浙江省歷年高考立體幾何大題總匯(題目及)

1.（此題滿分15分）如圖，平面PAC⊥平面ABC，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形。E,F,O分別為PA,PB,PC的中點，AC16,PAPC10。（I）設(shè)C是OC的中點，證明： PC//平面BOE；（II）證明：在 ABO內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA,OB的距離。zyx2.如圖，在棱長為 1的正方體 ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m，（Ⅰ）試確立 m，使得直線 AP與平面BDB1D1所成角的正切值為 32；（Ⅱ）在線段A11上能否存在一個定點Q，使得對隨意的11上的射影垂Cm，DQ在平面APD直于AP，并證明你的結(jié)論。3..

如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC湊近B、C的三平分點，點G為BC邊的中點．線段AG交線段ED于F點，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連結(jié)AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。I）求證BC⊥平面AFG；II）求二面角B－AE－D的余弦值．DE4在以下圖的幾何體中， EA 平面ABC，DB 平A

CMB面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中點．（1）求證：CMEM；（2）求CM與平面CDE所成的角如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面相互垂直，BE∥CF，BCFCEF90o，AD3，EF2．D（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；AC（Ⅱ）當(dāng)AB的長為什么值時，二面角 A EF C的大小為60o BFE（第18題）26.如圖，在矩形 ABCD中，點 E，F(xiàn)分別在線段 AB，AD上，AE=EB=AF= FD 4.沿直線3EF將AEF翻折成A'EF,使平面A'EF平面BEF.（I）求二面角A'FDC的余弦值；（II）點M，N分別在線段 FD，BC上，若沿直線 MN將四邊形 MNCD向上翻折，使 C與A'重合，求線段 FM的長.7.如圖，在三棱錐 P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知 BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上能否存在點 M，使得二面角 A-MC-B為直二面角若存在，求出 AM的長；若不存在，請說明原因。8.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面是邊長為 2 3的菱形，BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=26,M，N分別為PB,PD的中點。1）證明：MN∥平面ABCD；2）過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。9.如圖，在四周體 A BCD中，AD 平面BCD，BC CD，AD 2，BD 2 2．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ 3QC．（Ⅰ）證明： PQ//平面BCD；（Ⅱ）若二面角 C BM D的大小為60，求 BDC的大小．10.如圖，在五面體ABCDEF中，已知DE平面ABCD，AD//BC，BAD60o，AB2，DEEF1．E1）求證：BC//EF；2）求三棱錐BDEF的體積．FDCA B（第16題圖）11.如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知CA CB 1，AA1 2， BCA 90o．（1）求異面直線BA1與CB1夾角的余弦值；C1B1（2）求二面角BABC平面角的余弦值．A11CBA（第22題圖）12(本小題14分)在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD160o，N是BCBC，ABC2的中點．將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)90o，獲得梯形ABCD（如圖）．（1）求證：AC平面ABC；C（2）求證：CN//平面ADD；（3）求二面角ACNC的余弦值．DDAB N C（此題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD13BCD2(I)求證：AD丄BF:P2(II)若線段EC上一點M在平面BDF上的射影恰巧是BF的中點N,試求二面角B-MF-C的余弦值.MDQCA B1.