2024屆開學摸底考試（解析版）

2024屆高三開學摸底卷時間：120分鐘總分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解一元二次不等式求得集合，由此判斷出正確選項.【詳解】由解得，故，由于，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含關系，考查集合的運算，屬于基礎題.2．已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出，再由共軛復數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因為，所以，即．故選：A．3．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)型復合函數(shù)單調性判斷方法，結合條件列式計算作答.【詳解】函數(shù)可看作函數(shù)，的復合函數(shù)，又函數(shù)在上單調遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則有函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，且在區(qū)間恒成立，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D.5．從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結合二倍角公式即可求解.【詳解】由得，所以圓心為，半徑為，設切點分別為,連接,則為兩切線的夾角，由于,所以,由二倍角公式可得，故選:B

6．若數(shù)列滿足（為常數(shù)，，），則稱為“等方比數(shù)列”．甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）．A．甲是乙的充分非必要條件 B．甲是乙的必要非充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既非充分也非必要條件【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質以及正負進行判斷即可.【詳解】若為等比數(shù)列，設其公比為，則，為常數(shù)，所以成等比數(shù)列，即是等方比數(shù)列，故必要性滿足.若是等方比數(shù)列，即成等比數(shù)列，則不一定為等比數(shù)列，例如，有，滿足是等方比數(shù)列，但不是等比數(shù)列，充分性不滿足.故選：B7．設橢圓的左、右頂點為、，左、右焦點為、，上、下頂點為、，關于該橢圓，有下列四個命題：甲：；乙：離心率為；丙：；?。核倪呅蔚拿娣e為.如果只有一個假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】對甲、乙、丙、丁四個命題分別為假命題進行分類討論，根據(jù)已知條件得出關于、、的方程組，判斷方程組是否有解，即可得出結論.【詳解】若命題甲為假命題，則，該方程組無解，故命題甲不為假命題；若命題乙為假命題，則，該方程組無解，故命題乙不是假命題；若命題丙是假命題，則，解得，此時，合乎題意；若命題丙為假命題，則，該方程組無解，故命題丙不為假命題.故選：C.8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)的符號確定角、、的范圍，再利用兩角差的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關系的商數(shù)關系得到關于和的方程組，再利用兩角和的正弦公式求出，進而結合角的范圍進行求解.【詳解】因為，，所以或；若，則，此時（舍）；若，則，此時（符合題意），所以，即；因為且，所以且，解得，，則，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差【答案】BD【分析】根據(jù)題意結合平均數(shù)、中位數(shù)、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：設的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因為沒有確定的大小關系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標準差不大于的標準差，例如：，則平均數(shù)，標準差，，則平均數(shù)，標準差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD.10．地震震級根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定，一般采用里氏震級標準．里氏震級的計算公式為（其中常數(shù)是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅，是指我們關注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（單位：焦耳）是指當?shù)卣鸢l(fā)生時，以地震波的形式放出的能量．已知，其中為地震震級．下列說法正確的是（

）．A．若地震震級增加1級，則最大振幅增加到原來的10倍B．若地震震級增加1級，則放出的能量增加到原來的10倍C．若最大振幅增加到原來的10倍，則放出的能量也增加到原來的倍D．若最大振幅增加到原來的10倍，則放出的能量增加到原來的1000倍【答案】AC【分析】本題首先要讀懂公式，然后根據(jù)題意合理代入數(shù)據(jù)進行對數(shù)運算對選項進行一一檢驗即可得到答案.【詳解】因為，所以，故A正確；因為，所以B錯誤；因為，所以，所以C正確，D錯誤.故選：AC.11．已知連續(xù)函數(shù)的定義域為R，且滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，當時，，則（

）A．為偶函數(shù) B．C．為極大值點 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)是以項為周期的周期函數(shù)，且關于中心對稱和對稱，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，可得函數(shù)關于中心對稱，即，又由為偶函數(shù)，可得關于對稱，即，所以A不正確；因為且，令，可得，所以B正確；由時，，可得函數(shù)單調遞增，因為關于對稱，可得函數(shù)在單調遞減，所以為的極大值點，所以C正確；由函數(shù)關于中心對稱，可得，所以，因為且，可得，所以，所以函數(shù)是以項為周期的周期函數(shù)，可得，所以，所以，所以D正確.故選：BCD.12．下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（

）A．體積為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，側面積為的圓錐體【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結合正方體的性質逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：由球體的體積公式得，所以球的半徑，即球體的直徑等于正方體的棱長，所以恰好能夠被整體放入正方體內，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；對于選項D：由于圓錐的底面直徑為，側面積為，所以由圓錐的側面積公式得，得母線長，所以高為，即圓錐的底面直徑和高都等于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．某校高一開設4門選修課，有4名同學選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學選修，則不同的選課方案有（

