第23課時矩形菱形正方形

第五單元四邊形第二十三課時矩形、菱形、正方形基礎(chǔ)達標訓(xùn)練1.下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是()A.對角線互相平分B.對角線互相垂直C.對角線相等D.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形2.(2017上海)已知平行四邊形ABCD，AC、BD是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個平行四邊形為矩形的是()A.∠BAC＝∠DCAB.∠BAC＝∠DACC.∠BAC＝∠ABDD.∠BAC＝∠ADB3.(2017河南)如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的只有()第3題圖A.AC⊥BDB.AB＝BCC.AC＝BDD.∠1＝∠24.(2017廣安)下列說法：①四邊相等的四邊形一定是菱形②順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形③對角線相等的四邊形一定是矩形④經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分其中正確的個數(shù)為()A.4B.3C.2D.15.(2017蘭州)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ADB＝30°，AB＝4，則OC＝()A.5B.4C.3.5D.3第5題圖第6題圖6.如圖，在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四個判斷中，不正確的是()A.四邊形AEDF是平行四邊形B.如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形C.如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形D.如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形7.(2017淮安)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，點E在邊BC上，將△ABE沿直線AE折疊，點B恰好落在對角線AC上的點F處，若∠EAC＝ECA，則AC的長是()A.3eq\r(3)B.6C.4D.5第7題圖第8題圖8.(2017瀘州)如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(2),3)9.eq\a\vs4\al(關(guān)注教學(xué)文化)(2017麗水)我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示，在圖②中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為________．第9題圖10.(2017徐州)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點Q在對角線AC上，且AQ＝AD，連接DQ并延長，與邊BC交于點P，則線段AP＝________．第10題圖第11題圖11.(2017十堰)如圖，菱形ABCD中，AC，BD交于點O，DE⊥BC于點E，連接OE，若∠ABC＝140°，則∠OED＝________．第12題圖12.(2017懷化)如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，點P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點，若以P，B，C為頂點的三角形是等腰三角形，則P，A(P，A兩點不重合)兩點間的最短距離為________cm.第13題圖13.(6分)(2017岳陽)求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．小紅同學(xué)根據(jù)題意畫出了圖形，并寫出了已知和求證的一部分，請你補全已知和求證，并寫出證明過程．已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，___________．求證：________________________________________________________________.14.(8分)(2017邵陽)如圖所示，已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O，∠OBC＝∠OCB.(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)請?zhí)砑右粋€條件使矩形ABCD為正方形．第14題圖15.(8分)(2017鹽城)如圖，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F.(1)求證：四邊形BEDF為平行四邊形；(2)當∠ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由．第15題圖16.(8分)(2017南雅中學(xué)第七次階段檢測)如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，BE⊥AG于點E，DF⊥AG于點F.(1)證明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的長．第16題圖17.(8分)(2017鄂州)如圖，將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點F處，F(xiàn)C交AD于E.(1)求證：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求圖中陰影部分的面積．第17題圖能力提升訓(xùn)練1.(2017芙蓉區(qū)二十九中模擬)如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列四個說法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中說法正確的是()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④第1題圖2.(2017安徽)如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.