空間點直線和平面的投影分析

空間點直線和平面的投影分析第1頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月教學(xué)提示：空間點、直線和平面是組成一個三維立體的最基本的三個幾何要素。本章將重點介紹點、直線和平面在三投影面體系中的投影及其投影特性，兩兩幾何要素之間的相對位置關(guān)系及其投影特性；本章還將闡述常用的幾種空間幾何問題的圖解方法及其應(yīng)用，如用直角三角形法求一般位置直線的實長和對投影面的傾角、一邊平行于投影面的直角的投影原理，等等。主要是學(xué)習(xí)如何將點、直線和平面等空間幾何要素用投影表達，并反過來又如何用其投影來分析和解決空間幾何問題。

教學(xué)要求：本章是工程制圖最為基礎(chǔ)的部分，學(xué)生必須熟練掌握各種位置點、直線和平面的投影及特性，進一步建立投影法的基本概念和思維方法。在此基礎(chǔ)上，學(xué)會應(yīng)用點、直線和平面的相對位置關(guān)系的投影特性，與直角三角形法、直角投影定理配合解決簡單的空間幾何問題，為立體的投影分析和表達打下基礎(chǔ)。第2頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月●3.1空間點的投影分析●3.2空間直線的投影分析

●3.3空間平面的投影分析本章內(nèi)容第3頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1空間點的投影分析

由初等幾何可知，空間兩點可確定一條直線，空間不在一條直線上的三個點可確定一個平面。因此，要研究空間基本幾何要素及其投影關(guān)系，首先要建立空間點的投影概念。第4頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1點的三面投影及其投影特征點的投影仍為一個點，且空間點在一個投影面上只有唯一的投影。但當(dāng)已知點在一個投影面上的一個投影時，都不能確定點在空間的唯一位置。將點A放在三投影面體系中分別向三個投影面V面、H面、W面作正投影，得到點A的水平投影a、正面投影、側(cè)面投影。(關(guān)于空間點及其投影的標記規(guī)定為：空間點用大寫字母A、B、C…表示，水平投影相應(yīng)用小寫字母a、b、c…表示，正面投影相應(yīng)用小寫字母、、…表示，側(cè)面投影相應(yīng)用小寫字母、、…表示。)將投影面體系展開，去掉投影面的邊框，保留投影軸，便得到點A的三面投影圖，如圖3.1所示。3.1空間點的投影分析第5頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可以得出點在三投影面體系的投影特性是：

(1)點A的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸，即a′a⊥OX(長對正)。

(2)點A的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ(高平齊)。

(3)點A的H面投影到OX軸的距離等于點A的W面投影到OZ軸的距離，即aax=a″az(寬相等)，作圖時可以用圓弧或45°線來反映該關(guān)系。

在三面體系中引入笛卡兒坐標體系，以H、V、W三個投影面為坐標面，以三根投影軸OX、OY、OZ為坐標軸，點O為坐標原點。于是空間點A便可用三個坐標值，即點分別到W、V、H三個投影面的距離x、y、z來確定，由此：

點到W面的距離Aa″=a′az=aay=oax=x；

點到V面的距離Aa′=aax=a″az=oay=y；

點到H面的距離Aa=a′ax=a″ay=oaz=z。

3.1空間點的投影分析第6頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月水平投影由X與Y坐標確定(Z=0)；正面投影由X與Z坐標確定(Y=0)；側(cè)面投影由Y與Z坐標確定(X=0)。點的任何兩個投影可反映點的三個坐標，即確定該點的空間位置?？臻g點在三面投影體系中有唯一確定的一組投影。(a)(b)(c)圖3.1點的投影及其投影規(guī)律

3.1空間點的投影分析第7頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)空間點A、B、D分別位于V、H面和OX軸上，如圖3.2(a)所示，則它們的三面投影如圖3.2(b)所示。由此可知，投影面和投影軸上的點的坐標和投影有如下特性：(1)投影面上的點有一個坐標值為0；在該投影面上投影與該點重合，在相鄰?fù)队懊嫔系耐队胺謩e在相應(yīng)的投影軸上。(2)投影軸上的點有兩個坐標值為0；在包含這條軸的兩個投影面上的投影都與該點重合，在另一投影面上的投影則與原點O重合。3.1.2投影面上的點與投影軸上的點3.1空間點的投影分析第8頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.2投影面上的點與投影軸上的點3.1空間點的投影分析第9頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3兩點的相對位置及重影點的投影分析