證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為 x軸，y軸，z軸，成立空間直角坐標(biāo)系 O xyz，則O0,0,0,A(0,8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,4,3),F4,0,3，由題意得，Guuuruuur(0,4,3)，所以平面BOE的法向z0,4,0,因OB(8,0,0),OEruuur(4,4,ruuur0，又直線FG不在量為n(0,3,4)，F(xiàn)G3得nFG平面BOE內(nèi)，所以有FG//平面BOEuuuury（II）設(shè)點M的坐標(biāo)為x0,y0,0，則FM(x04,y0,3)，由于FMuuuurr9x平面BOE，所以有FM//n，所以有x04,y0，即點4M的坐標(biāo)為4,9,0，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，AOB的內(nèi)部地區(qū)知足不等式組4x0y0，經(jīng)查驗，點M的坐標(biāo)知足上述不等式組，所以在ABO內(nèi)存在一點M，使xy8FM平面BOE，由點M的坐標(biāo)得點M到OA，OB的距離為4,9．42.解法１：（１）連AC,設(shè)ACIBDO,AP與面BDDB交于點G，連OG.1 1由于PC//面BDD1B1,面BDD1B1I面APC OG,故OG//PC。所以O(shè)G1PCm。22又AO DB,AO BB1,所以AO 面BDD1B1.故AGO即為AP與面BDD1B1所成的角。2在Rt△中，232，即1.AOGtanAGOmm312故當(dāng)與平面BDDB所成的角的正切值為３2。時，直線m3AP11（Ⅱ）依題意，要在A1C1上找一點Q，使得D1QAP.可推斷AC的中點O1即為所求的Q點。11由于D1O1A1C1.D1O1AA1，所以D1Q面ACC1A1.又AP面ACC1A1.,故D1O1AP。進(jìn)而D1O1在平面AD1P上的射影與AP垂直。解法二：（１）成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B(1,1,1),D1(0,0,1).1uuuruuuur所以BD(1,1,0),BB1(0,0,1),uuuruuur(1,1,0).AP(1,1,m),ACuuuruuuruuuruuuur知uuur又由的一個法向量.ACBD0,ACBB10AC1D1D設(shè)AP與面BDD1B1所成的角為，uuuruuur則sincos(|APAC|)uuuruuur2|AP||AC|

22 2 m2依題意有：232122m22)2，解得m.1(33故當(dāng)1與平面BDDB所成的角的正切值為３2。時，直線m3AP11（２）若在A1C1上存在這樣的點Q，設(shè)此點的橫坐標(biāo)為x，uuuur則Q(x,1 x,1),DQ (x,1 x,0)。1依題意，對隨意的 m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP。等價于uuuuruuuruuuur1D1QAPAPD1Q0x(1x)0x2即Q為A1C1的中點時，知足題設(shè)的要求.(Ⅰ)在圖甲中，由△ABC是等邊三角形，E，D分別為AB，AC的三平分點，點G為BC邊的中點，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DEx,y,zFxyzA(0,0,23)B(3,3,0)E(0,2,0)AB(3,3,23)BE(3,1,n(x,y,z)nAB03x3y23z01y3z1xnBE03xy0n(1,3,1)m(1,0,0)cosm,nmn5BAEDBAED5方5|m||n|5法一：1）證明：由于AC=BC，M是AB的中點，所以CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EM．2）解：過點M作MH⊥平面CDE，垂足是H，連結(jié)CH并延伸交 ED于點F，連結(jié)MF、MD，∠FCM是直線CM和平面CDE所成的角．由于MH⊥平面CDE，所以MH⊥ED，又由于CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED，則ED⊥平面CMF，所以ED⊥MF．設(shè)EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a，在直角梯形 ABDE中，AB＝2 2a，M是AB的中點，所以DE＝3a，EM＝3a，MD＝6a，得△EMD是直角三角形，此中∠EMD＝90°所以MF＝EMMD2．DEaMF在Rt△CMF中，tan∠FCM==1，所以∠FCM=45°，MC故CM與平面CDE所成的角是45°．方法二：如圖，以點C為坐標(biāo)原點，以CA，CB分別作為x軸和y軸，過點C作與平面ABC垂直的直線為z軸，成立直角坐標(biāo)系C-xyz，設(shè)EA=a，則A（2a，0，0），B（0，2a，0），C（2a，0，a），A（0，2a，2a），A（a，a，0）.uuur uur（1）證明：由于 EM=（-a，a，-a），CM=（a，a，0），uuur uur所以 EM·CM=0，故EMCM.2）解：設(shè)向量n=（1，yo，x0）與平面CDE垂直，uur uur則n CE，n CD，uur uur即n·CE=0，n·CD=0.uur uur由于CE=（2a,0,a）,CD=(0,2a,2a),所以y0=2，z0=-2，即n=（1，2，-2），uuruur2CMngcosn,CMur，Mgn2直線CM與平面CDE所稱的角是 45°.