1-4 充分必要條件（精講）（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

1.4充分條件與必要條件（精講）一．充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關系pqpq條件關系p是q的充分條件，q是p的必要條件p不是q的充分條件，q不是p的必要條件定理關系判定定理給出了相應數(shù)學結(jié)論成立的充分條件．性質(zhì)定理給出了相應數(shù)學結(jié)論成立的必要條件二．充分不必要條件、必要不充分條件和充要條件充分、必要條件：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)集合關系若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件A?Bp是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qA=Bp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?pA?B且A?B一．判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法1.定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．2.集合法：即利用集合的包含關系判斷．3.傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．二．充要條件的證明一般地，證明“p成立的充要條件為q”；（1）要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論(1)充分性：由“條件?結(jié)論”是證明充分性，把q當作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p；(2)必要性：由“結(jié)論?條件”是證明必要性，把p當作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q.三．利用充分、必要條件求參解題思路1.化簡：化簡集合，明確題干中的條件和結(jié)論．2.轉(zhuǎn)化：根據(jù)集合間的包含關系與充分條件和必要條件的關系，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的關系問題．3.列式：利用集合間的關系，建立關于參數(shù)的不等式或不等式組．注意等號成立的條件．4.求解：解不等式，得參數(shù)范圍．考點一充分條件與必要條件【例1-1】（2023·安徽）已知，則“”的一個必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于可得，故“”是“”的必要條件，由不能得到，，，比如，故選：D【例1-2】（2023·江蘇）（多選題）使成立的充分條件是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】和不可推出．所以使成立的充分條件是或，故選：AB【一隅三反】1．（2022秋·河南商丘）（多選）下列條件中，使“”成立的充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】假設使“”成立的充分條件的是，則，即求能推得成立的條件，對于A，令，則，故A錯誤；對于B，令，則，故B錯誤；對于C，因為，即，故，故C正確；對于D，因為，即，故，故D正確；故選：CD.2．（2023·江蘇）（多選）下列命題是真命題的是（）A．“x＞2”是“x＞3”的必要條件B．“x＝2”是“x2＝4”的必要條件C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要條件【答案】AC【解析】∵x＞3?x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要條件，∴A是真命題；∵x＝2?x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要條件，∴B是假命題；∵A∩B＝B?A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件，反之也成立，故也是充分條件，∴C是真命題；∵ac＞bc，c<0時，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要條件，D是假命題．故選：AC.3．（2022秋·四川綿陽）（多選）下列選項中，滿足p是q的充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】對于A，由可推出，所以是的充分條件，A正確，對于B，由可推出，所以是的充分條件，B正確，對于C，由可推出，所以是的充分條件，C正確，對于D，當，時，，但是，所以不是的充分條件，D錯誤，故選：ABC.4．（2023·福建）下列命題中所有真命題的序號是__________①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要條件；③“”是“”的必要條件．【答案】②③【解析】對于①，若，，則不滿足，故①是假命題；對于②，若，則，從而，故②是真命題；對于③，若，則，即，故③是真命題．故答案為：②③考點二充要條件的判斷【例2-1】（2023·陜西西安）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】解得或，則可推出或，可推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.【例2-2】（2023·上海普陀）“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【解析】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A【例2-3】（2023·山東臨沂）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”.其名篇“但使龍城飛將在，不教胡馬度陰山”（人在陣地在，人不在陣地在不在不知道），由此推斷，胡馬度過陰山是龍城飛將不在的什么條件？（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因為人在陣地在，所以胡馬度過陰山說明龍城飛將不在，因為人不在陣地在不在不知道，所以龍城飛將不在，不能確定胡馬是否度過陰山，所以胡馬度過陰山是龍城飛將不在的充分條件，結(jié)合選項，可得A正確；故選:A.【一隅三反】1．（2022·新疆巴音郭楞）已知p：“”，q：“”，則p是q的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】D【解析】解可得，或.顯然，若成立，推不出成立；若成立，則成立.所以，p是q的必要不充分條件.故選：D.2．（2023·河南開封）設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不允分也不必要條件【答案】B【解析】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．