1.空間兩點相對位置的投影分析在投影圖上判斷空間兩個點的相對位置，就是分析兩點之間上、下、左、右、前、后的關(guān)系，如圖3.3(a)所示。由正面投影或側(cè)面投影可判斷兩點間的上、下關(guān)系(Z坐標差)；由正面投影或水平投影可判斷兩點間的左、右關(guān)系(X坐標差)；由水平投影或側(cè)面投影可判斷兩點間的前、后關(guān)系(Y坐標差)，如圖3.3(b)所示。3.1空間點的投影分析第10頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.3兩點的相對位置3.1空間點的投影分析第11頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.重影點的投影分析當(dāng)空間兩點位于對某一投影面的同一條投射線上時，則此兩點在該投影面上的投影重合為一點，此兩點稱為對該投影面的重影點。為區(qū)分重影點的可見性，規(guī)定觀察方向與投影面的投射方向一致，即對V面由前向后，對H面由上向下，對W面由左向右。因此，距觀察者近之點的投影為可見，反之為不可見。從空間幾何關(guān)系分析，重影點在空間直角坐標系中有兩對坐標值分別相等，其可見性則由它們的另一對不等的坐標值來確定，坐標值大者為可見，值小者為不可見。畫投影圖時應(yīng)在不可見點的投影標記兩側(cè)注寫括號，如圖3.4所示。3.1空間點的投影分析第12頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

(a)(b)

圖3.4重影點投影分析

3.1空間點的投影分析第13頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2空間直線的投影分析由幾何學(xué)知識可知，空間兩點可確定一直線。因此要用投影來表達空間直線，只需作出直線上任意兩點的投影，再連接該兩點在同一投影面上的投影即可。第14頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.1直線的表示法如已知兩點A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空間位置，可首先繪出該兩點的三面投影，如圖3.5(a)所示，然后將兩點的同面投影相連，即可得直線的三面投影，如圖3.5(b)所示。由此也可得出結(jié)論：在一般情況下，直線的投影仍是直線(不變性)。而當(dāng)直線上兩點為某一投影面上的重影點時，直線即垂直于該投影面，直線在該投影面上會積聚為一點(積聚性)。3.2空間直線的投影分析第15頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)

圖3.5直線的投影

3.2空間直線的投影分析第16頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月直線與投影面的相對位置有3種：投影面平行線、投影面垂直線和一般位置直線。前兩種直線又統(tǒng)稱為特殊位置直線。直線和它在投影平面上的正投影之間所成的銳角稱為此直線對該平面的傾角。本書約定：直線與H、V、W三投影面所成的角分別用，，表示，如圖3.6(a)所示。當(dāng)直線平行于投影面時，傾角為0°；垂直于投影面時為90°；傾斜于投影面時，則傾角在0°和90°之間。1.一般位置直線一般位置直線對投影面V、H、W均為傾斜，兩端點的坐標差都不等于零。如圖3.6(a)所示的直線AB，由此可得一般位置直線的投影特性。3.2.2直線相對于投影面的位置及其投影特性3.2空間直線的投影分析第17頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

1)一般位置直線的三個投影與其實際長度的關(guān)系為：ab=ABcos；a′b′=ABcos；a″b″=ABcos由于，，均不為0，故一般位置直線的3個投影之長均小于其實際長度。(2)三面投影均傾斜于投影軸，且它們與投影軸的夾角不反映該直線與投影面的傾角。(a)(b)圖3.6一般位置直線

3.2空間直線的投影分析第18頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.投影面平行線在三面體系中，平行于一個投影面且與其他兩投影面傾斜的直線稱為投影面平行線。根據(jù)該直線平行于哪一個投影面又分為3種：正平線：直線平行于V面(=0)，對H、W面傾斜。水平線：直線平行于H面(=0)，對V、W面傾斜。側(cè)平線：直線平行于W面(=0)，對H、V面傾斜。投影面平行線的三線投影及投影特性如表3-1所示。且由表3-1可得出投影平行線的投影特性為：投影面平行線在所平行的平面上為一條傾斜于軸線的直線并反映實長，與相應(yīng)投影軸的夾角反映直線對另外兩個投影面的傾角的真實大?。恢本€的另外兩個投影面的投影平行線平行于該投影面，并傾斜于相應(yīng)的投影軸。3.2空間直線的投影分析第19頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月表3-1投影面平行線的投影及其投影特性

