǔ)法和rand()類似。randn([M,N,P...])生成排列成M*N*P...多維向量的隨機(jī)數(shù)。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：randn(5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式randn(5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣randn([5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x二randn(100000,l);hist(x,50);由圖可以看到生成的隨機(jī)數(shù)很符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。連續(xù)型分布隨機(jī)數(shù)如果你安裝了統(tǒng)計(jì)工具箱(StatisticToolbox)，除了這兩種基本分布外，還可以用Matlab內(nèi)部函數(shù)生成符合下面這些分布的隨機(jī)數(shù)。3．unifrnd()和rand()類似，這個(gè)函數(shù)生成某個(gè)區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)?；菊Z(yǔ)法unifrnd(a,b,[M,N,P,...])生成的隨機(jī)數(shù)區(qū)間在(a,b)內(nèi)，排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：unifrnd(-2,3,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式unifrnd(-2,3,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣unifrnd(-2,3,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)都在(-2,3)區(qū)間內(nèi).生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=unifrnd(-2,3,100000,l);hist(x,50);由圖可以看到生成的隨機(jī)數(shù)很符合區(qū)間(-2,3)上面的均勻分布。4．normrnd()和randn()類似，此函數(shù)生成指定均值、標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)?；菊Z(yǔ)法normrnd(mu,sigma,[M,N,P,...])生成的隨機(jī)數(shù)服從均值為mu,標(biāo)準(zhǔn)差為sigma(注意標(biāo)準(zhǔn)差是正數(shù))正態(tài)分布，這些隨機(jī)數(shù)排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：normrnd(2,3,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式normrnd(2,3,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣normrnd(2,3,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)所服從的正態(tài)分布都是均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為3.生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x二normrnd(2,3,100000,l);hist(x,50);分布，下半部分是用小節(jié)“randn()”中最后那段語(yǔ)句生成10萬(wàn)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的大致分布。注意到上半個(gè)圖像的對(duì)稱軸向正方向偏移(準(zhǔn)確說(shuō)移動(dòng)到x=2處)，這是由于均值為2的結(jié)果。而且，由于標(biāo)準(zhǔn)差是3,比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差(1)要高，所以上半部分圖形更胖(注意x軸刻度的不同)。chi2rnd()此函數(shù)生成服從卡方(Chi-square)分布的隨機(jī)數(shù)?？ǚ椒植贾挥幸粋€(gè)參數(shù)：自由度V?；菊Z(yǔ)法chi2rnd(v,[M,N,P,...])生成的隨機(jī)數(shù)服從自由度為v的卡方分布，這些隨機(jī)數(shù)排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：chi2rnd(5,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式chi2rnd(5,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣chi2rnd(5,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)所服從的卡方分布的自由度都是5生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=chi2rnd(5,100000,l);hist(x,50);frnd()此函數(shù)生成服從F分布的隨機(jī)數(shù)。F分布有2個(gè)參數(shù)：v1,v2?；菊Z(yǔ)法frnd(vl,v2,[M,N,P,...])