動點P滿足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，則點P到A，B兩點距離之和PA＋PB的最小值為()A.eq\r(29)B.eq\r(34)C.5eq\r(2)D.eq\r(41)第2題圖第3題圖3.(2017青竹湖湘一二模)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝eq\f(3,2)S△FGH；④AG＋DF＝FG.其中正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.44.(2017江西)已知點A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，連接AC，BC得到矩形AOBC，點D在邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點A的對應(yīng)點為A′，若點A′到矩形較長兩對邊的距離之比為1∶3，則點A′的坐標為________．5.(2017紹興)如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100m，則小聰行走的路程為________m.第5題圖6.(9分)(2017廣州)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED.(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)連接AE，若AB＝6cm，BC＝eq\r(5)cm.①求sin∠EAD的值；②若點P為線段AE上一動點(不與點A重合)，連接OP.一動點Q從點O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P，再以cm/s的速度沿線段PA勻速運動到點A，到達點A后停止運動．當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全程所需的時間．第6題圖拓展培優(yōu)訓(xùn)練1.(2016長郡教育集團第二屆澄池杯)如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，點E是BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點F處，連接FC，則sin∠ECF＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)第1題圖第2題圖2.(2016長郡教育集團第二屆澄池杯)如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°)，PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結(jié)論中正確的有()(1)EF＝eq\r(2)OE；(2)S四邊形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝eq\r(2)OA；(4)OG·BD＝AE2＋CF2.1個B.2個C.3個D.4個特殊四邊形的相關(guān)證明與計算鞏固集訓(xùn)1.(8分)(2017廣東省卷)如圖所示，已知四邊形ABCD、ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD為銳角．(1)求證：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度數(shù)．第1題圖2.(8分)(2017麓山國際實驗學(xué)校二模)如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點F，E為四邊形ABCD外一點，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)若DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的長．第2題圖3.(8分)(2017南雅中學(xué)二模)在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB.第3題圖4.(8分)(2017襄陽)如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點C，BD平分∠ABF，且交AE于點D，連接CD.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的長．第4題圖5.(8分)(2017青竹湖湘一三模)已知，正方形ABCD中，點E、F分別是CB、CD延長線上的點，DF＝BE，連接AE、AF，過點A作AH⊥ED于點H.(1)求證：△ADF≌△ABE；(2)若BC＝3BE，BE＝1，求tan∠AED的值．第5題圖6.(8分)(2017長沙中考模擬卷三)如圖，在正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，使B、C、E三點在同一直線上，連接BF，交CD于點G.(1)求證：CG＝CE；(2)若正方形邊長為4，求菱形BDFE的面積．第6題圖7.(9分)(2017長沙中考模擬卷六)如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，BD與AE、AF分別相交于點G、H.(1)求證：△ABE∽△ADF；(2)若AG＝AH，求證：四邊形ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，將△ADF繞A點順時針旋轉(zhuǎn)，若△ADF恰好與△ACE重合，求旋轉(zhuǎn)角n(0°＜n＜360°)．第7題圖8.(9分)(2017蘭州)如圖①，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F.(1)求證：△BDF是等腰三角形；(2)如圖②，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG交BD于點O.①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的長．