3.2空間直線的投影分析第20頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.投影面垂直線在三面體系中，垂直于一個投影面且必平行于另兩個投影面的直線稱為投影面垂直線。根據(jù)該直線垂直于不同的投影面又分為3種：正垂線：直線垂直于V面，=90°，==0。鉛垂線：直線垂直于H面，=90°，==0。側(cè)垂線：直線垂直于W面，=90°，==0。3.2空間直線的投影分析第21頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月投影面平行面的三面投影及投影特性見表3-2。且由表3-2可得出投影垂直線的投影特性為：投影面垂直線在所垂直的平面上積聚為一點，直線的另外兩個投影分別為垂直于相應(yīng)的投影軸并反映實長；直線對投影面的傾角均為已知，即為0°或90°

3.2空間直線的投影分析第22頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2空間直線的投影分析表3-2投影面垂直線的投影及其投影特性

第23頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月由此，我們可得出這樣的結(jié)論：從特殊位置直線的三個投影，可直接獲得直線的實長和對投影面的傾角的真實大小，而對于一般位置直線，則要通過一定的圖解方法來求解其實長和傾角。3.2空間直線的投影分析第24頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊位置直線在三面投影圖中可直接顯示實長及對投影面的傾角，有著良好的投影特性。而一般位置直線的3個投影均不能直接反映直線的實長和對投影面的傾角，必須通過一定的圖解方法來求解。首先，分析如圖3.7所示的空間直線AB與其投影之間的幾何關(guān)系：在投射線組成的平面ABba內(nèi)，過點A作AK//ab，交Bb于點K，得RtΔABK。其中：直角邊AK=ab(水平投影的長度)，BK=Bb―Kb=ZB―ZA=ΔZ(A、B兩點間的Z坐標差)，斜邊AB即為實長，而AB與AK的夾角(即斜邊與水平投影的夾角)為該直線對H面的傾角α。顯然，在這個直角三角形的三條邊和一個夾角中3.2.3直角三角形法求解一般位置直線的實長和對投影面的傾角3.2空間直線的投影分析第25頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月只要知道其中兩個要素，就可畫出該直角三角形，其他兩個要素也就隨即獲得。如圖3.7(b)所示，線段AB的水平投影ab和兩端點的Z坐標差均為已知，故可畫出此直角三角形，問題便獲解決。這種方法稱為直角三角形法。直角三角形法中所用的直角三角形是從上述空間幾何分析中推理而抽象出來的，圖解時可直接作在投影圖中，也可作在投影圖形之外，如圖3.7(c)所示。在如圖3.7(b)所示的作圖過程中，就分別用了兩個位置來畫直角三角形：一是畫在水平投影中，直接利用水平投影ab為一直角邊，而另一直角邊Ab為坐標差ΔZ；二是畫在正面投影中，利用反映Z坐標差的正面投影b′a1′為一直角邊，而另一直角邊a1′B就等于其水平投影ab。注意兩種作法都有同一結(jié)果，即斜邊為實長，斜邊與水平投影的夾角為直線對水平投影面的傾角。3.2空間直線的投影分析第26頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.7求線段的實長及對投影面的傾角(a)(b)(c)3.2空間直線的投影分析第27頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，利用線段的正面投影a′b′或側(cè)面投影a″b″，可與線段AB的實長及和角分別組成另外兩個直角三角形，如圖3.8所示。這3個直角三角形的組成情況如下：(1)兩直角邊分別為直線的水平投影和Z坐標差，斜邊為實長，水平投影和實長的夾角為，如圖3.8(a)所示。(2)兩直角邊分別為直線的正面投影和Y坐標差，斜邊為實長，正面投影和實長的夾角為，如圖3.8(b)所示。(3)兩直角邊分別為直線的側(cè)面投影和X坐標差，斜邊為實長，側(cè)面投影和實長夾角為，如圖3.8(c)所示。用直角三角形法解題時要注意以下幾點：3.2空間直線的投影分析第28頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)對照圖3.8所示的3個直角三角形可知，對于同一段直線，用其中任意一個直角三角形，都可求得該直線的實長。但對投影面的傾角的問題，則要用不同的直角三角形來求解。如一定是實長與水平投影的夾角，一定是實長與正面投影的夾角，而一定則是實長與側(cè)面投影的夾角。(2)獲得直角三角形的投影體系一般是兩投影面體系，不同的投影體系所對應(yīng)的直角三角形也不同。求解的直角三角形從V/H體系中獲得，求解的直角三角形從V/H或V/W體系中獲得，求解的直角三角形從V/W體系中獲得。(3)從圖中得知，每個直角三角形含有4個要素，若知其中任意兩個，則此直角三角形便完全確定，由此可求出另2個要素。凡遇到此4要素的問題均可用此法來求解。3.2空間直線的投影分析第29頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)(c)圖3.8直角三角形法中的邊和角與投影的關(guān)系3.2空間直線的投影分析第30頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例3.1】已知線段AB的實長為60mm，求出AB的水平投影ab，如圖3.9(a)所示。分析：要求解直線的水平投影ab，則應(yīng)利用含有水平投影的那個直角三角形來作圖。而在該直角三角形的3條邊和一個角中，已知AB的Z坐標差(從正面投影而知)和實長兩個要素，因此AB的水平投影ab由此可求(可得兩解)。作圖步驟：(1)過b′作a′a的垂線b′B0，以a′為圓心60mm為半徑畫弧與b′B0交于B0，則得出水平投影ab的長度，如圖3.9(b)所示。3.2空間直線的投影分析第31頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.9作AB的水平投影

