專(zhuān)題05函數(shù)基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用（單調(diào)性與奇偶性）（重難點(diǎn)突破）原卷版

專(zhuān)題05函數(shù)基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用（單調(diào)性與奇偶性）1、函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足條件（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得（3）對(duì)于任意的，都有；（4）存在，使得結(jié)論為最大值為最小值注意：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；（2）若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開(kāi)區(qū)間，則函數(shù)無(wú)最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.3、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論（1）若均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；（2）若，則與的單調(diào)性相同；若，則與的單調(diào)性相反；（3）函數(shù)在公共定義域內(nèi)與，的單調(diào)性相反；（4）函數(shù)在公共定義域內(nèi)與的單調(diào)性相同；（5）奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反；（6）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：①的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；②（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．4、函數(shù)的奇偶性（1）．函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）．（2）．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反．（2），在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則．（4）若函數(shù)是偶函數(shù)，則．（5）定義在上的任意函數(shù)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和．（6）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．（7）掌握一些重要類(lèi)型的奇偶函數(shù)：①函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)．②函數(shù)（且）為奇函數(shù)．③函數(shù)（且）為奇函數(shù)．④函數(shù)（且）為奇函數(shù)．重難點(diǎn)突破1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1.（單調(diào)性不能混合乘除）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；②增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；③如果是增函數(shù)，那么是減函數(shù)，也是減函數(shù)。2．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）定義法，步驟為：取值，作差，變形，定號(hào)，判斷．利用此方法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給抽象關(guān)系式的特點(diǎn)，對(duì)或進(jìn)行適當(dāng)變形，進(jìn)而比較出與的大?。?）利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系，若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)“同增異減”．（3）圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，則單調(diào)遞增；圖象逐漸下降，則單調(diào)遞減．（4）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.3．在利用函數(shù)的單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是函數(shù)定義域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先確定函數(shù)的定義域；其次需掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．例1、（2022秋·天津北辰·高一校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．1、（2022秋·陜西商洛·高一?？计谥校ǘ噙x題）下列函數(shù)在上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例2、（2023春·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．1．（2023春·天津北辰·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．

例3、（2023秋·河南南陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（2022秋·福建福州·高一?？计谥校┮阎巧系脑龊瘮?shù)，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．例4、（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.1．（2022秋·天津?yàn)I海新·高一校考期中）已知函數(shù)，(1)求該函數(shù)的定義域；(2)證明該函數(shù)在上單調(diào)遞減；(3)求該函數(shù)在上的最大值和最小值；(4)判斷函數(shù)的奇偶性并說(shuō)明理由.

重難點(diǎn)突破2單調(diào)性的應(yīng)用例5．（1）、（2023春·青海西寧·高二校考期末）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）、（2021·四川自貢·高一期中）若是定義在上的減函數(shù)，且．則的取值區(qū)間為_(kāi)______1、（2022·江蘇·高一）已知是定義在上的增函數(shù)，且，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽安慶·高一安慶市第七中學(xué)?？计谥校┤粼趨^(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

重難點(diǎn)突破3判斷或證明函數(shù)的奇偶性1.（奇偶性不能混合加減）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性①奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；②奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；2.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法及思路：（1）定義法：（2）圖象法：（3）性質(zhì)法：利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的奇偶性來(lái)判斷.注意：①分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x的范圍相應(yīng)地化簡(jiǎn)解析式，判斷與的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷．②性質(zhì)法中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的．③性質(zhì)法在選擇題和填空題中可直接運(yùn)用，但在解答題中應(yīng)給出性質(zhì)推導(dǎo)的過(guò)程.例6．（1）、（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．且

（2）、（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選題）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．1．（2023春·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）（多選題）已知函數(shù)，函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)2．（2022春·天津·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為（

）A． B．C． D．例7、（2022秋·安徽安慶·高一安慶市第七中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；(2)解不等式.

1．（2022秋·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求在上的解析式；(2)判斷在的單調(diào)性，并給出證明．(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

重難點(diǎn)突破4奇偶性的應(yīng)用例8．（1）、（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若偶函數(shù)在上為增函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）、（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，那么不等式的解集是_______.1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減2．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高二階段練習(xí)）若定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍為_(kāi)__________.

重難點(diǎn)5單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例9．（2022秋·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，判斷的奇偶性并加以證明.(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（文））設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

2．（2022秋·甘肅臨夏·高一?？计谥校┡袛嗪瘮?shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.重難點(diǎn)5抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性例10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)于任意，總有，且時(shí)，.(1)求證：在上是奇函數(shù)；(2)求證：在上是減函數(shù)；(3)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值.

1．（2023·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)任意的m，，，都有．(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

1．（2022秋·北京順義·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·福建莆田·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則=（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川綿陽(yáng)·高一三臺(tái)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，若，則（

）.A． B．1 C．0 5．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B．C． D．6．（2023春·浙江金華·高一浙江省東陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．是圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸D．在上單調(diào)遞增7．（