方法一：（Ⅰ）證明：過點E作EGCF交CF于G，連結(jié)DG，D可得四邊形BCGE為矩形，A又ABCD為矩形，C所以AD∥EG，進(jìn)而四邊形ADGE為平行四邊形，BG故AE∥DG．HEF由于AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：過點B作BHEF交FE的延伸線于H，連結(jié)AH．由平面ABCD平面BEFC，ABBC，得AB平面BEFC，進(jìn)而AHEF．所以AHB為二面角AEFC的平面角．在Rt△EFG中，由于EGAD3，EF2，所以CFE60o，F(xiàn)G．1又由于CEEF，所以CF4，z進(jìn)而BECG3．D于是BHBEgsinBEH33AC．2xB由于ABBHgtanAHB，F(xiàn)E所以當(dāng)AB為9時，二面角AEFC的大小為60o．y2方法二：如圖，以點 C為坐標(biāo)原點，以 CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，成立空間直角坐標(biāo)系 C xyz．設(shè)ABa，BEb，CFc，則C(0，0，0)，A( 3，0，a)，B( 3，0，0)，E( 3，b，0)，F(xiàn)(0，c，0)．uuuruuuruuur(0，b，0)，（Ⅰ）證明：AE(0，b，a)，CB(3，0，0)，BEuuuruuuruuuruuur0，進(jìn)而CBAE，CBBE，所以CBgCE0，CBgBE所以CB平面ABE．由于CB平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF．故AE∥平面DCF．uuur(3，cuuur(3，b，0)，（Ⅱ）解：由于EFb，0)，CEuuuruuur0uuur所以EFCE，|EF|2，進(jìn)而g3b(cb)0，3(cb)22，解得b 3，c 4．所以E( 3，3，0)，F(xiàn)(0，4，0)．設(shè)n(1，y，z)與平面AEF垂直，uuur0uuur0，則ngAE，ngEF解得n33(1，3，)．a(chǎn)又由于BAuuur(0，0，a)，平面BEFC，BAuuuruuur|BAgn|所以，uuur|cosnBA||BA|g|n|

33a1，a4a22729獲得a．2所以當(dāng)AB為9時，二面角AEFC的大小為60o．2方法一：（Ⅰ）解：取線段EF的中點H，連結(jié)AH由于AEAF及H是EF的中點，所以AHEF又由于平面AEF平面BEF，及AH平面AEF.所以AH平面BEF。如圖成立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(2,2,22),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).uuuruuur故FN(2,2,22),FD(6,0,0)r(x,y,z)為平面AFD的一個法向量設(shè)n所以2x2y22z006x取zr(0,2,2)2,則nur(0,0,1)又平面BEF的一個法向量mrurrur3故cosnmn,mrur3|n||m|所以二面角的余弦值為3.3（Ⅱ）解：設(shè)FMx￡?則M(4x,0,0)由于翻折后，C與A重合，所以CM=AM故(6x)28202(2x)222(22)2，得x214經(jīng)查驗，此時點N在線段BG上所以FM21.4方法二：（Ⅰ）解：取截段EF的中點H，AF的中點G，連結(jié)AG，NH，GH由于AEAF及H是EF的中點，所以AHAAAFAHAFAFAFAAGHARtAGHAH22,GH2,AG23cosAGH3.A3FMxACMAM33CM2DC2DM282(6x)2AM2AH2MH2AH2MG2GH2(22)2(x2)222x214FM21.解：（Ⅰ）證：Q＝，為BC的中點，⊥AD4ABACDBCQPO⊥平面ABCPO⊥BC，而PO∩AD=OBC⊥平面ADPAP⊥BC（Ⅱ）當(dāng)CM⊥AP時，二面角A-MC-B為直二面角，OBOC25，PBPC6，ABAC41，AP5PABPACAMCAMBAMMBAM⊥平面MBC平面AMC⊥平面MBCcosPAB2541363AMcosPABAB341325414141方法二：（Ⅰ）由于M，N分別是PB，PD的中點，所以MN是PBD的中位線，所以//BD又由于MN 平面ABCD，所以MM//平面ABCD．（Ⅱ）方法一：連結(jié)AC交BD于O，以O(shè)為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，成立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz，以下圖在菱形ABCD中， BAD 120，得AC AB 23，BD 3AB 6．又由于PA 平面ABCD，所以PA AC．在直角 PAC中，AC 2 3，PA 26，AQ PC，得QC 2，PQ 4．由此知各點坐標(biāo)以下，A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(3,0,0)，D(0,3,0)，P(3,0,26)，M(33,,6)，22N(3,3,6)，Q(3,0,26)．2233設(shè)m(x,y,z)為平面AMN的法向量．uuuur3,uuur3,3,6)知由AM(3,6)，AN(22223x3y6z0223y6z02取x1，得m(22,0,1)設(shè)n(x,y,z)為平面QMN的法向量．