生成的隨機(jī)數(shù)服從參數(shù)為(vl,v2)的卡方分布，這些隨機(jī)數(shù)排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：frnd(3,5,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式frnd(3,5,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣frnd(3,5,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)所服從的參數(shù)為(v1=3,v2=5)的F分布生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=frnd(3,5,100000,l);hist(x,50);從結(jié)果可以看出來(lái)，F(xiàn)分布集中在x正半軸的左側(cè)，但是它在極端值處也很可能有一些取值。7．trnd()此函數(shù)生成服從t(Student'stDistribution,這里Student不是學(xué)生的意思，而是Cosset.W.S.的筆名)分布的隨機(jī)數(shù)。t分布有1個(gè)參數(shù)：自由度v。基本語(yǔ)法trnd(v,[M,N,P,...])生成的隨機(jī)數(shù)服從參數(shù)為v的t分布，這些隨機(jī)數(shù)排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：trnd(7,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式trnd(7,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣trnd(7,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)所服從的參數(shù)為(v=7)的t分布生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=trnd(7,100000,l);hist(x,50);可以發(fā)現(xiàn)t分布比標(biāo)準(zhǔn)正太分布要“瘦”，不過(guò)隨著自由度v的增大，t分布會(huì)逐漸變胖，當(dāng)自由度為正無(wú)窮時(shí)，它就變成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布了。接下來(lái)的分布相對(duì)沒(méi)有這么常用，同時(shí)這些函數(shù)的語(yǔ)法和前面函數(shù)語(yǔ)法相同，所以寫(xiě)得就簡(jiǎn)略一些——在視頻中也不會(huì)講述，你只需按照前面那幾個(gè)分布的語(yǔ)法套用即可，應(yīng)該不會(huì)有任何困難——時(shí)間足夠的話這是一個(gè)不錯(cuò)的練習(xí)機(jī)會(huì)。8．betarnd()此函數(shù)生成服從Beta分布的隨機(jī)數(shù)。Beta分布有兩個(gè)參數(shù)分別是A和B。下圖是A=2,B=5的beta分布的PDF圖形。

25beta1L111A2-A1J5-1T1\OS10J50OJ511J52ZJ5生成beta分布隨機(jī)數(shù)的語(yǔ)法是：betarnd(A,B,[M,N,P,...])9.exprnd()此函數(shù)生成服從指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)。指數(shù)分布只有一個(gè)參數(shù):mu,下圖是mu=3時(shí)指數(shù)分布的PDF圖形生成指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)的語(yǔ)法是:betarnd(mu,[M,N,P,...])gamrnd()

生成服從Gamma分布的隨機(jī)數(shù)。Gamma分布有兩個(gè)參數(shù)：A和B。下圖是A=2,B=5Gamma分布的PDF圖形生成Gamma分布隨機(jī)數(shù)的語(yǔ)法是：gamrnd(A,B,[M,N,P,...])lognrnd()生成服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。其有兩個(gè)參數(shù)：mu和sigma,服從這個(gè)這樣的隨機(jī)數(shù)取對(duì)數(shù)后就服從均值為mu,標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布。下圖是mu=-l,sigma=l/1.2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的PDF圖形。

生成對(duì)數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的語(yǔ)法是：lognrnd(mu,sigma,[M,N,P,...])raylrnd()生成服從瑞利(Rayleigh)分布的隨機(jī)數(shù)。其分布有1個(gè)參數(shù)：B。下圖是B=2的瑞利分布的PDF圖形。生成瑞利分布隨機(jī)數(shù)的語(yǔ)法是：raylrnd(B,[M,N,P,...])wblrnd()生成服從威布爾(Weibul1)分布的隨機(jī)數(shù)。其分布有2個(gè)參數(shù)：scale參數(shù)A和shape參數(shù)B。下圖是A=3,B=2的Weibull分布的PDF圖形。生成Weibull分布隨機(jī)數(shù)的語(yǔ)法是：wblrnd(A,B,[M,N,P,...])