初中數(shù)學(xué)中考常見(jiàn)幾何模型

初中數(shù)學(xué)中考常見(jiàn)幾何模型一、手拉手模型——旋轉(zhuǎn)型全等（1）等邊三角形圖1圖2【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED。（2）等腰直角三角形圖1圖2【條件】：△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED。（3）頂角相等的兩任意等腰三角形圖1圖2【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；且∠COD=∠AOB。【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED。二、模型二：手拉手模型——旋轉(zhuǎn)型相似（1）一般情況圖【條件】：CD∥AB，將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置?！窘Y(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA。（2）特殊情況圖【條件】：CD∥AB，∠AOB=90°，將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置?！窘Y(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA；③BD/OD=OB/OC=tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤連接AD、BC，必有AD2+BC2=AB2。三、模型三、對(duì)角互補(bǔ)模型（1）全等型-90°圖【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB?！窘Y(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③S△DCE=S△OCD+S△OCE。證明提示：①作垂直，如圖2，證明△CDM≌△CEN；②過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△FEC。※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延長(zhǎng)線于D時(shí)（如圖4）：以上三個(gè)結(jié)論：①CD=CE；②OE-OD=2OC；③S△OCE-S△OCD=OE2-OD2=OC2。圖1圖2圖3圖4(1)角含半角模型90°---1給定正方形ABCD和∠EAF=45°，要證明EF=DF+BE，以及△CEF的周長(zhǎng)為正方形ABCD周長(zhǎng)的一半。證明：首先，連接AC和BD，得到圖中的對(duì)角線交點(diǎn)O。由于ABCD是正方形，所以AO=BO=CO=DO。又因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠EAB=45°，∠FAD=45°，∠EAD=90°。因此，△AED和△BEC都是等腰直角三角形。由于AE=ED，BE=EC，所以△AED和△BEC全等。因此，DE=BC。又因?yàn)锳C=BD=AB√2，所以BE=DF=AB/2。因此，EF=DF+BE=AB/2+AB/2=AB。又因?yàn)椤鰿EF與正方形ABCD共邊，且CE=EF=CD，所以△CEF的周長(zhǎng)為ABCD周長(zhǎng)的一半。(2)角含半角模型90°---2給定正方形ABCD和∠EAF=45°，要證明EF=DF-BE。證明：同樣連接AC和BD，得到對(duì)角線交點(diǎn)O。由于ABCD是正方形，所以AO=BO=CO=DO。又因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠EAB=45°，∠FAD=45°，∠EAD=90°。因此，△AED和△BEC都是等腰直角三角形。由于AE=ED，BE=EC，所以△AED和△BEC全等。因此，DE=BC。又因?yàn)锳C=BD=AB√2，所以BE=DF=AB/2。因此，EF=DF-BE=AB/2-AB/2=0。(3)角含半角模型90°---3給定直角三角形ABC，其中∠C=90°，以及∠DAE=45°，要證明BD2+CE2=DE2。證明：連接DE，得到垂線HF。由于∠DAE=45°，所以∠HAE=45°，∠HAD=45°，∠EAD=90°。因此，△AED和△HAE都是等腰直角三角形。又因?yàn)锳E=ED，所以△AED和△HAE全等。因此，DE=AH。又因?yàn)椤螲AB=45°，所以AB=AH√2。由于∠C=90°，所以BH=BD，CH=CE。因此，BD2+CE2=BH2+CH2=BC2=DE2。(4)角含半角模型90°變形給定正方形ABCD和∠EAF=45°，要證明△AHE為等腰直角三角形。證明：同樣連接AC和BD，得到對(duì)角線交點(diǎn)O。由于ABCD是正方形，所以AO=BO=CO=DO。