人教B版數(shù)學(xué)課件第二章習(xí)題課均值不等式的應(yīng)用

習(xí)題課均值不等式的應(yīng)用第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.能夠利用均值不等式證明一般不等式.2.能夠利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題.課前篇自主預(yù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)、均值不等式如果a,b都是正數(shù),那么

,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.微思考

均值不等式

應(yīng)用的條件是什么?提示

一正二定三相等,即:①a,b均為正數(shù);②a+b和ab中有一個(gè)為定值;③不等式中的等號(hào)必須能取到.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一“常數(shù)代換法”求最值答案

4要點(diǎn)筆記

在利用均值不等式求最值時(shí),常用的技巧就是“1”的代換,其目的是借助“1”將所求式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整,優(yōu)化到能夠利用均值不等式為止.答案

1變式訓(xùn)練

1若正數(shù)x,y滿(mǎn)足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(

)答案

C探究二利用均值不等式證明不等式分析(1)不等式的左邊是和式,右邊是帶根號(hào)的積式之和,用均值不等式,將和變積,并證得不等式.(2)不等式右邊的數(shù)字為8,使我們聯(lián)想到對(duì)左邊因式分別使用均值不等式,可得三個(gè)“2”連乘;又

,可由此變形入手.反思感悟

利用均值不等式證明不等式的注意事項(xiàng)(1)利用均值不等式證明不等式,關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式,通過(guò)將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式,從而達(dá)到放縮的目的.(2)注意多次運(yùn)用均值不等式時(shí)等號(hào)能否取到.(3)解題時(shí)要注意技巧,當(dāng)不能直接利用均值不等式時(shí),可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造,變成能使用均值不等式的形式.(4)在證明不等式的過(guò)程中,注意充分利用“1的代換”,即把常數(shù)“1”替換為已知的式子,然后經(jīng)過(guò)整理后再利用均值不等式進(jìn)行證明.探究三均值不等式的實(shí)際應(yīng)用例3某書(shū)商為提高某套叢書(shū)的銷(xiāo)量,準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷(xiāo)會(huì).據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,當(dāng)每套叢書(shū)售價(jià)定為x元時(shí),銷(xiāo)售量可達(dá)到(15-0.1x)萬(wàn)套.現(xiàn)出版社為配合該書(shū)商的活動(dòng),決定進(jìn)行價(jià)格改革,將每套叢書(shū)的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分,其中固定價(jià)格為30元,浮動(dòng)價(jià)格(單位:元)與銷(xiāo)售量(單位:萬(wàn)套)成反比,比例系數(shù)為10.假設(shè)不計(jì)其他成本,即銷(xiāo)售每套叢書(shū)的利潤(rùn)=售價(jià)-供貨價(jià)格.問(wèn):(1)每套叢書(shū)售價(jià)定為100元時(shí),書(shū)商所獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?(2)每套叢書(shū)售價(jià)定為多少元時(shí),單套叢書(shū)的利潤(rùn)最大?分析(1)先確定每套叢書(shū)定價(jià)為100元時(shí)的銷(xiāo)售量,從而可得每套供貨價(jià)格,根據(jù)銷(xiāo)售每套叢書(shū)的利潤(rùn)=售價(jià)-供貨價(jià)格,可求得書(shū)商能獲得的總利潤(rùn);(2)先確定每套叢書(shū)售價(jià)范圍,再確定單套叢書(shū)利潤(rùn),利用均值不等式,可求單套叢書(shū)的利潤(rùn)最大值.反思感悟

應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意如下思路和方法:(1)先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù).(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題.(3)在題目要求的范圍內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值.(4)正確寫(xiě)出答案.變式訓(xùn)練

3(2020北京高一月考)黨的十九大報(bào)告指出,建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計(jì).而清潔能源的廣泛使用將為生態(tài)文明建設(shè)提供更有力的支撐.沼氣作為取之不盡、用之不竭的生物清潔能源,在保護(hù)綠水青山方面具有獨(dú)特功效.通過(guò)辦沼氣帶來(lái)的農(nóng)村“廁所革命”,對(duì)改善農(nóng)村居住環(huán)境等方面,起到立竿見(jiàn)影的效果.為了積極響應(yīng)國(guó)家推行的號(hào)召,某農(nóng)戶(hù)準(zhǔn)備建造一個(gè)深為2米,容積為32立方米的長(zhǎng)方體沼氣池,如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元,沼氣池蓋子的造價(jià)為3000元,問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)沼氣池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少元?

素養(yǎng)形成一題多解分析要求x+y的最小值,根據(jù)均值不等式,應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值.這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形,可進(jìn)行“1”的代換,也可以“消元”等.方法點(diǎn)睛

本題給出了兩種方法,都用到了均值不等式,且都對(duì)式子進(jìn)行了變形,配湊出滿(mǎn)足均值不等式的條件,這是應(yīng)用均值不等式解決問(wèn)題的常用方法.在應(yīng)用均值不等式解決問(wèn)題時(shí),要學(xué)會(huì)觀察,學(xué)會(huì)變形.另外,方法二通過(guò)消元,化二元問(wèn)題為一元問(wèn)題時(shí),要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)另一個(gè)變量范圍給出限制(消去x后,原來(lái)x的限制條件,應(yīng)當(dāng)由代替它的y來(lái)“接班”,此限制條件不會(huì)因“消元”而憑空消失).

當(dāng)堂檢測(cè)答案

C2.若a>0,b>0,且a+b=4,則下列不等式恒成立的是(

)答案

D3.若把總長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地,則矩形場(chǎng)地的最大面積是

.

答案

25m24.已知a,b,c為任意實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.證明

∵a2+b2≥2ab,b2+