還有非中心卡方分布(ncx2rnd)，非中心F分布(ncfrnd)，非中心t分布(nctrnd),括號(hào)中是生成服從這些分布的函數(shù)，具體用法用：help函數(shù)名查找。離散型分布隨機(jī)數(shù)離散分布的隨機(jī)數(shù)可能的取值是離散的，一般是整數(shù)。unidrnd()此函數(shù)生成服從離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)。Unifrnd是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)均勻選取實(shí)數(shù)(可為小數(shù)或整數(shù))，Unidrnd是均勻選取整數(shù)隨機(jī)數(shù)。離散均勻分布隨機(jī)數(shù)有1個(gè)參數(shù)：n,表示從｛1,2,3,...N｝這n個(gè)整數(shù)中以相同的概率抽樣?；菊Z(yǔ)法：unidrnd(n,[M,N,P,...])這些隨機(jī)數(shù)排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：unidrnd(5,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式unidrnd(5,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣unidrnd(5,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)所服從的參數(shù)為(10,0.3)的二項(xiàng)分布生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=unidrnd(9,100000,l);hist(x,9);可見(jiàn)，每個(gè)整數(shù)的取值可能性基本相同。binornd()此函數(shù)生成服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)。二項(xiàng)分布有2個(gè)參數(shù)：n,p。考慮一個(gè)打靶的例子,每槍命中率為p,共射擊N槍，那么一共擊中的次數(shù)就服從參數(shù)為(N,p)的二項(xiàng)分布。注意p要小于等于1且非負(fù)，N要為整數(shù)?；菊Z(yǔ)法：binornd(n,p,[M,N,P,...])生成的隨機(jī)數(shù)服從參數(shù)為(N,p)的二項(xiàng)分布，這些隨機(jī)數(shù)排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：binornd(10,0.3,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式binornd(10,0.3,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣binornd(10,0.3,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)所服從的參數(shù)為(10,0.3)的二項(xiàng)分布生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=binornd(10,0.45,100000,l);hist(x,ll);我們可以將此直方圖解釋為，假設(shè)每槍射擊命中率為0.45，每論射擊10次，共進(jìn)行10萬(wàn)輪，這個(gè)圖就表示這10萬(wàn)輪每輪命中成績(jī)可能的一種情況。16．geornd()此函數(shù)生成服從幾何分布的隨機(jī)數(shù)。幾何分布的參數(shù)只有一個(gè)：p。幾何分布的現(xiàn)實(shí)意義可以解釋為，打靶命中率為p，不斷地打靶，直到第一次命中目標(biāo)時(shí)沒(méi)有擊中次數(shù)之和。注意p是概率，所以要小于等于1且非負(fù)?；菊Z(yǔ)法：geornd(p,[M,N,P,...])這些隨機(jī)數(shù)排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：geornd(0.4,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式geornd(0.4,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣geornd(0.4,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)所服從的參數(shù)為(0.4)的二項(xiàng)分布生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=geornd(0.4,100000,l);hist(x,50);17．poissrnd()此函數(shù)生成服從泊松(Poisson)分布的隨機(jī)數(shù)。泊松分布的參數(shù)只有一個(gè)：lambda。此參數(shù)要大于零?；菊Z(yǔ)法：geornd(p,[M,N,P,...])這些隨機(jī)數(shù)排列成M*N*P...多維向量。如果只寫(xiě)M,則生成M*M矩陣；如果參數(shù)為[M,N]可以省略掉方括號(hào)。一些例子：poissrnd(2,5,l)%生成5個(gè)隨機(jī)數(shù)排列的列向量，一般用這種格式poissrnd(2,5)%生成5行5列的隨機(jī)數(shù)矩陣poissrnd(2,[5,4])%生成一個(gè)5行4列的隨機(jī)數(shù)矩陣%注：上述語(yǔ)句生成的隨機(jī)數(shù)所服從的參數(shù)為(2)的泊松分布生成的隨機(jī)數(shù)大致的分布。