實(shí)數(shù)的新運(yùn)算知識

“實(shí)數(shù)的新運(yùn)算知識”例題解析近年來，隨著新課標(biāo)的實(shí)行，中考試題愈加新穎和開放，愈加注重創(chuàng)新和應(yīng)用。有關(guān)實(shí)數(shù)運(yùn)算的創(chuàng)新題更是百花齊放，令人目不暇接，它們起點(diǎn)適中、形式新穎、視點(diǎn)獨(dú)特、凸顯能力。為幫助同學(xué)們熟悉新題型，迎接新挑戰(zhàn)，特采擷幾例典型題及運(yùn)算方法供同學(xué)們參考。開放型運(yùn)算例1.在下面兩個(gè)集合中各有一些實(shí)數(shù)，請你分別從中選出2個(gè)有理數(shù)和2個(gè)無理數(shù)，再用“+，—，X，《”中的3種符號將選出的4個(gè)數(shù)進(jìn)行3次運(yùn)算，使得運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)正整數(shù)。解析：根據(jù)運(yùn)算的條件和要求，本題答案不唯一，有多種組合的方式。如：3+（—*8）+、'2x（—6）=15,+\'3x[_~j—— =1,21.5+（、'12—兀）x0=0,點(diǎn)評：本題是限制條件和要求、開放運(yùn)算和結(jié)論，它雖未在難度上著墨，但開放視角獨(dú)特，頗有新意，從解題到命題，體現(xiàn)出對靈活思維的要求，易激活學(xué)生的思維，給學(xué)生提供了自由發(fā)揮的廣闊的思維空間，值得重視。程序型運(yùn)算1 是有理致例2.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原來如下：當(dāng)輸入的x為64時(shí)，輸出的y是（）A.8 B.2，「2 C.2矣 D.32解析：根據(jù)運(yùn)算程序可知，當(dāng)輸入的x為64時(shí)，其算術(shù)平方根8是有理數(shù)；于是再取8的算術(shù)平方根蕓是無理數(shù)，故輸出的y是攔。本題選擇B。點(diǎn)評：此類結(jié)構(gòu)主要是考查符號語言、圖象語言間的轉(zhuǎn)譯能力及推理運(yùn)算能力，解決它的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解新程序的數(shù)學(xué)意義。估算型運(yùn)算例3.大家知道15是一個(gè)無理數(shù)，那么<5—1在哪兩個(gè)整數(shù)之間（ ）A.1與2 B.2與3 C.3與4 D.4與5解析：?.?k4<v5<*9，即2<<5<3，.?.2—1<<5—1<3—1。顯然本題應(yīng)選擇A。點(diǎn)評：對無理數(shù)作近似估算是新課標(biāo)所要求的，同學(xué)們必須掌握“估算法”這種解題方法，以便于在具體的實(shí)際問題能及時(shí)作出快速的處理。定義型運(yùn)算例4.在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“十”如下：當(dāng)a>b時(shí)，a十b=b2；當(dāng)a<b時(shí)，a十b=a。則當(dāng)x=2時(shí)，(1十x)'x_(3十x)的值為(“?”和“一”仍為實(shí)數(shù)運(yùn)算中的乘號和減號)。解析：根據(jù)定義的新運(yùn)算，當(dāng)x=2時(shí)，1<x，故1十x=1；3>x，因此3十x=x2=4所以(1十x)-x-(3十x)=1x2-4=-2。點(diǎn)評：解決這類定義新運(yùn)算的關(guān)鍵是理解新的運(yùn)算規(guī)則，并將它向已有知識的轉(zhuǎn)化；體現(xiàn)了新課程“知識立意向能力立意過渡”的要求，突出對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。形數(shù)型運(yùn)算例5.數(shù)軸上表示1，的對應(yīng)點(diǎn)A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是( )A.2-2 B.號-2C.<2-1 D.1-%：2CAB0 1 2 %解析：不妨設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)是x，由對稱性知道AC=AB，結(jié)合數(shù)軸有1-x=3-1，解得x=2-2。即點(diǎn)C所表示的數(shù)是2-。點(diǎn)評：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，本題“形”“數(shù)”結(jié)合，所反映的正是數(shù)學(xué)中的一種思想方法“數(shù)形結(jié)合”。操作型運(yùn)算A=n-L.B=3*n-2 . 例6.已知2 (n為正整數(shù))。當(dāng)n<5時(shí)，有A<B；請用計(jì)算器計(jì)算當(dāng)n>6時(shí)，A、B的若干個(gè)值，并由此歸納出當(dāng)以n>6時(shí)，A、B間的大小關(guān)系為。