）A．96種 B．84種 C．78種 D．16種【答案】B【詳解】先確定選的兩門:,再確定學生選:,所以不同的選課方案有選B.14．已知正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為的球面上，上、下底面正方形的外接圓半徑分別為和，則此正四棱臺的體積為.【答案】【分析】分析可知，正四棱臺的外接球球心在等腰梯形所在平面內，作出梯形及其外接圓，求出梯形的高以及正四棱臺的上、下底面面積，利用臺體的體積公式可求得結果.【詳解】在正四棱臺中，由正四棱臺的幾何性質可知，該四棱臺的外接球球心在等腰梯形所在平面內，由題設，設，，設球心為，如下圖所示：連接、，因為，則為等腰梯形的外接圓的一條直徑，且點為的中點，由題意可得，所以，為等邊三角形，所以，正四棱臺的高為，正方形的邊長為，其面積為，正方形的邊長為，其面積為，因此，正四棱臺.故答案為：.15．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且只有3個零點，則的取值范圍是.【答案】【分析】首先根據(jù)圖像平移得的解析式，然后將與代入得的解析式，通過恒等變換化簡整理得，最后根據(jù)已知條件在存在三個零點得到滿足的條件，解不等式組即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由已知得，，令，則，所以在上有且只有三個根，分別為，，，接下來第四個根為所以，解得，所以的取值范圍是，故答案為：16．已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股定理與余弦定理得到關于的齊次方程，從而得解.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知中，．（Ⅰ）求證：是鈍角；（Ⅱ）若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④．請指出這三個條件，說明理由，并求出的值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）只有滿足①②③時．【解析】（Ⅰ）在三角形中由正弦定理可得不等式的變形，可證得為鈍角；（Ⅱ）任意選3個條件討論，由正弦定理及為鈍角的條件可得再由滿足①②③的情況符合條件，再由余弦定理求出邊．【詳解】解：（Ⅰ）因為，由正弦定理可得，在三角形中，，且，所以不等式整理為，即，在三角形中可得，所以，所以得證為鈍角；（Ⅱ）若滿足①②③，則正弦定理可得，即，所以，又，所以，在三角形中，，所以或，而由（Ⅰ）可得所以可得，，所以若滿足①②④，由（Ⅰ）為鈍角，，為銳角，及，可得，，所以不符合為鈍角，故這種情況不成立；若滿足②③④，由為鈍角，，所以，而，所以，這時，不符合為鈍角的情況，所以這種情況不成立；綜上所述：只有滿足①②③時．【點評】本題考查正弦定理及余弦定理的應用，兩角和的正弦公式的展開式，屬于中檔題．18．已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．【分析】（1）求出導函數(shù)，討論、或，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系即可求解.（2）分離參數(shù)不等式等價于在恒成立，設，利用導數(shù)求出的最小值即可求解.【詳解】解：（1），由得：或．①當，即，恒成立，在上單調增；②當，即，則和時，時．故在區(qū)間和上單調增，在區(qū)間上單調減；③當，即，則和時，時．故在區(qū)間和上單調增，在區(qū)間上單調減；（2）恒成立，即在恒成立，∴在恒成立，設，則令，則，，因此在單調遞減，又，使即當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，又由式得，，因此即的取值范圍為．19．如圖，直三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，為棱上一點，平面.(1)求證：為中點；(2)若二面角的大小為，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連，使，連，進而根據(jù)線面平行的性質定理得，進而根據(jù)為中點證明結論；（2）設，以為坐標原點建立空間直角坐標系，進而根據(jù)二面角的大小求解即可.【詳解】（1）證明：如圖，連，使，連，由條件得為中點.平面，平面平面，又為中點，為中點.（2）解：設，以為坐標原點如圖建系，則.設平面的法向量，則故可?。辉O平面的法向量，則，故可取；因為二面角的大小為，所以，即：，解得，經(jīng)檢驗符合題意..20．設等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質知，，即，，即，解得或（舍去）當時，，解得，與矛盾，無解；當時，，解得.綜上，.21．甲?乙兩人進行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負的一方，需將自己的一枚籌碼給對方；若平局，雙方的籌碼不動，當一方無籌碼時，比賽結束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結果可知，在一局中甲勝的概率為0.3?乙勝的概率為0.2.(1)第一局比賽后，甲的籌碼個數(shù)記為，求的分布列和期望；(2)求四局比賽后，比賽結束的概率；(3)若表示“在甲所得籌碼為枚時，最終甲獲勝的概率”，則.證明：為等比數(shù)列.【答案】(1)分布列見解析，.(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出的所有可能取值以及取值的概率，可得分布列，由期望公式可求出期望；（2）根據(jù)互斥事件的加法公式和獨立事件的乘法公式可得結果；（3）根據(jù)全概率公式和等比數(shù)列的定義可證.【詳解】（1）的所有可能取值為，，，，則的分布列為：2340.20.50.3.（2）當四局比賽后，比賽結束且甲勝時，第四局比賽甲勝，前三局比賽甲2勝1和，其概率為：.當四局比賽后，比賽結束且乙勝時，第四局比賽乙勝，前三局比賽乙2勝1和，其概率為：，所以四局比賽后，比賽結束的概率為.（3）因為表示“在甲所得籌碼為枚時，最終甲獲勝的概率”，，在甲所得籌碼為枚時，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為，在甲所得籌碼為枚時，下局平局且最終甲獲勝的概率為，在甲所得籌碼為枚時，下局乙勝且最終甲獲勝的概率為，根據(jù)全概率公式得，所以，變形得，因為，所以，同理可得，所以為等比數(shù)列.【點睛】關鍵點點睛：第（3）問中，正確理解題意，利用全概率公式得到數(shù)列中相鄰三項之間的關系是解題關鍵.