第8題圖答案1.C2.C3.C4.C5.B【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝8，∵矩形對角線相等且互相平分，∴OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)BD＝4.6.D【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，故A選項正確；∵∠BAC＝90°，四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是矩形，故B選項正確；∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAF，又∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠DAF＝∠EAD，∴AE＝DE，又∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故C選項正確；如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四邊形AEDF是正方形，故D選項錯誤．7.B【解析】由折疊可知，∠BAE＝∠EAC，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝2∠BCA，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴3∠ACB＝90°，∴∠ACB＝30°，∵AB＝3，∴AC＝2AB＝6.8.A【解析】∵AD∥BC，BE＝CE，又∵四邊形ABCD是矩形，∴△BEF∽△DAF，∴BE∶AD＝BF∶FD＝EF∶AF＝1∶2，設(shè)EF＝x，則AF＝2x，∵△BEF∽△AEB，∴BE∶AE＝EF∶BE，∴BE2＝EF·AE＝3x2，∴BE＝eq\r(,3)x，∴AB2＝AE2－BE2＝6x2，∴AB＝eq\r(,6)x，∵AB·BE＝AE·BF，∴BF＝eq\r(,2)x，在Rt△BDC中，BD＝eq\r(,DC2＋BC2)＝3eq\r(,2)x，∴DF＝2eq\r(,2)x，在Rt△DFE中，tan∠BDE＝eq\f(EF,DF)＝eq\f(x,2\r(,2)x)＝eq\f(\r(,2),4).9.10【解析】如題圖②，由趙爽弦圖可知，△GHI≌△HEJ≌△EFK≌△FGL，∴GL＝HI＝EJ＝FK，F(xiàn)L＝GI＝HJ＝EK，設(shè)HI＝m，∵IJ∥AB，∴HJ＋FK＝AB，即m＋2＋m＝14，解得m＝6，在Rt△GHI中，HI＝6，GI＝6＋2＝8，GH＝eq\r(62＋82)＝10，即正方形EFGH的邊長為10.10.eq\r(17)【解析】∵AC＝eq\r(42＋32)＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2，又∵AD＝AQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∵∠CQP＝∠AQD，∴∠ADQ＝∠CQP，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CP＝CQ＝2，∴BP＝3－2＝1，∴AP＝eq\r(AB2＋BP2)＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).11.20°【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝eq\f(1,2)BD，∠ABD＝∠CBD，∵∠ABC＝140°，∴∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝70°，∵DE⊥BC，∴∠BDE＝20°，OE＝eq\f(1,2)BD＝OD，∴∠OED＝∠BDE＝20°.12.10eq\r(3)－10【解析】∵△PBC是等腰三角形，∴有以下三種情況：(1)當以點P為頂點時，則點P在線段BC的垂直平分線上，如解圖①所示，此時最小值是10；(2)以點B為頂點時，則點P的軌跡是在以點B為圓心，BC長為半徑的圓周上，由解圖②易知，P，A兩點間最短距離是與點A重合，又∵點P不與點A重合，故舍去；(3)以點C為頂點時，則點P的軌跡是在以點C為圓心，BC長為半徑的圓周上，由解圖③易知，線段AF的長即為最短距離，在Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝180°－120°＝60°，AE＝AB·sin60°＝5eq\r(3)，在Rt△AEC中，AE＝5eq\r(3)，∠ACE＝30°，∴AC＝2AE＝10eq\r(3)，∴AF＝AC－CF＝10eq\r(3)－10，即P，A兩點間的最短距離為(10eq\r(3)－10)cm.第12題解圖13.已知：AC⊥BD；求證：?ABCD是菱形．證明：∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，又∵在?ABCD中，AO＝AO，BO＝DO，∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD，同理BC＝CD，∵在?ABCD中，AD＝BC，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四邊形ABCD是菱形．14.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠OBC，又∵∠OBC＝∠OCB，∴∠DAO＝∠ADO，∴OB＝OC，OA＝OD，∴OB＋OD＝OA＋OC，即AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；(2)解：使矩形ABCD為正方形的條件為：AB＝AD.(答案不唯一)15.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠EBD＝eq\f(1,2)∠ABD，∠FDB＝eq\f(1,2)∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴DF∥EB，又∵AD∥BC，∴ED∥BF，∴四邊形BEDF是平形四邊形；(2)解：當∠ABE＝30°時，四邊形BEDF是菱形．理由如下：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，又∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴四邊形BEDF是菱形．16.