解析：由計(jì)算器操作，當(dāng)以n=6時(shí)有人62>B362；當(dāng)以n=7時(shí)仍有A"'—2>B=3'7-2，…。由此歸納出當(dāng)以n>6時(shí)，a>B。點(diǎn)評：這是一道考查學(xué)生正確使用計(jì)算器并作猜測、推斷的試題，引導(dǎo)學(xué)生邊操作邊思考，從而探尋并歸納A、B的大小關(guān)系，思維在不知不覺中得到展示如行云流水，層層推進(jìn)……規(guī)律型運(yùn)算例7.老師在黑板上寫出三個(gè)算式：52-32=8x2,92-72=8x4,152-32=8x27，王華接著又寫了兩個(gè)具有同樣規(guī)律的算式：112-52=8x12,152-72=8x22，?請你再寫出兩個(gè)(不同于上面算式)具有上述規(guī)律的算式；用文字寫出反映上述算式的規(guī)律；證明這個(gè)規(guī)律的正確性。解析：(1)略。規(guī)律：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù)；證明：設(shè)m，n為兩個(gè)整數(shù)，則兩個(gè)奇數(shù)可表示為2m+1和2n+1，則(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1)。當(dāng)m,n同是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，m-n一定為偶數(shù)，所以4(m-n)(m+n+1)一定是8的倍數(shù)。當(dāng)m,n一奇一偶時(shí)，則(m+n+1)一定為偶數(shù)，所以4(m-n)(m+n+1)一定是8的倍數(shù)。所以任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差為8的倍數(shù)。點(diǎn)評：本題重在考查學(xué)生觀察問題、探究規(guī)律的思維能力。此類探究型試題對訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維進(jìn)而培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力大有裨益，規(guī)律探索型的試題在中考中備受青睞，希望同學(xué)們熟悉。掌握它。應(yīng)用型運(yùn)算例8.某單位需以“掛號信”或“特快專遞”方式向五所學(xué)校各寄一封信。這五封信的重量分別是72g、90g、215g、340g、400g。根據(jù)這五所學(xué)校的地址及信件的重量范圍，在郵局查得相關(guān)郵費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：業(yè)務(wù)種類計(jì)費(fèi)單位資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(元)掛號費(fèi)(元/封)特制信封(元/個(gè))掛號信首重100g，每重20g0.830.5續(xù)重101?2000g，每重100g2.00特快專遞首重1000g內(nèi)5.0031.0(1)重量為90g的信若以“掛號信”方式寄出，郵寄費(fèi)為多少元？若以“特快專遞”方式寄出呢？■mr■mr續(xù)直計(jì)費(fèi)地 \如：信的H為260g,JH其中\(zhòng)100g為僧重”，侮地按0.8 \元tt*費(fèi)（不足20g按20g計(jì)費(fèi)）：\其余16Qg為“續(xù)ST,每\按2元計(jì)費(fèi)，1實(shí)超過1咂，但不足20Cfe計(jì)費(fèi)。郵寄費(fèi)（每封）=首KR費(fèi)+統(tǒng)責(zé)費(fèi)+掛號費(fèi)+柚僧封費(fèi)株鋼"如：首重不jfi過100^,JH郵寄費(fèi)（每封）=音張費(fèi)（5元）*搓號#（3元）市特制僧封費(fèi)（1元）'（2） 這五封信分別以怎樣的方式寄出最合算？請說明理由。（3）通過解答上述問題，你有何啟示？（請你用一、兩句話說明）解：（1）重量為90g的信以“掛號信”方式寄出，則郵寄費(fèi)為5乂0.8+3+0.5=7.5（元）；以“特快專遞”方式寄出，郵寄費(fèi)為5+3+1=9（元）。（2） V這五封信的重量均小于1000g,?..若以“特快專遞”方式寄出，郵寄費(fèi)為5+3+1=9（元）。由（1）得知，重量為90g的信以“掛號信”方式寄出，費(fèi)用為7.5元小于9元；.??72g<90g，..?重量為72g的信以“掛號信”方式寄出小于9元。若重量為215g的信以“掛號信”方式寄出，則郵寄費(fèi)為5乂0.8+2乂2+3+0.5=11.5（元）>9（元），400g>340g>215g，..?重量為400g，340g的信以“掛號信”方式寄出，費(fèi)用均超過9元。因此，將這五封信的前兩封以“掛號信”方式寄出，后三封以“特快專遞”方式寄出J最合^po（