3.2空間直線的投影分析第32頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)過b′作投影連線b′b垂直于OX軸。(3)以a為圓心、ab為半徑畫弧交b′b于b。(4)連ab即為所求(兩解)。3.2空間直線的投影分析第33頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月空間點與直線的相對位置有兩種情況：點在直線上、點不在直線上。根據(jù)平行投影法中從屬性和等比性的基本性質(zhì)可知：點在直線上，其投影必在該直線的同面投影上；且點分線段之比，其投影后保持不變。如圖3.10所示，已知點C在AB上，則點C的3個投影必在AB相應(yīng)的同面投影上，且有：AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′

=a″c″∶c″b″。而如圖3.10(b)所示點D的水平投影雖然在直線AB的水平投影上，但其正面投影和側(cè)面投影都不在直線AB的同面投影上，故點D不在直線AB上，如圖3.10(a)所示。3.2.4點與直線的相對位置3.2空間直線的投影分析第34頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.10點與直線的相對位置

3.2空間直線的投影分析第35頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)上述性質(zhì)即可判別點是否在直線上以及解決在直線上取點的作圖問題。要從投影上判斷點是否在直線上，對于一般位置直線而言，只需從其中兩組投影就可加以判斷。如在圖3.10中，點C的兩個投影在AB的同面投影上，點D只有一個投影在直線AB的同面投影上。因此點C在直線AB上，點D不在直線AB上。而對于特殊位置直線而言，則必須從其三組投影或利用點分線段之等比性來進行判斷。如圖3.11(a)所示，因為所給直線AB及點D位于平行于側(cè)面的同一平面內(nèi)，不管點D是否在AB上，都有d∈ab，d′∈a′b′的關(guān)系。為此，必須根據(jù)第3投影或利用點分線段之等比性質(zhì)來判別。圖3.11(b)、圖3.11(c)列出了這兩種判別方法。由作圖可知，點D不在AB上。3.2空間直線的投影分析第36頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)(c)圖3.11點與直線相對位置的判別

3.2空間直線的投影分析第37頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月空間兩直線的相對位置有3種情況，即平行、相交和交叉(即異面直線)1.平行兩直線空間兩直線平行，則其3組同面投影必平行。反之，若有兩直線的三組同面投影都平行，則該兩直線在空間相互平行。如圖3.12所示，已知空間兩直線AB∥EF。過AB、EF上的各點向投影面作投射線，所形成的兩個平行平面與投影面的交線也相互平行。即ab∥ef，a′b′∥e′f′，a″b″∥e″f″。其投影圖如圖3.12(b)所示。從而不難得出AB/EF=ab/ef=a′b′

/e′f′

=a″b″/e″f″。由此可得其同面投影必平行，且兩平行線段長度之比等于其投影長度之比。3.2.5兩直線的相對位置3.2空間直線的投影分析第38頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.12平行兩直線3.2空間直線的投影分析第39頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月表2-6(要判別兩條一般位置直線是否平行，只需看它們的任意兩面投影即可。但對于特殊位置直線而言，則必須同時檢查它們的3組同面投影。

如圖3.13所示的兩直線AB和CD均為側(cè)平線，雖然它們的H、V面投影：ab∥cd，a′b′∥c′d′，但a′b′∶c′d′ab∶cd，其側(cè)面投影a″b″不平行于c″d″，故直線AB不平行于CD。3.2空間直線的投影分析第40頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.13兩直線是否平行的判斷3.2空間直線的投影分析第41頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.相交兩直線空間兩直線相交，其各組同面投影必相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律。反之亦然。如圖3.14(a)所示，空間兩直線AB與CD相交于點K，則交點K為兩條直線所共有，根據(jù)從屬性不變的性質(zhì)，兩直線的同面投影必定相交，且交點符合點的投影規(guī)律，即kk′⊥OX(k′k″⊥OZ)，如圖3.14(b)所示。因此，對于一對一般位置直線，要判別它們是否相交，只需檢查任意兩面投影的交點的投影連線是否垂直于投影軸即可。否則，要同時從3組同面投影、或者從交點的從屬性及交點分割線段的等比性來判斷。3.2空間直線的投影分析第42頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)

