高三數(shù)學(xué)專題講座之十一課件

高三數(shù)學(xué)專題講座之十一概率

南京市金陵中學(xué)宋輝高三數(shù)學(xué)專題講座之十一概率南京市金陵中學(xué)宋輝1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)事件的概率互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率等可能性事件的概率相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率概率n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰發(fā)生k次的概率知識(shí)網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)事件的概率互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率等可能性事件的22．了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能事件的概率。3．了解互斥事件與相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率。4．會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率。1．了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義。高考要求2．了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算3一、求等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件概率的問題解：這是一個(gè)等可能性事件．9個(gè)數(shù)平均分成三組，基本事件的總數(shù)為．設(shè)每組的三個(gè)數(shù)都成等差數(shù)列為事件Ａ，則事件Ａ包含的基本事件是

1．(2005江西卷理第12題)將1，2，…，9這9個(gè)數(shù)平均分成三組，則每組的三個(gè)數(shù)都成等差數(shù)列的概率為()A． B．C． D．①1，2，3；4，5，6；7，8，9；②1，2，3；4，6，8；5，7，9；③1，3，5；2，4，6；7，8，9；④1，4，7；2，5，8；3，6，9；⑤1，5，9；2，3，4；6，7，8．故事件Ａ包含的基本事件個(gè)數(shù)為5，Ａ一、求等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件概率的問題解：這是一4解：設(shè)“6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3”的事件為Ａ，則基本事件的總數(shù)為46，事件Ａ包含的基本事件的個(gè)數(shù)是．2.(2005重慶卷理第15題)某輕軌列車有4節(jié)車廂，現(xiàn)有6位乘客準(zhǔn)備乘坐,設(shè)每一位乘客進(jìn)入每節(jié)車廂是等可能的，則這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的概率為

．所以解：設(shè)“6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3”的53.（2005廣東卷第8題)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則log2xy＝1的概率為()CＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.（2005廣東卷第8題)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它64.(2005湖北卷理第12題)以平行六面體ABCD－A'B'C'D'的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率()AA． B． C． D．解:設(shè)“隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面”為事件A．以平行六面體的三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有個(gè)，故基本事件總數(shù)為，平行六面體有6個(gè)表面，6個(gè)對(duì)角面，而每個(gè)四邊形中的四個(gè)三角形中每取出兩個(gè)三角形一定是共面的，共有個(gè)，所以事件A所包含的基本事件有個(gè)，故4.(2005湖北卷理第12題)以平行六面體ABCD－A'B75．(2005天津卷文第16題)在三角形的每條邊上各取三個(gè)分點(diǎn)(如圖)，以這9個(gè)分點(diǎn)為頂點(diǎn)可畫出若干個(gè)三角形,若從中任意抽取一個(gè)三角形，則其三個(gè)頂點(diǎn)分別落在原三角形的三條不同邊上的概率為

_____(用數(shù)字作答)解:設(shè)任取一個(gè)三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)分別落在原三角形的三條不同邊上的事件為A，則基本事件的總數(shù)為個(gè)，事件A所包含的基本事件27個(gè)．所以5．(2005天津卷文第16題)在三角形的每條邊上各取三86.（2005重慶卷文第15題）若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為______．解法1:設(shè)從10把鑰匙中任取2把能將該鎖打開的事件為A，該事件等價(jià)于任取2把鑰匙中至少有一把能將鎖打開，所以解法2:設(shè)從10把鑰匙中任取2把能將該鎖打開的事件為A，該事件的對(duì)立事件是任取2把鑰匙中沒有一把能將鎖打開，所以6.（2005重慶卷文第15題）若10把鑰匙中只有2把能打開9問題1．(2005江蘇卷第20題)甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響．(1)求甲射擊4次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率;(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則停止射擊.問:乙恰好射擊5次后,被中止射擊的概率是多少?解:(1)設(shè)“甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，則其對(duì)立事件為“4次均擊中目標(biāo)”，故概率為問題1．(2005江蘇卷第20題)甲、乙兩人各射擊一次，擊10由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，所以所求概率為(2)則設(shè)“甲射擊4次恰好擊中目標(biāo)2次”為事件A2，乙射擊4次恰好擊中目標(biāo)3次”為事件B2，則（3）設(shè)“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于乙恰好射擊5次后被中止射擊，故必然是最后兩次未擊中目標(biāo)，第三次擊中目標(biāo)，第一次及第二次至多有一次未擊中目標(biāo)．故由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，所以所求概率為(2)則設(shè)“甲射擊4次11答(1)甲射擊4次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率為(2)兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為(3)乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率為答(1)甲射擊4次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率為(3)乙恰好12問題2.(05湖南卷文第20題)某單位組織4個(gè)部門的職工旅游，規(guī)定每個(gè)部門只能在韶山、衡山、張家界3個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)，假設(shè)各部門選擇每個(gè)景區(qū)是等可能的.(1)求3個(gè)景區(qū)都有部門選擇的概率；(2)求恰有2個(gè)景區(qū)有部門選擇的概率.解:（I）某單位的4個(gè)部門選擇3個(gè)景區(qū)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為34.由于是任意選擇，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.所以是等可能發(fā)生事件，記“3個(gè)景區(qū)都有部門選擇”為事件A1，那么事件A1所包含的基本事件的個(gè)數(shù)為故所求的概率為問題2.(05湖南卷文第20題)某單位組織4個(gè)部門的職工旅13(2)解法1:分別記“恰有2個(gè)景區(qū)有部門選擇”和“4個(gè)部門都選擇同一個(gè)景區(qū)”事件為A2和A3，則事件A3的概為事件A2的概率為解法2:由于每個(gè)部門選擇景區(qū)都是等可能的，設(shè)“恰有2個(gè)景區(qū)有部門選擇”為事件B，則基本事件的總數(shù)為34種，事件B所包含的基本事件的個(gè)數(shù)是所以答:(1)3個(gè)景區(qū)都有部門選擇的概率為(2)恰有2個(gè)景區(qū)有部門選擇的概率為(2)解法1:分別記“恰有2個(gè)景區(qū)有部門選擇”和“4個(gè)部門都14問題3．(2005湖北卷文第21題)某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈使用燈泡一只，且型號(hào)相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2.從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換.（Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（Ⅱ）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（Ⅲ）當(dāng)p1＝0.8，p2＝0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）.問題3．(2005湖北卷文第21題)某會(huì)議室用5盞燈照明，15(II)對(duì)該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為(1－P1)2；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為P1(1－P2)，故所求的概率為P＝(1－P1)2＋P1(1－P2)．(III)至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為P5（其中P為（II）中所求，下同）換4只的概率為故至少換4只燈泡的概率為又當(dāng)P1＝0.8，P2＝0.3時(shí)，P＝(0.2)2＋0.8×0.7＝0.6，得P3＝(0.6)5＋5×(0.6)4×0.4＝0.34解:（I）在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為