（2023·云南）唐代著名詩人杜牧在《赤壁》一詩中寫有“東風不與周郎便，銅雀春深鎖二喬”，即杜牧認為，如果沒有東風，那么東吳的二喬將會被曹操關進銅雀臺，即赤壁之戰(zhàn)東吳將輸給曹操．那么在杜牧認為，“東風”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】杜牧認為沒有東風，則赤壁之戰(zhàn)東吳將輸給曹操，則說明東風是打敗曹操的必要條件．但有了東風，若沒有其他的地利人和，也未必能打敗曹操，故東風不是充要條件，故選：C．考點三充要條件的選擇【例3-1】（2023·江蘇）使或}成立的一個充分不必要條件是（）A．或 B．或C．或 D．【答案】B【解析】對于A，因為或或，故錯誤；對于B，因為或或，故正確；對于C，因為或或，故錯誤；對于D，因為不是或的真子集，故錯誤.故選：B.【例3-2】（2023春·遼寧）“關于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】關于的不等式的解集為R，則，解得，所以“關于的不等式的解集為R”的一個必要不充一個分條件“”.故選：B.【一隅三反】1．（2022·山東）（多選）“”的必要不充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由，可得構(gòu)成集合，結(jié)合選項可得集合，，都真包含，所以，，都是的必要不充分條件.故選:ABC.2．（2023·高一課時練習）關于x的方程有實根的一個充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，要使方程有實根，則，故是方程有實根的一個充分條件，故選：B3．（2023·江西萍鄉(xiāng)）（多選）設全集為，在下列條件中，是的充要條件的有（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】對于A，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；對于B，如下Venn圖，若，則，若，則，故正確；選項C中，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；選項D中，若，則，故；反過來，若，則，故，故互為充要條件，故正確.故選：ABCD.考點四已知充要條件求參數(shù)【例4-1】（2023·山西）已知不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】由題意得，所以，且等號不能同時成立，解得.故選：D.【例4-2】（2023·云南昆明）（多選）已知條件p：，條件q：，且p是q的必要條件，則m的值可以是（

）A． B． C．- D．0【答案】BCD【解析】設，,因為p是q的必要條件，所以，當時，由無解可得，符合題意；當時，或，當時，由解得，當時，由解得.綜上，的取值為0，，.故選：BCD【例4-3】（2023春·湖南長沙）已知，如果是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，即或，又是的充分不必要條件，所以，即的取值范圍是.故選:A.【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若不等式的一個充分條件為，則，所以，解得.則實數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．（2023·廣東江門）（多選）若是的充分不必要條件，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由題意可知是的充分不必要條件，則，故，故a的值可取，故選：BCD.3．（2023·江蘇）已知，，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】．【解析】因為p是q的必要不充分條件，所以是的真子集，故有或解得.又，所以實數(shù)m的取值范圍為．4．（2022秋·四川眉山·高一校考階段練習）已知集合，，是否存在實數(shù)，使得是成立的______？(1)當橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由？(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由．【答案】(1)不存在滿足條件的，理由見解析(2)若選①，問題中的存在，且的取值集合，若選②，問題中的存在，且的取值集合.【解析】（1）當橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，則，則且，方程組無解.∴不存在滿足條件的.（2）若選①，則是的真子集，則且（兩等號不同時?。?，解得，∴問題中的存在，且的取值集合.選②，則是的真子集，當時，，即，滿足是的真子集；當時，，即，由是的真子集，得且（兩等號不同時?。?，解得；綜上所述：.所以問題中的存在，且的取值集合.考點五充要條件的證明【例5】（2023·陜西西安·）求證：是一元二次方程的一個根的充要條件是.【答案】證明見解析【解析】證明：（1）充分性：由得.即滿足方程.是方程的一個根（2）必要性：是方程的一個根，將代入方程得.故是一元二次方程的一個根的充要條件是【一隅三反】1（2022秋·寧夏銀川）中，角，，所對的邊分別為，，，求證：的充要條件是．【答案】證明見解析.【解析】（1）先證充分性：若，則，∴成立（2）再證必要性：若成立，∵，∴，又因為中，，∴，∴，∴．綜上可知，的充要條件是．2．（2022秋·四川樂山·高一校考階段練習）設a，b，，求證：關于x的方程有一個根是1的充要條件為.【答案】詳見解析.【解析】充分性：，，代入方程得，即．關于的方程有一個根為；必要性：方程有一個根為，滿足方程，，即．故關于的方程有一個根是的充要條件為．3．（2023·陜西）已知，求證：是的充要條件.【答案】證明見解析【解析】設，，先證充分性：∵，∴，即，∵，，∴，即；再證必要性：∵，∴，∴；綜上：是的充要條件.考點六綜合運用【例6】（2023·河南）已知或．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若是的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）或，，，解得：，的取值范圍是；（2）因為是的必要條件，所以，或，的取值范圍是或.【一隅三反】1．（2023·湖南郴州）設集合，；(1)用列舉法表示集合；(2)若是的充要條件，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）集合，即；（2）由已知，，若是的充要條件，則，，.2．（2023·云南昆明）已知集合，，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的________條件，判斷實數(shù)是否存在？【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）若，則，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）若選擇條件，即是的充分條