圖3.14相交兩直線

3.2空間直線的投影分析第43頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖3.15(a)所示的兩直線AB和EF，雖然其兩面投影均相交，其實在空間并不相交。因為從圖3.15(b)的判別可看出：e′k′∶k′f′ek∶kf，所以點K不在EF上，即兩直線不相交。同樣，還可通過作出其側(cè)面投影來判斷。(a)(b)圖3.15兩直線是否相交的判斷3.2空間直線的投影分析第44頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.交叉兩直線在空間既不平行又不相交的兩直線稱為交叉兩直線。如圖3.13和圖3.15所示的兩直線均為交叉兩直線。交叉兩直線的3組同面投影不一定都相交，即使都相交，其交點也不符合點的投影規(guī)律。我們在交叉兩直線的同面投影上看到的交點，實際上是分別在兩直線上的兩點在該投影面上的重影點。利用重影點的投影特性，可判斷兩直線的相對位置。如圖3.16所示，交叉兩直線AB，CD上分別有兩個點Ⅲ、Ⅳ(點Ⅲ∈AB，點Ⅳ∈CD)，它們在H面的重影點為(3)4，由3.16(b)中的投影可知ZⅣ>ZⅢ，故Ⅳ點在Ⅲ點的正上方，Ⅲ點的水平投影3為不可見，用(3)表示。同理，在V面上另一對重影點I、II中，點II的正面投影2′不可見，用(2′)表示。3.2空間直線的投影分析第45頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.16交叉兩直線的重影點3.2空間直線的投影分析第46頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月【例3.2】試判別已知直線AB，CD，AE兩兩之間的相對位置，如圖3.17(a)所示。分析：從圖中直接觀察可得出：AB與AE相交，因為它們有公共點A。對于AB與CD兩直線，由于它們均為側(cè)平線，雖然其正面投影和水平投影均分別平行，但不能憑觀察直接定出。判別方法有兩種，一種方法是作出它們的側(cè)面投影，另一種方法是通過檢查A，B，C，D4點是否共面。即分別連接AC與BD的正面投影和水平投影，使它們形成AC與BD兩條直線。由AC與BD兩直線的不共面，即可推斷出A，B，C，D4點不共面。所以AB與CD為兩交叉直線，如圖3.17(b)所示。而AE與CD是一對交叉直線，其判別方法可用圖3.17(c)所示的等比性定理，讀者可自行分析判斷。3.2空間直線的投影分析第47頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.17判別兩直線間的相對位置3.2空間直線的投影分析第48頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例3.3】求作直線ST，使其與已知直線AB，CD相交且平行于已知直線EF，如圖3.18(a)所示。分析與作圖：從圖3.18(a)可知，直線CD的水平投影積聚為一點c(d)，故CD為鉛垂線。由于所求直線ST與CD相交，故其交點T的水平投影也必積聚于點c(d)。又由于所求直線ST∥EF，且與AB相交。故可過點c(d)作st∥ef交ab于s，由s找到s′，過s′作s′t′∥e′f′交于t′，則st和s′t′為所求直線ST的兩面投影。作圖步驟如圖3.18(b)所示。3.2空間直線的投影分析第49頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.18直線平行與相交的綜合題舉例3.2空間直線的投影分析第50頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月空間垂直的兩直線(相交或交叉)，若其中的一直線平行于某投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍為直角。直角的這一投影特性稱為直角投影定理。反之，若兩直線在某投影面上的投影為直角，且其中有一直線平行于該投影面時，則該兩直線在空間必互相垂直。證明如下：如圖3.19(a)所示，設(shè)相交兩直線AB⊥BC，且AB∥H面。∵AB⊥BC，AB⊥Bb∴AB⊥平面BCcb。又∵AB∥H面∴ab∥AB。因此：ab⊥平面BCcb，得ab⊥bc，即∠abc=90°，如圖3.19(b)所示。3.2.6一邊平行于投影面的直角的投影(a)(b)圖3.19直角的投影3.2空間直線的投影分析第51頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用直角投影定理可以解決許多空間定形和定位的幾何問題，如求作直角三角形、等腰三角形、長方形、正方形、菱形等的投影作圖問題，以及求解點與直線間、兩直線間及直線與平面間的距離問題等等。直角投影定理同樣適合于兩直線交叉垂直的情況。讀者可自行證明。如圖3.20所示的兩直線就是交叉垂直的情況。因為直線AB是一條水平線，且AB與CD的水平投影又相互垂直，因此由上述直角定理可知，這兩條直線在空間垂直。又因為兩直線的正面投影不相交，且兩直線的兩面投影也不平行，因此它們是一對交叉直線。3.2空間直線的投影分析第52頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例3.4】試求點A到直線BC的距離，如圖3.21(a)所示。分析：求空間一點到直線的距離的問題，也是過點向直線作垂線、并求出該垂線的實長的問題。在本例中，應(yīng)從已知點A向直線BC