需要更換2只燈泡的概率為答：滿2年至少需要換4只燈泡的概率為0.34．(II)對(duì)該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為(1－16問題4．三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和三解：(1)記三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作分別為事件A1，A2，A3，則(Ⅱ)三個(gè)元件連成怎樣的電路，才能使電路通的概率最大？請(qǐng)畫出此時(shí)電路圖，并說明理由.T2T3T1個(gè)元件串聯(lián)接入電路．(Ⅰ)在如圖的電路中，電路通的概率是多少？(1)電路通的概率為問題4．三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為17(2)如圖，此時(shí)電路通的概率最大.證明如下：圖1中電路通的概率為T1T2T3圖1T1T2T3圖2圖2不發(fā)生故障的概率為所以P3=P2＞P1．(2)如圖，此時(shí)電路通的概率最大.證明如下：圖1中電路通18甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的．（1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；（2）求取球2次終止的概率；（3）求甲取到白球的概率．問題5（2005山東卷文第18題)袋中裝有紅球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1個(gè)球，解:(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題知故n(n－1)＝6，解得n＝－2(舍)，n＝3，答：袋中原有3個(gè)白球．甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到19（2）記“取球2次終止”的事件為A.

(3)因?yàn)榧紫热?所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，記“甲取到白球”的事件為B，“第一次取出的球是白球”的事件為A1，“第三次取出的球是白球”的事件為A3，“第五次取出的球是白球”的事件為A5，所以因事件A1

，A3，A5是兩兩互斥的事件，所以（2）記“取球2次終止”的事件為A.(3)因?yàn)榧紫热?所以甲20問題6美國籃球職業(yè)聯(lián)賽(NBA)某賽季的總決賽在馬刺隊(duì)與活塞隊(duì)之間進(jìn)行，采用七局四勝制，即若有一隊(duì)勝4場(chǎng)，則此隊(duì)獲勝且比賽結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力非常接近，在每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)獲勝是等可能的．據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，每場(chǎng)比賽組織者可獲門票收入300萬美元，問兩隊(duì)決出勝負(fù)后，(1)組織者在此次決賽中獲門票收入為1200萬美元的概率是多少？(2)組織者在此次決賽中獲門票收入不低于1800萬美元的概率是多少？(3)求活塞隊(duì)在2︰0的領(lǐng)先情況下，總冠軍被馬刺隊(duì)獲得的概率．問題6美國籃球職業(yè)聯(lián)賽(NB21解：(1)設(shè)事件A為“決賽中獲門票收入為1200萬美元”，則該事件等價(jià)于某隊(duì)以4︰0結(jié)束比賽，所以