uuuur53,3,uuur53,3,6)知由QM(6)，QN(62362353x3606yz2353x3y6z0623取z5，得n (2 2,0,5)于是cosm,nmn33．|m||n|33所以二面角AMNQ的平面角的余弦值為33．33方法二：在菱形ABCD中，BAD120，得ACABBCDA，BD3AB，有由于PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD，所以PBPCPD．所以PBCPDC．而M，N分別是PB，PD的中點，所以MQNQ，且AM1PB1PDAN．22取線段MN的中點E，連結(jié)AE，EQ，則AEMN，QEMN，所以AEQ為二面角AMNQ的平面角．由AB23，PA26，故在AMN中，AMAN3，MN1BD3，得2AE33．2在直角PAC中，AQPC，得AQ22，QG2，PQ4，在PBC中，cosBPCPB2PC2BC25，得2PBPC6MQPM2PQ22PMPQcosBPC5．在等腰MQN中，MQNQ5，MN3，得QEMQ2ME211．2在AEQ中，AE33，QE1122，得22，AQcosAE2QE2AQ233．AEQ2AEQE33所以二面角 A MN Q的平面角的余弦值為 33．339.方法一：（Ⅰ）取BD中點O，在線段CD上取點F，使得DF3FC，連結(jié)OP，OF，F(xiàn)Q由于AQ3QC，所以QF//AD，且QF1AD．4由于O，P分別為BD，SM的中點，所以O(shè)P是BDM的中位線，所以O(shè)P//DM，且OP1DM．21AD．又點M是AD的中點，所以O(shè)P//AD，且OP4進(jìn)而OP//FQ，且OPFQ．所以四邊形OPQF為平行四邊形，故FQ//QF又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以PQ//平面BCD．（Ⅱ）作CGBD于點G，作GHBM于點H，連結(jié)CH由于AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG，又CGBD，ADBDD，故CG平面ABD，又BM平面ABD，所以CGBM．又GHBM，CGGHG，故BM平面CGH，所以GHBM，CHBM．所以CHG為二面角CBMD的平面角，即CHG60．設(shè)BDC．在RtBCD中，CDBDcos22cos，CGCDcos22cossin，BGBCsin22sin2．在RtBDM中，HGBGDM23sin2BM3．在RtCHG中，tanCHGCG3cos3．HGsin所以tan3．進(jìn)而60，即BDC60．方法二：（Ⅰ）如圖，取BD中點O，以O(shè)為原點，OD，OP所在射線為y，z軸的正半軸，成立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．由題意知A(0，2，2)，B(0，2，0)，D(0，2，0)．設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0，y0，0)uuuruuur323y01，由于AQ3QC，所以Q(x0，4，)．4421由于M是AD的中點，故M(0，2，1)．又P是BM的中點，故P(0，0，)．2uuur3x0，23，．所以PQ(4y00)44ruuurr0．又平面BCD的一個法向量為a，，，故PQa(001)又PQ平面BCD，所以PQ//平面BCD．ur(x，y，z)為平面BMC的一個法向量．（Ⅱ）設(shè)muuuur，，uuuur(0，22，1)由CM(x02y0，BM知1)x0x(2y0)yz022yz0，取y1，得ury02，，2)．m(x012又平面BDM的一個法向量為r(1，0，0)，于是nurrurry02x01|mn||cos<m，n>|=urr2，|m||n|y0229x0y022即3．（1）x0BCCDuuuruuur又，所以CBCD0，故(x0，2y0，0)(x0，2y0，0)0，即x02y022．（2）x00x06212y02y022tanBDCx032y0BDCBDC60E101AD//BCADADEFBCADEFBC//ADEF3FBCBCEFBCEFIADEFEFBC//EF6D2ABCDBHADHCDEABCDBHABCDDEBHHADDEADEFADIDEDBHADEFABBHBDEF9（第16題圖）ABHBAD60oAB2BH3DEABCDADABCDDEAD1BC//EFAD//BCAD//EFDEEF12BDEFV1SDEFBH11113314uuuruuuruuuur3326CA,CB,CC1CxyzA(1,0,0)B(0,1,0)A1(1,0,2)B1uuuruuur(1,1,0)(0,1,2)CB1(0,1,2)ABuuuuruuurzAB1(1,1,2)BA1(1,1,2)C1uuuruuurBuuuruuurCB1BA133011cosCB,BAuuuruuurA16510CB1BA1BA1CB13010C4By2CABm(x,y,z)Auuuurxm0,xy2z0,（第22題圖）AB1uuury2z0,mCB10,CAB1m(0,2,1)BAB1C1010512.1AD1BCNBC2AD NC AD//BCANCD AN DC ABC 60oABBNADANCDACB130oDCB2zBAC90oACABCCBAABCCBAIABCABDDACABC4A2AD//BCAD//BCBNCADIADA,BCIBCxyBADD// BCCCN BCC, CN// ADD 83ACABC,ACABCAB