圖3.20兩直線交叉垂直3.2空間直線的投影分析第53頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

作垂線AK，得垂足為K。由于所給直線BC為正平線，故由直角投影定理，應(yīng)使其正面投影a′k′⊥b′c′；然后利用直角三角形法求出AK的實長，即為所求的距離。作圖步驟：(1)過a′作a′k′⊥b′c′，交b′c′于k′，由k′找出k，連接ak，得AK的投影(ak，a′k′)；(2)用直角三角形法求出AK的實長，即a′k0為所求，如圖3.21(b)所示。

(a)(b)圖3.21求點到直線的距離3.2空間直線的投影分析第54頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月【例3.5】試作出交叉兩直線AB、MN的公垂線EF，并求AB與MN之間的最短距離，如圖3.22(a)所示。分析：如圖3.22(b)所示，公垂線EF是與AB，MN都垂直相交的直線，EF的實長就是所求交叉兩直線的距離。由于AB⊥H面(AB為鉛垂線)，又EF⊥AB，所以應(yīng)有EF∥H面，其垂足E的水平投影e必積聚在AB的水平投影ab處。又由于EF∥H，同時EF⊥MN，根據(jù)直角投影定理必有ef⊥mn。顯然，因為EF為水平線，其水平投影ef反映公垂線EF的實長，這就是所求AB與MN之間的距離。作圖步驟：［如圖3.22(c)所示］。(1)在水平投影面上過a(b)點作ef⊥mn。(2)由ef及水平線EF的投影特性，定出其正面投影e′f′。則e′f′和ef即為所求公垂線EF的兩面投影，同時，ef也是所給交叉兩直線的最短距離。3.2空間直線的投影分析第55頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.22作交叉兩直線的公垂線并求其距離3.2空間直線的投影分析第56頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

平面的投影概念可建立在點和直線投影分析的概念之上。3.3空間平面的投影分析第57頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.用幾何元素表示平面由幾何學(xué)可知，空間平面可由下列幾何元素確定：①不在同一條直線上的3點；②一直線及直線外一點；③兩相交直線；④兩平行直線；⑤任意的平面圖形，如圖3.23所示。從圖中可以看出，以上各組元素可以互相轉(zhuǎn)化。同一平面無論采用何種形式表示，其空間位置始終不變。(a)不在同一直線上的三點(b)直線及直線外的一點(c)相交兩直線3.3.1平面的表示法3.3空間平面的投影分析第58頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(d)平行兩直線(e)平面圖形圖3.23用幾何元素表示平面2.用平面的跡線表示平面在畫法幾何中，空間平面還可用跡線來表示?？臻g平面與投影面的交線稱為投影面的跡線。如圖3.24(a)所示。平面P與H、V、W面的交線分別稱為水平跡線(用PH表示)、正面跡線(用PV表示)和側(cè)面跡線(用PW表示)。PH、PV、PW與投影軸X、Y、Z的交點PX、PY、PZ稱為跡線集合點。3.3空間平面的投影分析第59頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月由于跡線是投影面上的直線，所以它的一個投影與跡線本身重合，另一個投影則落在投影軸上。在投影圖中，PH、PV、PW直接表示跡線本身在空間的位置，而處在投影軸上的那個投影則省略不畫，如圖3.24(b)所示。(a)(b)圖3.24用跡線表示平面3.3空間平面的投影分析第60頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，用跡線表示的平面，其直觀性強，它形象地表明了平面在空間的位置。用跡線表示的平面稱為跡線平面。3.3空間平面的投影分析第61頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2平面相對于投影面的位置及其投影特性在3面體系中,平面對投影面的位置有3種：一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。后兩種稱為特殊位置平面。平面分別與H、V、W面所構(gòu)成的兩面角稱為該平面對H、V、W面的傾角，，。顯然，當(dāng)平面平行于投影面時，其傾角為0°；垂直于投影面時，其傾角為90°；傾斜于投影面時，其傾角在0°<，，<90°。1.一般位置平面既不平行也不垂直于投影面的平面稱為一般位置平面。如圖3.25所示可直接觀察分析得到一般位置平面的投影特性：由于平面傾斜于投影面，所以它的三面投影的形狀均為空間平面的類似形線框，其面積均小于空間平面的實形面積，不反映實形的真實大?。?個投影均不能反映平面與3個投影面的傾角的真實大小。3.3空間平面的投影分析第62頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.25一般位置平面的投影