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAF＋∠BAE＝90°，AB＝AD，∵∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AFD＝90°,∠BAE＝∠ADF,AB＝DA))，∴△ABE≌△DAF(AAS)；(2)解：在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AGB＝30°，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝6，∴AF＝3eq\r(3)，DF＝3，由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝3，∴EF＝AF－AE＝3eq\r(3)－3.17.(1)證明：∵△AFC是由△ABC折疊得到的，∴AF＝AB，∠F＝∠B，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∴AF＝CD，∠F＝∠D，∵∠FEA＝∠DEC，∴△AFE≌△CDE(AAS)；(2)解：由(1)知△AFE≌△CDE，∴AE＝CE，∴DE＝AD－AE＝8－CE，在Rt△DCE中，由勾股定理得CE2＝DE2＋CD2，∴CE2＝(8－CE)2＋42，解得CE＝5，∴S△ACE＝eq\f(1,2)AE·CD＝eq\f(1,2)×5×4＝10，即圖中陰影部分面積為10.能力提升訓(xùn)練1.B【解析】由勾股定理得x2＋y2＝大正方形邊長的平方，即大正方形的面積49，故①正確；小正方形的面積為4，∴邊長為2，即x－y＝2，故②正確；四個直角三角形的面積再加上中間正方形的面積4等于大正方形的面積49，即eq\f(1,2)xy×4＋4＝2xy＋4＝49，故③正確；(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，由③可知2xy＝45，∴x2＋y2＋2xy＝49＋45＝94，∴x＋y≠9，故④錯誤．2.D【解析】如解圖，設(shè)△PAB底邊AB上的高為h，∵S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，得eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,3)AB·AD，∴h＝2為定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于點F，故點P在直線EF上，作點A關(guān)于直線EF的對稱點A′，連接A′B，交直線EF于點P，此時PA＋PB最小，且PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41).第2題解圖3.C【解析】∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF＝eq\r(102－62)＝8，∴DF＝AD－AF＝10－8＝2，設(shè)EF＝x，則CE＝x，DE＝CD－CE＝6－x，在Rt△DEF中，∵DE2＋DF2＝EF2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得x＝eq\f(10,3)，∴ED＝eq\f(8,3)，∵△ABG沿BG折疊，恰落在線段BF上的點H處，∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠EBG＝∠2＋∠3＝eq\f(1,2)∠ABC＝45°，∴①正確；HF＝BF－BH＝10－6＝4，設(shè)AG＝y(tǒng)，則GH＝y(tǒng)，GF＝8－y，在Rt△HGF中，∵GH2＋HF2＝GF2，∴y2＋42＝(8－y)2，解得y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5，∵∠A＝∠D，eq\f(AB,DE)＝eq\f(9,4)，eq\f(AG,DF)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(AB,DE)≠eq\f(AG,DF)，∴△ABG與△DEF不相似，∴②錯誤；∵S△ABG＝eq\f(1,2)×6×3＝9，S△FGH＝eq\f(1,2)·GH·HF＝eq\f(1,2)×3×4＝6，∴S△ABG＝eq\f(3,2)S△FGH，∴③正確；∵AG＋DF＝3＋2＝5，而GF＝5，∴AG＋DF＝GF，∴④正確，∴①③④正確．第3題解圖4.(eq\r(7)，3)或(eq\r(15)，1)或(2eq\r(3)，－2)【解析】由折疊性質(zhì)可知，OA＝OA′＝4，假設(shè)點A′坐標為(x，y)則有x2＋y2＝42＝16，點A′到矩形較長兩對邊的距離之比為1∶3，可分為兩種情況：①A′至AC的距離為A′至OB距離的3倍，可得y1＝1，y2＝－2，代入x2＋y2＝16得，x1＝±eq\r(15)，x2＝±2eq\r(3)，又∵A′處于y軸右側(cè)，∴A′為(eq\r(15)，1)或(2eq\r(3)，－2)；②A′至OB的距離為A′至AC的距離的3倍，可得y3＝3，代入x2＋y2＝16得x3＝±eq\r(7)，又∵A′處于y軸右側(cè)，∴A′為(eq\r(7)，3)，綜上所述，A′為(eq\r(7)，3)或(eq\r(15)，1)或(2eq\r(3)，－2)．第5題解圖5.4600【解析】由題意得，BA＋AG＋GE＝3100m，∵AB＝1500m，∴AG＋GE＝3100－1500＝1600m，∵BD為對角線，∠DBC＝45°，而GE⊥DC，∴∠DGE＝45°，△DEG為等腰直角三角形，∴DE＝GE，如解圖，過點G作GH⊥AB，易證△AGH≌△EFC，∴AG＝EF，∴AB＋AD＋DE＋EF＝AB＋AD＋(GE＋AG)＝3000＋1600＝4600m.6.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，且AC、BD互相平分，∴DO＝CO，∵已知△COD與△CED關(guān)于CD對稱，∴△COD≌△CED，∴CO＝CE，DO＝DE，∴CE＝CO＝DO＝DE，∴四邊形OCED是菱形；(2)解：①如解圖①，連接EO交CD于點F，延長EO交AB于點H，∵四邊形OCED是菱形，∴EO⊥CD，且EO、CD互相平分，∴EF＝FO，DF＝FC＝3，∴FO∥BC，即EH∥BC，且EF＝FO＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(5),2)，又∵FO∥BC，在矩形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四邊形FHBC是矩形，∴FH＝BC＝eq\r(5)，HB＝FC＝3，∴AH＝AB－HB＝3，EH＝EF＋FH＝eq\f(3\r(5),2)，∵AB∥CD，EH⊥CD，∴EH⊥AB，∴AE2＝AH2＋EH2＝32