湖南省益陽(yáng)市牛潭河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省益陽(yáng)市牛潭河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為圓心，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為(

)A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，即所求圓的圓心坐標(biāo)，再由圓過(guò)原點(diǎn)，求得圓的半徑，最后由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出所求圓方程即可【解答】解；∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴所求圓的圓心坐標(biāo)為（1，0）∵所求圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）∴其半徑為1﹣0=1∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題2.若向量的夾角為，且，，則向量與向量的夾角為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A3.已知A，B，C，D，E為拋物線上不同的五點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為F，滿足，則A

5

B

10

C

D

參考答案：B4.在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，某廠要將臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有輛甲型貨車(chē)和輛乙型貨車(chē)可供使用．每輛甲型貨車(chē)運(yùn)輸費(fèi)用元，可裝洗衣機(jī)臺(tái)；每輛乙型貨車(chē)運(yùn)輸費(fèi)用元，可裝洗衣機(jī)臺(tái)．若每輛車(chē)至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為

（

）

A．元

B．元

C．元

D．元參考答案：C5.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋1)＝－f(x)，已知時(shí)，，則函數(shù)在（1，2）上

（

）A．是增函數(shù)，且 B．是增函數(shù)，且C．是減函數(shù)，且 D．是減函數(shù)，且參考答案：D略6.在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)＜0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(

)A．(－2,1)

B．(0,2)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

D．(－1,2)參考答案：A7.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程可以為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓交l于B、D兩點(diǎn)，若∠ABD=90°，△ABF的面積為3，則p=（） A．1 B． C． 2 D． 參考答案：B9.（5分）如圖是正方體的平面展開(kāi)圖．在這個(gè)正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（） A． ①②③ B． ②④ C． ③④ D． ②③④參考答案：C考點(diǎn)： 棱柱的結(jié)構(gòu)特征．專(zhuān)題： 作圖題；壓軸題．分析： 正方體的平面展開(kāi)圖復(fù)原為正方體，不難解答本題．解答： 解：由題意畫(huà)出正方體的圖形如圖：顯然①②不正確；③CN與BM成60°角，即∠ANC=60°正確；④DM⊥平面BCN，所以④正確；故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，異面直線，直線與直線所成的角，直線與直線的垂直，是基礎(chǔ)題．10.已知,則是的什么條件.A.必要不充分

B.充分不必要

C.充要

D.既不充分也不必要參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以的5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這5次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是

；已知兩位同學(xué)這5次成績(jī)的平均數(shù)都是84，成績(jī)比較穩(wěn)定的是

_____________（第二個(gè)空填“甲”或“乙”）．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；莖葉圖．I2，甲

解析：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，乙的5次數(shù)學(xué)成績(jī)按照大小順序排列后，第3個(gè)數(shù)據(jù)是82，∴中位數(shù)是82；觀察甲乙兩位同學(xué)的5次數(shù)學(xué)成績(jī)，甲的成績(jī)分布在81～90之間，集中在平均數(shù)84左右，相對(duì)集中些；乙的成績(jī)分布在79～91之間，也集中在平均數(shù)84左右，但相對(duì)分散些；∴甲的方差相對(duì)小些，成績(jī)較穩(wěn)定些．故答案為：82，甲．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合中位數(shù)的概念，得出乙的中位數(shù)是多少，再分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，得出甲的成績(jī)較穩(wěn)定些．12.已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），

圓C的極坐標(biāo)方程為，若直線與圓C有

唯一公共點(diǎn)，則m的值為_(kāi)____________．參考答案：略13.定義：，在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則、滿足的概率為_(kāi)___________.參考答案：14.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)．設(shè)<,若，則λ的值為

．參考答案：15.已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是．參考答案：≤a＜【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由分段函數(shù)的性質(zhì)，若f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，則分段函數(shù)在每一段上的圖象都是下降的，且在分界點(diǎn)即x=1時(shí)，第一段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)大于等于第二段函數(shù)的函數(shù)值．由此不難判斷a的取值范圍．【解答】解：∵當(dāng)x≥1時(shí)，y=logax單調(diào)遞減，∴0＜a＜1；而當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（3a﹣1）x+4a單調(diào)遞減，∴a＜；又函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=1時(shí)，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥，綜上可知，≤a＜．故答案為：≤a＜【點(diǎn)評(píng)】分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x(chóng)、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．16.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．(用數(shù)字作答)參考答案：135略17.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足：a1a7=4，則數(shù)列{log2an}的前7項(xiàng)之和為

．參考答案：7【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴數(shù)列{log2an}的前7項(xiàng)和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案為：7．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為A，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，試探求直線AP與AQ的斜率之和是否為定值，證明你的結(jié)論.參考答案：解：（Ⅰ）由題設(shè)知，由橢圓的定義知：的周長(zhǎng)為，解得.

故因此，所以橢圓的方程為.

............5分（Ⅱ）由題設(shè)知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)，則.

............7分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.由題意知，因此設(shè)，則，

............9分故有直線的斜率之和為即直線的斜率之和為定值2.

............12分19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)。（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)有極值點(diǎn)，求的取值范圍及的極值點(diǎn)。參考答案：解：（Ⅰ）由題意知，的定義域?yàn)椋?/p>

ks5u∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．

②時(shí)，有兩個(gè)相同的解，但當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，時(shí)，，而,此時(shí)，隨在定義域上的變化情況如下表：減極小值增由此表可知：當(dāng)時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)ii)

當(dāng)時(shí)，0<<1此時(shí)，，隨的變化情況如下表：增極大值減極小值增由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；ks5u綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn);ks5u當(dāng)時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；ks5u當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)20.已知函數(shù)f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的單調(diào)遞增區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和兩角和與差的公式化簡(jiǎn)，化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，（Ⅱ）最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．化簡(jiǎn)可得：f（x）=1﹣cos2x+cos2x+sin2x=1+sin（2x﹣）∴函數(shù)的最小正周期T=（Ⅱ）由，k∈Z，得≤x≤．∴f（x）在（0，）上的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，]．21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中是不為零的常數(shù)，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：（Ⅰ）由已知可得：兩式相減得：，即∵∴∴∴∴是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，從而（Ⅱ）因?yàn)?，所以，從而∴?2.(本小題滿分12分)

某校從參加高三年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了40名學(xué)生的政治成績(jī)，這40名學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭?0分至l00分之間，據(jù)此繪制了如圖所示的樣本頻率分布直方圖。

(I)求成績(jī)?cè)赱80，90)的學(xué)生人數(shù)；

(Ⅱ)從成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名學(xué)生，求至少有l(wèi)名學(xué)生成績(jī)?cè)?/p>

[90，100]的概率。參考答案：.解：（Ⅰ）因?yàn)楦鹘M的頻率之和為1，所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間的頻率為，

…………2分所以，40名學(xué)生中成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生人數(shù)為（人）.……4分（Ⅱ）設(shè)表示事件“在成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選兩名學(xué)生，至少有一

名學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)