3.3空間平面的投影分析第63頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.投影面垂直面在三面體系中垂直于任意投影面，而與另兩投影面傾斜的平面，稱為投影面的垂直面。投影面垂直面可分為3種：(1)垂直于V面、且傾斜于另兩投影面的平面稱為正垂面。(2)垂直于H面、且傾斜于另兩投影面的平面稱為鉛垂面。(3)垂直于W面、且傾斜于另兩投影面的平面稱為側(cè)垂面。3種投影面垂直面的投影及投影特性見表3-3。由此可得出投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一條斜線，該斜線與相應(yīng)投影軸的夾角反映出該平面與其他兩個投影面的傾角的真實大??；其他兩個投影面互為類似形線框。3.3空間平面的投影分析第64頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月表3-3投影面垂直面的三面投影及其投影特性3.3空間平面的投影分析第65頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.投影面平行面平行于一個投影面且必垂直于另兩個投影面的平面稱為投影面平行面。投影面平行面又可分為3種：(1)平行于H面的平面稱為水平面。(2)平行于V面的平面稱為正平面。(3)平行于W面的平面稱為側(cè)平面。投影面平行面的投影及投影特性見表3-4。由此可得出投影面平行面的投影特性為：在所平行的投影面上的投影反映實形，其他兩個投影都積聚為直線且平行于相應(yīng)的投影軸。三個傾角分別為0°或90°。3.3空間平面的投影分析第66頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月表3-4投影面平行面的三面投影及其投影特性3.3空間平面的投影分析第67頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月由此，我們可以得出這樣的結(jié)論：從投影面垂直面的3個投影，可直接獲得該平面對投影面的傾角的真實大小(其中一個傾角為已知，即90°)，但不能直接得到其實形；而從投影面平行面的投影，則可直接獲得平面的實形(對投影面的傾角為已知)。對于一般位置平面，則要通過圖解方法求解其實形和對投影面傾角的真實大小。3.3空間平面的投影分析第68頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月由初等幾何可知：①點在平面上，則該點必在此平面的一條直線上。②直線在平面上，則該直線必通過平面上的兩點、或通過平面內(nèi)的一點且平行于平面上的另一直線。將上述兩個條件應(yīng)用于投影法，即可解決在平面上的取點、取直線的問題。如圖3.26所示，點K、直線KT和KM均位于由相交兩直線AB、BC所確定的平面上。3.3.3平面上的點和直線3.3空間平面的投影分析第69頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例3.6】(1)在△ABC平面上過點C作正平線CD；(2)并在此面上取一點S，使之在H面之上15mm，在V面之前25mm，如圖3.27(a)所示。分析：(1)由正平線CD的投影特性可知：其水平投影cd平行于OX軸，正面投影傾斜于X軸。利用這一投影特性，應(yīng)用平面上取直線的幾何原理即可求解出所求的正平線CD。(2)在平面上取定點S：平面上的投影面平行線是一條與所平行的投影面等距的直線。據(jù)題意，所求點S應(yīng)位于平面上距H面為15mm的一條水平線EF上，同時，它也應(yīng)位于距V面25mm的一條正平線MN上，因此，所求點S應(yīng)為平面上這兩條直線的交點。作圖步驟：3.3空間平面的投影分析第70頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)點k在平面abc上(點k過平面上一直線)(b)直線kf在平面abc上(直線過平面上兩已知點)(c)直線km在平面abc上(直線過平面上一點且平行平面上另一直線)圖3.26在平面上取點取線3.3空間平面的投影分析第71頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)作正平線CD：在水平投影面上，過c作cd∥OX，交ab于d，由d找出d′，連接c′d′,則CD(cd,c′d′)為所求，如圖3.27(b)所示。(2)確定S點：首先作一條平面△ABC內(nèi)的水平線EF的正面投影e′f′，使其與X軸相距15mm，然后再作出其水平投影ef，以及平面內(nèi)的正平線MN的水平投影mn，使其與X軸相距25mm，mn與ef的交點即為點S的水平投影s，由此再定出S點的正面投影s′，即為所求，如圖3.27(c)所示。3.3空間平面的投影分析第72頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)(c)圖3.27在平面上作投影面平行線和取定點3.3空間平面的投影分析第73頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.4直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面之間的相對位置有兩種情況，即平行和相交。