第04講解一元二次方程-因式分解法與換元法2

第04講解一元二次方程——因式分解法與換元法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①?gòu)?fù)習(xí)鞏固因式分解的方法②利用因式分解法解一元二次方程③整體法或換元法解一元二次方程復(fù)習(xí)鞏固熟練掌握因式分解的幾種方法。學(xué)會(huì)利用因式分解解一元二次方程。學(xué)會(huì)并掌握整體法或換元法解一元二次方程。知識(shí)點(diǎn)01因式分解的方法因式分解的方法：①提公因式法：；②公式法：平方差公式：；完全平方公式：；③十字相乘法：分解，若且，則。題型考點(diǎn)：①對(duì)因式分解進(jìn)行熟練應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】1．把下列各式因式分解：（1）2a2﹣4a；（2）（a2+9）2﹣36a2；（3）x2+2x﹣15．【解答】解：（1）2a2﹣4a＝2a（a﹣2）；（2）（a2+9）2﹣36a2；＝（a2+9+6a）（a2+9﹣6a）＝（a+3）2（a﹣3）2；（3）x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3）．知識(shí)點(diǎn)02利用因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程的基本步驟：①將一元二次方程的右邊全部移到左邊，使其右邊為0。②對(duì)方程的左邊進(jìn)行因式分解，使其成為兩個(gè)整式的積的形式。③別分令兩個(gè)整式為0，得到兩個(gè)一元一次方程。④解這兩個(gè)一元一次方程，一元一次方程的解合起來就是一元二次方程的解。題型考點(diǎn)：①根據(jù)求根公式確定的值。②利用公式法解一元二次方程?！炯磳W(xué)即練1】2．一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解為（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1【解答】解：（x﹣5）2＝4（x﹣5），（x﹣5）2﹣4（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5﹣4）＝0，x﹣5＝0或x﹣5﹣4＝0，所以x1＝5，x2＝9．故選：C．【即學(xué)即練2】3．方程x2﹣3x﹣18＝0的根是（）A．x1＝3，x2＝6 B．x1＝﹣3，x2＝6 C．x1＝3，x2＝﹣6 D．x1＝﹣3，x2＝﹣6【解答】解：x2﹣3x﹣18＝0，（x+3）（x﹣6）＝0解得：x1＝﹣3，x2＝6．故選：B．【即學(xué)即練3】4．解方程（3x﹣4）2﹣（4x+1）2＝0．【解答】解：（3x﹣4）2﹣（4x+1）2＝0，∴，x2＝﹣5．知識(shí)點(diǎn)03整體法或換元法解一元二次方程整體法或換元法：在解一元二次方程時(shí)，有時(shí)候會(huì)把含有未知數(shù)的一個(gè)式子看作一個(gè)整體，然后用一個(gè)簡(jiǎn)單的字母表示，起達(dá)到方程簡(jiǎn)化的目的，在解其方程的方法叫做整體法或換元法。例題講解：【例】解方程．