(2)設(shè)事件B為“決賽中獲門票收入不低于1800萬美元”，則該事件等價(jià)于兩隊(duì)要進(jìn)行6場(chǎng)或7場(chǎng)比賽才能分出勝負(fù)，當(dāng)進(jìn)行6場(chǎng)比賽時(shí)又等價(jià)于，前5場(chǎng)比賽中某勝3場(chǎng)負(fù)2場(chǎng)，當(dāng)進(jìn)行7場(chǎng)比賽時(shí)又等價(jià)于前6場(chǎng)比賽中某隊(duì)勝3場(chǎng)負(fù)3場(chǎng)，故概率為(3)設(shè)活塞隊(duì)在2︰0的領(lǐng)先情況下，總冠軍被馬刺隊(duì)獲得的事件為C,則事件C等價(jià)于馬刺隊(duì)以4︰2獲勝或以4︰3獲勝，此時(shí)概率解：(1)設(shè)事件A為“決賽中獲門票收入為1200萬美元”，則22二、與其它知識(shí)有關(guān)人概率問題里取出(不受重量、號(hào)碼的影響).(1)若任意取出1球，試求其質(zhì)量大于號(hào)碼數(shù)的概率；(2)若任意取出2球，試求它們質(zhì)量相等的概率．問題7口袋內(nèi)裝有35個(gè)球，每個(gè)球都標(biāo)有從1～35的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為n的球的質(zhì)量為克，這些球等可能地北從袋解：(1)由不等式解得n＞15或n＜3.由題意，知n＝1，2或n=16，17，…，34，35.

二、與其它知識(shí)有關(guān)人概率問題里取出(不受重量、號(hào)碼的影響).23設(shè)任意取出1球，其重量大于號(hào)碼數(shù)的事件為A，則(2)設(shè)第n號(hào)與第m號(hào)的兩個(gè)球質(zhì)量相等，則有所以(n－m)(n＋m－15)＝0．因?yàn)閚≠m，所以n＋m＝15．

設(shè)“取出任意兩個(gè)球質(zhì)量相等”為事件B，則答:任意取出1球，其質(zhì)量大于號(hào)碼數(shù)的概率為取出任意兩球的重量相等的概率為設(shè)任意取出1球，其重量大于號(hào)碼數(shù)的事件為A，則(2)設(shè)第24問題8玩一種擲硬幣走跳棋的游戲．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次.若擲出正面，棋子向前跳動(dòng)一站；若擲出反面，則棋子向前跳動(dòng)兩站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束，設(shè)棋子跳到第n站概率為Pn．⑴求P0，P1，P2；⑵求證：⑶求P99及P100．問題8玩一種擲硬幣走跳棋的游戲．已知硬幣出現(xiàn)正、反25解：⑴⑵棋子跳到第n站(2≤n≤99)的情況有兩種：第一種，棋子在第n－2站，硬幣擲出反面，棋子跳到第n站的概率為第二種，棋子在第n－1站，硬幣擲出正面，棋子跳到第n站的概率為根據(jù)互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率計(jì)算公式，得所以解：⑴⑵棋子跳到第n站(2≤n≤99)的情況有兩種：第一26

⑶由⑵知數(shù)列{Pn＋1－Pn}是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.該數(shù)列的前99項(xiàng)和，而因此相加得所以答:游戲結(jié)束，棋子跳到第99站的概率棋子跳到第100站的概率為⑶由⑵知數(shù)列{Pn＋1－Pn}是首項(xiàng)為而27

問題9某產(chǎn)品檢驗(yàn)員檢查每一件產(chǎn)品時(shí)，將正品鑒定為次品概率為0.1，將次品鑒定為正品的概率為0.2．求這位檢驗(yàn)員將3件正品、1件次品鑒定成正品、次品各2件的概率．解：將3件正品、1件次品鑒定為正品、次品各2件有兩種可能：(1o)將原1件次品仍鑒定為次品，原3件正品中有1件鑒定為次品，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件概率的計(jì)算公式，得0.8×C×0.1×0.92＝0.1944．(2o)將原1件次品鑒定為正品，再將3件正品中的2件鑒定為次品，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件概率的計(jì)算公式，得0.2×C×0.12×0.9＝0.0054．由于上述兩個(gè)事件是互斥的，故所求的概率為

P＝0.1944＋0.0054＝0.1998．答：所求的概率為0.1998．問題9某產(chǎn)品檢驗(yàn)員檢查每一件產(chǎn)品時(shí)，將正品鑒定為次品28

問題10有外形相同的球分裝在三個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子10個(gè)球，其中第一個(gè)盒子中7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè)，試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一球，如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功．求試驗(yàn)成功的概率．問題10有外形相同的球分裝在三個(gè)不同的盒子中，每個(gè)29

解：設(shè)A＝{從第一個(gè)盒子中取得一個(gè)標(biāo)有字母A的球}，B＝{從第一個(gè)盒子中取得一個(gè)標(biāo)有字母B的球}，則事件A，B互斥，且P(A)＝，P(B)＝；設(shè)C＝{從第二號(hào)盒子中取一個(gè)紅球}，D＝{從第三號(hào)盒子中取一個(gè)紅球}，則事件C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝＝．顯然，事件A·C與事件B·D互斥，且事件A與C是相互獨(dú)立的，B與D也是相互獨(dú)立的，所以試驗(yàn)成功的概率為P(A·C＋B·D)＝P(A·C)＋P(B·D)＝P(A)·P(C)＋P(B)·P(D)＝．答