x=poissrnd(2,100000,l);hist(x,50);其他離散分布還有超幾何分布(Hyper-geometric,函數(shù)是hygernd)等，詳細(xì)見(jiàn)Matlab幫助文檔。（六）特殊連續(xù)分布這里我將Matlab中沒(méi)有對(duì)應(yīng)函數(shù)的分布稱為特殊分布。有多種方法可以用于生產(chǎn)服從這些分布的隨機(jī)數(shù)。這里主要介紹兩種最常見(jiàn)的。1逆CDF函數(shù)法如果我們已知某特定一維分布的CDF函數(shù)，經(jīng)過(guò)如下幾個(gè)步驟即可生成符合該分布的隨機(jī)數(shù)。（其中數(shù)學(xué)推導(dǎo)等在此處略去，詳見(jiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)書(shū)籍）計(jì)算CDF函數(shù)的反函數(shù)：生成服從（0,1）區(qū)間上均勻分布的初始隨機(jī)數(shù)a令x=，則x即服從我們需要的特定分布的隨機(jī)數(shù)。為了更形象解說(shuō)這種方法，這里選取柯西（Cauchy）分布作為例子。有時(shí)也稱其為洛侖茲分布或者Breit-Wigner分布?？挛鞣植加幸淮筇攸c(diǎn)就是，它是肥尾（Fat-tai1,又譯作胖尾）分布。在金融市場(chǎng)中，肥尾分布越來(lái)越受到重視，因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)的正態(tài)分布基本不考慮像當(dāng)前次貸危機(jī)等極端情況，而肥尾分布則能很好地將很極端的情形考慮進(jìn)去。上圖是Cauchy分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布PDF圖對(duì)比，看看是不是Cauchy分布的尾巴（x軸兩端）更“胖”一點(diǎn)？柯西分布的PDF函數(shù)是：簡(jiǎn)化起見(jiàn)我們只考慮xf=0,Y=1情形。此時(shí)PDF函數(shù)是:1PDF函數(shù)對(duì)x作積分，就得到CDF函數(shù)（推導(dǎo)過(guò)程略）：現(xiàn)在我們套用這三個(gè)步驟來(lái)生成服從Cauchy分布的隨機(jī)數(shù)：1.計(jì)算得到Cauchy分布CDF函數(shù)的反函數(shù)為：2?使用rand()函數(shù)生成(0,1)區(qū)間上均勻分布的初始隨機(jī)數(shù)。我習(xí)慣一次生成一堆這種隨機(jī)數(shù)。original_x=rand(l,100000);3.將初始隨機(jī)數(shù)代入CDF反函數(shù)即可得到我們需要的Cauchy隨機(jī)數(shù)。。cauchy_x二tan((original_xT/2)*pi);上面這兩句代碼結(jié)合起來(lái)就生成了10萬(wàn)個(gè)服從參數(shù)為(xfO,Y=1)Cauchy分布的隨機(jī)數(shù)。這種方法生成隨機(jī)數(shù)與Cauchy分布有多大相似之處呢？這里有一個(gè)圖可以說(shuō)明:藍(lán)色的圖形就是用hist畫(huà)出的隨機(jī)數(shù)的樣本分布情況，紅色線條是Cauchy分布理論的PDF圖形。由此可看出生成的隨機(jī)數(shù)挺符合Cauchy分布。注意：上圖中，我略去了x軸小于-12.5和大于12.5部分的圖形因?yàn)镃auchy是胖尾分布，會(huì)生成出的不少取值很大的隨機(jī)數(shù)，而那些很大的值使得我們不方便用hist函數(shù)來(lái)畫(huà)隨機(jī)數(shù)分布圖。注意，這種方法本身雖然很簡(jiǎn)單，效率也很高，但有如下受限之處：它有個(gè)可能會(huì)出錯(cuò)的地方，有的CDF函數(shù)的反函數(shù)在0或者1處的值是正/負(fù)無(wú)窮，例如此處的Cauchy分布就是這樣，倘若用(0,1)均勻分布產(chǎn)生的初始隨機(jī)數(shù)中包含0或者1,那么這個(gè)程序會(huì)出錯(cuò)。幸運(yùn)的是，迄今為止，我用Matlab的rand()函數(shù)生成的隨機(jī)數(shù)中還沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)0或者1。但不同版本的Matlab的這種情況也許會(huì)改變。此處提醒你，如果程序出錯(cuò)，不要忘記檢查是否是這個(gè)錯(cuò)誤。CDF函數(shù)必須嚴(yán)格單調(diào)遞增，這也就意味著，PDF函數(shù)在x定義域內(nèi)必須處處嚴(yán)格大于零，否則CDF的反函數(shù)不存在。即使CDF函數(shù)存在，如果它太復(fù)雜，可能導(dǎo)致計(jì)算速度太慢，甚至無(wú)法計(jì)算的后果。2?接受/拒絕法Acceptance-RejectionMethodAccelptence-Rejection方法的精髓在于“形似”，可以形象地將其比喻為制作冰雕一—二者相同之處在于都要首先堆砌出雛形，然后再用將多出的部分削去。用此法生成服從f(x)分布的隨機(jī)數(shù)，分為如下幾大步驟：?首先,選用某個(gè)分布，如pdf為g(x)的分布，此時(shí)要計(jì)算一個(gè)常數(shù)C,使得對(duì)x定義域內(nèi)任意的X都成立這相當(dāng)于使cg(x)圖形完全“覆蓋”住f(x)圖形，容易理解，做冰雕時(shí)，最初堆出來(lái)的那堆冰塊要比最終得到的雕塑大。.生成服從pdf為g(x)分布的隨機(jī)數(shù)，假設(shè)生成的隨機(jī)數(shù)為X。。再生成一個(gè)服從(0,1)間的均勻分布的隨機(jī)數(shù)y如果，丟棄生成的x0；反之，生成的x0就是我們需要的、服從f(x)分布的隨機(jī)數(shù)。