解：設(shè)，則原方程可化為．

解得．

當(dāng)y=1時(shí)，即x-1=1，解得x=2；

當(dāng)y=4時(shí)，即x-1=4，解得x=5．

所以原方程的解為x1=2，x2=5．題型考點(diǎn)：利用整體法或換元法解一元二次方程?！炯磳W(xué)即練1】5．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．【解答】解：設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1時(shí)，即x2﹣1＝1，解得x＝±；當(dāng)y＝4時(shí)，即x2﹣1＝4，解得x＝±，所以原方程的解為：x1＝±，x2＝±．【即學(xué)即練2】6．如果有理數(shù)a、b同時(shí)滿足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值為（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不對(duì)【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，設(shè)a2+b2＝x，則方程化為：（x+3）（x﹣3）＝16，x2﹣9＝16，x2＝25，x＝±5，當(dāng)x＝5時(shí)，a2+b2＝5，當(dāng)x＝﹣5時(shí)，a2+b2＝﹣5，∵不論a、b為何值，a2+b2≥0，∴此時(shí)不行，即a2+b2＝5，故選：B．題型01利用因式分解法解一元二次方程【典例1】用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0，∴[（2x﹣3）+（x﹣2）][（2x﹣3）﹣（x﹣2）]＝0，∴（3x﹣5）（x﹣1）＝0，∴3x﹣5＝0或x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝1；（2）2（t﹣1）2+t＝1，∴2（t﹣1）2+t﹣1＝0，∴（t﹣1）（2t﹣1）＝0，∴t1＝1，t2＝．【典例2】用因式分解法解一元二次方程：（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0；（2）（2x+3）2＝4（2x+3）．【解答】解：（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0，∴4x+1＝0或5x﹣7＝0，∴，；（2）（2x+3）2＝4（2x+3），（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，∴2x+3＝0或2x﹣1＝0，∴，．題型02整體法或換元法解一元二次方程【典例1】請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值；解：設(shè)x+y＝t，則原方程可變形為（t﹣3）（t+4）＝﹣10．即t2+t﹣2＝0∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1，∴x+y＝﹣2或x+y＝1．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣3）＝12，求x2+y2的值．【解答】解：設(shè)x2+y2＝t，則原方程可變形為：（t﹣2）（t﹣3）＝12，即t2﹣5t﹣6＝0∴（t+1）（t﹣6）＝0，解得：t1＝﹣1，t2＝6；又∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝6．【典例2】閱讀材料：為了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1看作一個(gè)整體，設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，那么原方程可化為y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y＝1，時(shí)，x2﹣1＝1，∴x2＝2．∴x＝；當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣1＝4，∴x2＝5．∴x＝．故原方程的解為，＝，＝，＝．解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；（3）請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程：x4﹣3x2﹣4＝0．【解答】解：（1）換元；轉(zhuǎn)化；（2）設(shè)y＝x2+x，原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0，則（y﹣4）（y﹣1）＝0，∴y﹣4＝0或y﹣1＝0，∴y1＝4，y2＝1，當(dāng)y＝4時(shí)，x2+x＝4，解得x＝，當(dāng)y＝1時(shí)，x2+x＝1，解得x＝，∴原方程的解為x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；（3）設(shè)y＝x2，原方程可變?yōu)閥2﹣3y﹣4＝0，解得y1＝4，y2＝﹣1，∵x2≥0，∴x2＝4，解得x1＝2，x2＝﹣2．題型03解含有絕對(duì)值的方程【典例1】閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．材料：解含絕對(duì)值的方程：x2﹣5|x|﹣6＝0．解：分兩種情況：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）．（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為：x2+5x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝1（舍去）．綜上所述：原方程的解是x1＝6，x2＝﹣6．任務(wù)：請(qǐng)參照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．【解答】解：分兩種情況：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為：x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去）．（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為：x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1（舍去）．綜上所述：原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2．【典例2】分類討論在數(shù)學(xué)中既是一個(gè)重要的策略思想又是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法．例如對(duì)于像x2+|x|﹣6＝0這樣含有絕對(duì)值符號(hào)的方程，可采用如下的分類討論方法：解：當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為x2+x﹣6＝0．解得：x1＝﹣3，x2＝2．∵x≥0，∴x＝2．當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2．∵x＜0，∴x＝﹣2．綜上可得：原方程的解為x1＝﹣2，x2＝2．仿照上面的解法，解方程：x2+|2x﹣1|﹣4＝0．【解答】解：當(dāng)2x﹣1≥0，即x≥時(shí)，原方程可化為x2+2x﹣5＝0．