7.3.2+復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義（課件）-+2020-2021學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

第七章復數(shù)的概念7.3.2復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義教學目標

了解復數(shù)乘、除運算的三角表示（重點）01

了解復數(shù)乘、除運算的幾何意義（重點、難點）02

會利用復數(shù)三角形式進行復數(shù)乘、除運算（重點、難點）03

04學科素養(yǎng)

復數(shù)乘、除運算的三角表示數(shù)學抽象

復數(shù)乘、除運算的幾何意義

直觀想象

邏輯推理

利用復數(shù)三角形式進行復數(shù)乘、除運算數(shù)學運算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學建模01知識回顧RetrospectiveKnowledge復數(shù)的乘、除運算

(a+bi)

(c+di)=ac+bci+adi+bdi2

=(ac－bd)

+(bc+ad)

i類似多項式展開把i2換成－1，合并實部與虛部分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，從而使分母“實數(shù)化”分子，分母運用乘法進行化簡化為復數(shù)的代數(shù)形式復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bi

復平面內(nèi)的點Z（a，b）

一一對應一一對應平面向量OZ

一一對應abz=a＋bi復數(shù)的三角形式其中abz=a＋birθr是復數(shù)z的模；θ

是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線為終邊的角，叫做z的輻角；

在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值．通常記作argz．兩個復數(shù)相等?

兩個復數(shù)的模相等且輻角主值相等02知識精講

ExquisiteKnowledge

如果把復數(shù)z1，z2分別寫成三角形式，

你能計算z1z2并將結(jié)果分別表示成三角形式嗎？

這就是說，兩個復數(shù)相乘,積的模等于各復數(shù)的模的積,積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和.

由復數(shù)乘法運算的三角表示，你能得到復數(shù)乘法的幾何意義嗎？探究

兩個復數(shù)z1，z2相乘時，可以像圖7.3-6那樣，先分別畫出與z1，z2對應的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ2（如果θ2<0，就要把OZ1繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|），再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量OZ，OZ表示的復數(shù)就是積z1z2．這是復數(shù)乘法的幾何意義．

你能解釋i2和(－1)2=1的幾何意義嗎？？【例3】已知，

，求z1z2，請把結(jié)果化為代數(shù)形式，并做出幾何解釋.

首先做與復數(shù)z1對應的向量OZ1，然后把向量OZ1繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角

，再把它的模變?yōu)樵瓉淼?倍，這樣得到一個長度為3，輻角為

的向量OZ．

OZ即為z1z2=3i所對應的向量．

【例4】如圖，向量OZ

對應的復數(shù)為

，把向量OZ繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到OZ′，求向量OZ′對應的復數(shù)（代數(shù)形式表示）．

復數(shù)除法運算是乘法運算的逆運算.根據(jù)復數(shù)乘法運算的三角表示，你能得出復數(shù)除法運算的三角表示嗎？探究

這就是說，兩個復數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)模除以除數(shù)的模所得的商,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.

類比復數(shù)乘法的幾何意義，由復數(shù)除法運算的三角表示，你能得出復數(shù)除法的幾何意義嗎？探究【例5】計算

并把結(jié)果化為代數(shù)形式．【練習】如圖，向量OZ

對應的復數(shù)為

，把向量OZ繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到OZ′，求向量OZ′對應的復數(shù)（代數(shù)形式表示）．【練習】計算：（結(jié)果寫成復數(shù)的代數(shù)式）03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結(jié)SumUp復數(shù)乘法運算的三角表示：即兩個復數(shù)相乘,積的模等于各復數(shù)的模的積,積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和.復數(shù)除法運算的三