包括直線與平面、平面與平面的平行和相交，相交又有垂直相交和傾斜相交兩種情況。1.平行幾何條件：①如果一直線平行于平面上的一條直線，則直線與該平面平行，如圖3.28所示。②如果一平面上的兩相交直線平行于另一平面上的兩相交直線，則該兩平面平行，如圖3.29所示。據(jù)此，即可解決其投影作圖及其相對位置的判斷等問題。3.3空間平面的投影分析第74頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3.28直線與平面平行圖3.29兩平面平行3.3空間平面的投影分析第75頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例3.7】試判斷直線MN與平面△ABC是否平行，如圖3.30(a)所示。分析及作圖：根據(jù)上述幾何條件，如果能在△ABC平面內(nèi)作出一條平行于MN的直線，則直線MN就與平面△ABC平行，否則就不平行。為此，在平面上先作一條輔助線DB，使其正面投影d′b′∥m′n′，再由d′b′找出DB的水平投影db。因為水平投影db不平行于mn，不符合直線與平面平行的幾何條件，故知MN不平行于△ABC，如圖3.30(b)所示。3.3空間平面的投影分析第76頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)(b)圖3.30判斷直線與平面是否平行3.3空間平面的投影分析第77頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例3.8】試過點S作一平面平行于已知平面△ABC，如圖3.31(a)所示。分析與求解：根據(jù)其幾何條件，應(yīng)過點S作一對相交直線，使其分別平行于已知平面△ABC內(nèi)的任意兩條直線。為此，過點S作一條直線SL1∥AB，按同法過點S再作SL2∥BC，則SL1與SL2所組成的平面即為所求平面，如圖3.31(b)所示。(a)(b)圖3.31作平面平行于已知平面3.3空間平面的投影分析第78頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.相交直線與平面或平面與平面相交，就會產(chǎn)生交點或交線。直線與平面相交，其交點為直線與平面所共有，它既在直線上又在平面上，是直線與平面的共有點，如圖3.32所示；同理，兩平面P和S相交，其交線為一條直線，它既在平面P上又在平面S上，是兩平面的公有線，如圖3.33所示。圖3.32直線與平面相交3.3空間平面的投影分析第79頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月為討論問題的方便和清楚起見，本章只討論特殊情況下求交點或交線的問題。有興趣的讀者，可從中找出規(guī)律，以引伸到一般位置的線面相交及面面相交問題的求解。圖3.33平面與平面相交3.3空間平面的投影分析第80頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月所謂特殊情況主要指以下3種：(1)特殊位置直線與一般位置平面相交；(2)一般位置直線與特殊位置平面相交；(3)一般位置平面與特殊位置平面相交。在以上每一組相交的幾何要素中，至少有一個要素的某一投影具有積聚性，故可利用其積聚性直接求交點和交線。1)特殊位置直線與一般位置平面相交如圖3.34(a)所示，鉛垂線MN與△ABC平面相交。由圖中可以看出，由于直線垂直于H面，其水平投影積聚為一點，因此它們的交點S的水平投影s必與之重合。又因為交點S屬于△ABC，故可利用面上取點的方法，即在ΔABC上過點S作輔助線AD求出s′。直線與平面相交，存在著投影重疊部分的可見性判別問題。即判斷某一同面投影中直線被平面擋住的一段，并用虛線表示。顯然，其交點為線段投影可見與不可見的分界點，若在一側(cè)為可見，則另一側(cè)必不可見。可見性的判別可利用重影點的投影特性。如圖3.34(b)所示，為判別直線MN的正面投影的可見性，可通過正面投影中a′c′、m′n′的交點［即重影點1′(2′)］引投射線，3.3空間平面的投影分析第81頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月分別交水平投影中mn和ac于點1和2，由于點1在2的前面，故正面投影中2′為不可見，即點Ⅱ所在直線MN的2′s′一段為可見，用粗實線表示；而其余為不可見，畫成虛線。(a)(b)圖3.34特殊位置直線與平面相交3.3空間平面的投影分析第82頁，課件共89頁，創(chuàng)作于2023年2月2)一般位置直線與特殊位置平面相交［如圖3.35(a)所示］如求圖3.35(a)所示直線EF與鉛垂面△ABC的交點。由于△ABC⊥H面，所以其水平投影積聚成一條直線abc，如圖3.35(b)所示。交點K是平面上的點，其水平投影必積聚在此