解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．∵x≥0，∴x＝﹣1+．當(dāng)2x﹣1＜0，即x＜時(shí)，原方程可化為x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1．∵x＜0，∴x＝﹣1．綜上可得：原方程的解為x1＝﹣1+，x2＝﹣1．題型04用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭镜淅?】解下列方程（1）2x2﹣12＝0；（2）x2+4x﹣12＝0；（3）；（4）3（x﹣2）2﹣1＝5；（5）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；（6）x4﹣2x2+1＝0；（7）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）+2＝0；（8）x2﹣3|x﹣1|＝1．【解答】解：（1）2x2﹣12＝0，2x2＝12，x2＝6，x＝，∴x1＝，x2＝﹣；（2）x2+4x﹣12＝0；（x+6）（x﹣2）＝0，x+6＝0或x﹣2＝0，解得：x＝﹣6或x＝2，∴x1＝﹣6，x2＝2；（3），x2﹣8（x﹣1）＝0，x2﹣8x＝﹣8，x2﹣8x+16＝8，（x﹣4）2＝8，x﹣4＝，x1＝4+2，x2＝4﹣2；（4）3（x﹣2）2﹣1＝5；3（x﹣2）2＝6，（x﹣2）2＝2；x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（5）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；2x﹣1＝±（3﹣x）；2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝﹣3+x解得：x1＝，x2＝﹣2；（6）x4﹣2x2+1＝0；（x2﹣1）2＝0，x2﹣1＝0，x+1＝0或x﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣1∴x1＝1，x2＝﹣1；（7）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）+2＝0；[（x﹣1）﹣1][（x﹣1）﹣2]＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得：x＝2或x＝3，∴x1＝2，x2＝3；（8）x2﹣3|x﹣1|＝1，解：當(dāng)x﹣1≥0，即x≥1時(shí)，方程化為x2﹣3x+2＝0，即（x﹣2）（x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2＝2；當(dāng)x﹣1＜0，即x＜1時(shí)，方程化為x2+3x﹣4＝0，即（x﹣1）（x+4）＝0，解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣4，∴x1＝1，x2＝2，x3＝﹣4．1．方程x2+10x+9＝0的兩個(gè)根是（）A．x1＝1，x2＝9 B．x1＝﹣1，x2＝9 C．x1＝1，x2＝﹣9 D．x1＝﹣1，x2＝﹣9【解答】解：x2+10x+9＝0∵（x+1）（x+9）＝0，∴x+1＝0或x+9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣9，故選：D．2．用下列哪種方法解方程2（x﹣1）2＝8最合適（）A．配方法 B．開平方法 C．因式分解法 D．公式法【解答】解：2（x﹣1）2＝8，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，所以x1＝3，x2＝﹣1故選：B．3．方程x2﹣9x+18＝0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A．12 B．15 C．12或15 D．18或9【解答】解：x2﹣9x+18＝0，（x﹣3）（x﹣6）＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形的底為3，腰為6，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為3+6+6＝15．故選：B．4．方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故選：B．5．已知某三角形的兩邊長(zhǎng)恰是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩根，則該三角形第三邊長(zhǎng)可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝2，x2＝4，即三角形的兩邊為2和4，設(shè)第三邊為x，則由三角形的三邊關(guān)系定理得：4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6，即只有選項(xiàng)D符合題意，選項(xiàng)A、選項(xiàng)B、選項(xiàng)C都不符合題意；故選：D．6．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，則x2+y2的值為（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2【解答】解：設(shè)x2+y2＝z，則原方程換元為z2﹣2z﹣8＝0，∴（z﹣4）（z+2）＝0，解得：z1＝4，z2＝﹣2，即x2+y2＝4或x2+y2＝﹣2（不合題意，舍去），∴x2+y2＝4．故選：B．7．已知實(shí)數(shù)x滿足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣15＝0，則代數(shù)式x2﹣x的值是．【解答】解：已知方程分解因式得：（x2﹣x﹣5）（x2﹣x+3）＝0，可得x2﹣x﹣5＝0或x2﹣x+3＝0（無解），∴x2﹣x＝5．故答案為：5．8．已知方程x2﹣10x+21＝0的根為x1＝3，x2＝7，則方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是．【解答】解：∵方程x2﹣10x+21＝0的根為x1＝3，x2＝7，∴在方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，解得x＝2或x＝4，故答案為：x1＝2，x2＝4．9．定義新運(yùn)算“*”，規(guī)則：m*n＝如1*2＝2，（﹣）*＝．若x2﹣x﹣6＝0的兩根分別為x1，x2，則x1*x2＝．【解答】解：x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，x﹣3＝0或x+2＝0，所以x1＝3，x2＝﹣2，所以x1*x2＝3*（﹣2）＝3．故答案為：3．10．菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為6cm，其邊長(zhǎng)是方程x2﹣2x﹣15＝0的一個(gè)根，則菱形ABCD的面積為24cm2．【解答】解：x2﹣2x﹣15＝0，則（x﹣5）（x+3）＝0，∴x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3（舍去），∵一條對(duì)角線長(zhǎng)為6cm，∴這條對(duì)角線的一半為3cm，則另一條對(duì)角線的一半為：＝4（cm），∴另一條對(duì)角線長(zhǎng)為8cm，∴菱形ABCD的面積為：×6×8＝24（cm2），故答案為：24．11．解下列一元二次方程．（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）x（