又因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠EAB=45°，∠FAD=45°，∠EAD=90°。因此，△AED和△BEC都是等腰直角三角形。由于AE=ED，BE=EC，所以△AED和△BEC全等。因此，DE=BC。又因?yàn)锳C=BD=AB√2，所以BE=DF=AB/2。因此，EF=DF-BE=AB/2-AB/2=0。因此，E、F、H三點(diǎn)共線，且FH=AH=EH。因此，△AHE為等腰直角三角形。根據(jù)題目要求，對(duì)文章進(jìn)行格式修正和刪減，并進(jìn)行簡(jiǎn)單改寫(xiě)：根據(jù)幾何知識(shí)，可以得出以下結(jié)論：1.在矩形ABCD中，若BD=BE，DF=EF，則AF⊥CF。2.在平行四邊形ABCD中，若BC=2AB，AM=DM，CE⊥AB，則∠EMD=3∠MEA。3.在等腰直角三角形△ADE和△ABC中，若EF=CF，則DF=BF且DF⊥BF。4.在相似直角三角形△OAB和△ODC中，若BE=CE，則AE=DE且∠AED=2∠ABO。這些結(jié)論都可以通過(guò)構(gòu)造合適的輔助線來(lái)證明。例如，在第一條結(jié)論中，可以構(gòu)造全等的三角形△ADF和△HEF，從而得出AF⊥CF。在第四條結(jié)論中，可以通過(guò)構(gòu)造等腰直角三角形△OGB和△OCH來(lái)得出∠AED=2∠ABO。根據(jù)給出的條件和輔助線，可以得出以下結(jié)論：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO。為了證明這個(gè)結(jié)論，我們引入輔助線，將DE延長(zhǎng)至M，使ME=DE。然后，我們需要證明△AMD∽△ABO，這是難點(diǎn)。為了繼續(xù)證明，我們將△AMD∽△ABC轉(zhuǎn)化為證明△ABM∽△AOD。使用兩邊成比例且?jiàn)A角相等，此處的難點(diǎn)在于證明∠ABM=∠AOD。最短路程模型一（將軍飲馬類）中，我們可以發(fā)現(xiàn)右四圖為常見(jiàn)的軸對(duì)稱類最短路程問(wèn)題。這些問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短：解決”。其特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)在直線上，起點(diǎn)和終點(diǎn)固定。我們可以通過(guò)圖形計(jì)算出最短路程。最短路程模型二（點(diǎn)到直線類1）中，我們需要求解MP+PQ最小時(shí)，P、Q的位置。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以將Q關(guān)于OC對(duì)稱得到點(diǎn)Q’，然后過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OA，即可得到MP+PQ=MP+PQ’≥MH（垂線段最短）。這樣我們就可以求出P、Q的位置。最短路程模型二（點(diǎn)到直線類2）中，我們需要求解n的值，使得PB+5PA最小。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交y軸于點(diǎn)E，然后計(jì)算出tan∠EBO=tan∠OAC=1/2，即可得到n的值。最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）中，我們需要求解AB的最大值和最小值。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。最大值為OA+OB，最小值為OA-OB。在最短路程模型三的另一個(gè)問(wèn)題中，我們需要求解OC的值。根據(jù)條件和結(jié)論，如果PA的最大值為10，則OC=6；如果PA的最小值為1，則OC=3；如果PA的最小值為2，則PC的取值范圍是0<PC<2。最后，根據(jù)給出的條件，我們可以得出結(jié)論：①Rt△OBC，∠OBC=30°。模型八：二倍角模型在△ABC中，已知∠B=2∠C。以BC的垂直平分線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接AA’、BA’、CA’，則BA=AA’=CA’。最小值位置為O，最大值位置為P。模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型--基本型已知平行四邊形DE∥BC，且AA'是BC的中線。則BA=AA'=CA'。（2）相似三角形模型---斜交型已知△ABC和△ADE相似，且∠AED=∠ACB=90°。則AE×AB=AC×AD。已知△ABC和△ADE相似，且∠ACE=∠ABC。則AC=AE×AB。（3）相似三角形模型---一線三等角型已知三角形ABC、CDE和FGH，滿足以下條件：（1）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）圖：