＋(eq\f(3\r(5),2))2＝eq\f(81,4)，解得AE＝eq\f(9,2)，∴sin∠AEH＝eq\f(AH,AE)＝eq\f(3,\f(9,2))＝eq\f(2,3)，∴sin∠DAE＝sin∠AEH＝eq\f(2,3)；第6題解圖①第6題解圖②②如解圖②，在AE上取點P，過點P作PM⊥AD于點M，∴t＝eq\f(OP,1)＋eq\f(AP,1.5)＝OP＋eq\f(2,3)AP，∵sin∠DAE＝eq\f(MP,AP)＝eq\f(2,3)，∴MP＝eq\f(2,3)AP，∴t＝OP＋eq\f(2,3)AP＝OP＋PM，當點O、P、M共線時，t＝OP＋PM＝OM取得最小值，∴OM⊥AD，∵在矩形ABCD中，AB⊥AD，BO＝DO，∴OM∥AB，且點O為BD的中點，∴OM為△ABD的中位線，∴t＝OM＝eq\f(1,2)AB＝3，∵OM∥AB，∴Rt△EHA∽Rt△EOP，∴eq\f(PE,AE)＝eq\f(EO,EH)＝eq\f(2,3)，∴PE＝eq\f(2,3)AE＝3，∴AP＝AE－EP＝eq\f(3,2)，故AP的長為eq\f(3,2)cm，點Q走完全程需要3s.拓展培優(yōu)訓(xùn)練D【解析】過E作EH⊥CF于點H，由折疊的性質(zhì)得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，∵點E是BC的中點，∴CE＝BE，∴EF＝CE，∴∠FEH＝∠CEH，∴∠AEB＋∠CEH＝90°，∵在矩形ABCD中，∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，∴△ABE∽△EHC，∴eq\f(AB,EH)＝eq\f(AE,CE)，∵AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝10，∴EH＝eq\f(24,5)，∴sin∠ECF＝eq\f(EH,CE)＝eq\f(4,5).第1題解圖2.D【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＋∠BOE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BOE＝∠COF,OB＝OC,∠OBE＝∠OCF))，∴△BOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴EF＝eq\r(2)OE，故(1)正確；∵S四邊形OEBF＝S△BOF＋S△BOE＝S△BOF＋S△COF＝S△BOC＝eq\f(1,4)S正方形ABCD，∴S四邊形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4，故(2)正確；∵BE＝CF，∴BE＋BF＝BF＋CF＝BC＝eq\r(2)OA，故(3)正確；∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE∶OB＝OG∶OE，∴OG·OB＝OE2，∵OB＝eq\f(1,2)BD，OE＝eq\f(\r(2),2)EF，∴OG·BD＝EF2，∵在△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴EF2＝AE2＋CF2，∴OG·BD＝AE2＋CF2，故(4)正確．特殊四邊形的相關(guān)證明與計算鞏固集訓(xùn)1.(1)證明：∵四邊形ABCD、四邊形ADEF都是菱形，∴AB＝AD＝AF，∴△ABF是等腰三角形，又∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF；(2)解：由(1)知AB＝AD＝AF，又∵AB＝BC，BF＝BC，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等邊三角形，∴∠BAF＝60°，又∵∠BAD＝∠FAD，∴∠BAD＝30°，又∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC＋∠BAD＝180°，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝150°.2.(1)證明：∵∠ADE＝∠BAD，∴AB∥DE，∵AE⊥AC，BD⊥AC，∴AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形；(2)解：∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠BDA，∵∠ADE＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝AB＝5，設(shè)BF＝x，則DF＝5－x，∴AD2－DF2＝AB2－BF2，∴62－(5－x)2＝52－x2，解得x＝eq\f(7,5)，∴AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\f(24,5)，∵BD平分AC，∴AC＝2AF＝eq\f(48,5).3.證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四邊形BFDE為平行四邊形，又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四邊形BFDE為矩形；(2)由(1)知平行四邊形BFDE為矩形，∴∠BFC＝90°，∵在△BFC中，CF＝3，BF＝4，根據(jù)勾股定理得，BC＝eq\r(CF2＋BF2)＝eq\r(32＋42)＝5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.4.(1)證明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，同理可證AB＝BC，∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，∴AC⊥BD，OD＝eq\f(1,2)BD＝3，∴在Rt△AOD中，cos∠ADB＝cos30°＝eq\f(OD,AD)＝eq\f(\r(3),2)，∴AD＝3×eq\f(2,\r(3))＝2eq\r(3).5.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADF＝∠ABE＝90°，AD＝AB，在△ADF和△ABE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AB,∠ADF＝∠ABE,DF＝BE))，∴△ADF≌△ABE(SAS)；(2)解：如解圖，