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第三節(jié)3、球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算第六章2、柱面坐標(biāo)系下1、直角坐標(biāo)系下11.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:

2方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作3方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作4投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:5當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí),因?yàn)榫鶠闉榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.6小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.7其中

為三個(gè)坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面8例2.計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”92.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面10如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.11其中

為例3.計(jì)算三重積分所解:在柱面坐標(biāo)系下及平面由柱面圍成半圓柱體.12例4.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=133.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面14如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量

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