下面用一個(gè)例子結(jié)合圖形解釋這種方法，假設(shè)我們要生成的分布加止;切是：，此pdf圖形如下圖的藍(lán)色曲線。我們選用(0,2)之間的均勻分布作為原始分布，即g(x)=0.5,此分布的pdf圖見(jiàn)下圖中的綠色線。由條件：無(wú)論哪個(gè)x，都要成立，我們計(jì)算得到c要大于等于10.8。這種情況下，我們一般選擇c=1.875。因?yàn)閏選得越大，意味著我們堆砌的原始雛形越大，需要削去的部分越多，效率越低，所以我們要使得c盡量地小。生成服從(0,2)之間的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，設(shè)它為x0X0二unifrnd(0,2);然后再生成一個(gè)服從(0,1)間的均勻分布的隨機(jī)數(shù)yY=rand;L"—"…'八4—'—'—"——"—"—'—如果，丟棄生成的x0,重新生成；反之，生成的x0就是我們需要的、服從f(x)分布白以上步驟每次只能處理一個(gè)隨機(jī)數(shù)，效率較低，下面這段代碼可以一次性生成一堆隨機(jī)數(shù)。N=400000;c=1.875;gx=0.5x0=unifrnd(0,2,1,N);y=rand(1,N);fx0=(x0-0.5).*(x0-0.5)/2.4;

final_x=xO(y〈二fxO./c/gx);在視頻教程中我會(huì)逐句解釋每句含義，如果沒(méi)聽(tīng)懂，一般是因?yàn)槟銓?duì)Matlab向量運(yùn)算不熟悉，請(qǐng)參照Matlab基礎(chǔ)教程學(xué)習(xí)此部分的內(nèi)容，后面章節(jié)會(huì)有很多地方用得上。這段語(yǔ)句生成的變量final_x即為服從f(x)分布的隨機(jī)數(shù)組成的一個(gè)行向量。我們可以用hist查看這些隨機(jī)數(shù)大致的分布。hist(finalx,50);title('f(x)=(x-0.5)"2/2.4');如圖所示，生成的隨機(jī)數(shù)挺符合f(x)分布。這種方法很簡(jiǎn)單，也不需要計(jì)算CDF函數(shù)的反函數(shù)，但它也有如下受限之處：由于我們用隨機(jī)數(shù)y來(lái)控制是否削去某個(gè)隨機(jī)數(shù)xO,所以我們無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知最終得到的隨機(jī)數(shù)數(shù)量多少。選擇合適的g(x)分布是此方法最關(guān)鍵的技巧所在。g(x)的選擇原則是在完全覆蓋f(x)的前提下盡可能與f(x)形似，二者形狀越相似，需要削去的部分就越少，這種方法的效率就越高。需要記住的是：很多時(shí)候，人們不選用這種方法的原因幾乎都在于它的效率過(guò)低。(七)特殊離散分布離散分布關(guān)鍵在獲得它的分布律，有了分布律我們計(jì)算骰子擲出點(diǎn)數(shù)小于等于某個(gè)數(shù)字的累積概率分布。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，假設(shè)我們有一個(gè)不均勻的骰子，獲得六個(gè)點(diǎn)數(shù)的概率分別是：點(diǎn)數(shù)123456概率00000.2.2.2累積點(diǎn)數(shù)<<<<<<123456累積概率00000.6.8生成符合該分布隨機(jī)數(shù)的步驟是:

生成一個(gè)(0,1)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)X0。依據(jù)x0介于累積概率哪個(gè)區(qū)間來(lái)決定擲出骰子的點(diǎn)數(shù)x。如0vx0v=0.1,則點(diǎn)數(shù)x為1,0.8vx0v=1,點(diǎn)數(shù)x為6。代碼是xO=rand;Fx0<0.1x=1;IIelseifx0<0.3x=2;elseifx0<0.4x=3elseifx0<0.6x=4elseifx0<0.8x=5elsex=6end這段語(yǔ)句能生成一個(gè)服從上表中離散分布的隨機(jī)數(shù)x,如果生成多個(gè)x,可以用循環(huán)語(yǔ)句，也可以考慮將上述代碼向量化。下圖是我用上述代碼生成10萬(wàn)個(gè)隨機(jī)數(shù)所畫(huà)出的分布直方圖，可見(jiàn)這些隨機(jī)數(shù)很符合上表中的分布律。1J522J51J522J533L54+J5S5LS十七、生成多維聯(lián)合分布隨機(jī)數(shù)一維隨機(jī)變量是標(biāo)量(也就是指單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字)，而多維隨機(jī)變量是一個(gè)向量。一個(gè)n維隨機(jī)變量x是有n個(gè)分量的向量，(X,X,...,X),用f(X,X,...,X)表示聯(lián)合分布，用01n01nf(X)表示第k維的邊緣分布，用f(X|X=x,X=x=x,X=x,...,X=x)表示當(dāng)KKkk1122KTKTK+1K+1nn分量X=x,X=x,....X=x,X=x,...,X=x時(shí)第k個(gè)分量x的分布。這里大寫(xiě)X表示1122k-1k-1k+1k+1nnk隨機(jī)變量某個(gè)維度上的分量，小寫(xiě)x表示具體的數(shù)值。關(guān)于邊緣分布、條件分布、聯(lián)合分布一定要明白，這些都是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，非本課程內(nèi)容。如果手頭沒(méi)有書(shū)，通過(guò)google搜索或上維基百科臨陣磨槍也是可以的。各種生成多維分布隨機(jī)數(shù)的方法