普通物理學教程力學課后答案高等教育出版社第五章-角動量2697

第五章角動量習題解答5.1.1我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星近地點高度d=439km,遠地點高度d=2384km,地球半徑R近遠地=6370km,求衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度之比。解：衛(wèi)星在繞地球轉(zhuǎn)動過程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即為地心，引力對地心的力矩為零，所以衛(wèi)星對地心的角動量守恒mv（d+R）=mv（d+R）月近近地月遠遠地v/v=（d+R）/（d+R）近遠遠地近地=（2384+6370）/（439+6370）≈1.29?tibsin?tj的空間曲線運動，其中a、b及ω皆為常數(shù)。5.1.2一個質(zhì)量為m的質(zhì)點沿著racos求此質(zhì)點所受的對原點的力矩。解：vdr/dtasintibcostj??adv/dta2costibsintj??2??2(acostibsintj)r2Fmamr2rFmrr025.1.3一個具有單位質(zhì)量的質(zhì)點在力場F(3t4t)i?(12t6)?j中運動，2其中t是時間。該質(zhì)點在t=0時位于原點，且速度為零。求t=2時該質(zhì)點所受的對原點的力矩。Fdtd(mv)dv(m1)解：據(jù)質(zhì)點動量定理的微分形式，dv[(3t4t)i?(12t6)?j]dt2t(3t24t)dt?jt(12t6)dtdvi?v?j0v(t02t0)i?6(tt)?j322drvdt[(t2t)i?6(tt)?j]dt2?i32???kdrit(32t2)dt6(2t)dtjtrtt000r(1tt)i?(2t3t)?j4332234r(2)(1222)i?(2232)?j433243??i4j43F(2)(3242)i?(1226)?j4i?18?j2(2)r(2)F(2)(i?4?j)(4i?18?j)43i?i??j?j0,ijk,jik??????(2)18k?44(k?)40k?435.1.4地球質(zhì)量為6.0×1024kg，地球與太陽相距149×106km，視地球為質(zhì)點，它繞太陽做圓周運動，求地球?qū)τ趫A軌道中心的角動量。3652460602(149109)2解：Lmvrmr26.010243652460606.02149210422.651040kgm2/s5.1.5根據(jù)5.1.2題所給的條件，求該質(zhì)點對原點的角動量。解：Lrpmrv????m(acostibsintj)(asintibcostj)???tk)mabkm(abcostkabsin225.1.6根據(jù)5.1.3題所給的條件，求質(zhì)點在t=2時對原點的角動量。解：L(2)r(2)p(2)mr(2)v(2)1(i?4?j)12?j16k?435.1.7水平光滑桌面中間有一光滑小孔，輕繩一端伸入孔中，另一端系一質(zhì)量為10g小球，沿半徑為40cm的圓周作勻速圓周運動，這時從孔下拉繩的力為10N。如果繼續(xù)向下拉繩，而使小球10cm的圓周作勻速圓周運動，這時小球的質(zhì)量為m=10×10kg,原來的運動半徑為v;后來的運動半徑為R=10cm,運動速率為v2.-3沿半徑為的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：設(shè)小球-3R=40cm,運動1速率為12先求小球原來的速率v：據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)=mv12/R1，所以，1vRF/m0.4103/1020.2m/s11由于各力對過小孔的豎直軸的力矩為零，所以小球?qū)υ撦S的角動量守恒，mvR=mvR，v2=vR11/R2=0.21122×0.4/0.1=0.8m/s在由R→R的過程中，只有拉力F做功，據(jù)動能定理，有12A1mv21mv21m(v2v2)1m(vv)(vv)F22102(0.80.2)(0.80.2)3103J2122122121125.1.8一個質(zhì)量為m的質(zhì)點在o-xy平面內(nèi)運動，其位置矢量為racostibsintj，其中a、b和ω是正常數(shù)，??試以運動學和動力學觀點證明該質(zhì)點對于坐標原點角動量守恒。證明：vdr/dtasintibcostj??adv/dta2costibsintjr2??2⑴運動Lrmv(acostibsintj)m(asintibcostj)i?i??j?j0,i??j?j(i?)k?學觀點：????顯然與時間t無關(guān)，是個守恒量。Lmabcos2tkmabsin2tkmabk???⑵動力學觀點：rFrmarm(r)mrr0,∴該2∵2質(zhì)點角動量守恒。5.1.9質(zhì)量為200g的小球B以彈性繩在光滑水平面上與固定點A相連。彈性繩的勁度系數(shù)為8N/m，伸展長度為600mm.最初小球的度v如圖所v時，它與A點的且等于800mm，求率v及初速率其自由位置及速示。當小球0的速率變?yōu)榫嚯x最大，此時的速v0.解：設(shè)小球B的質(zhì)量m=0.2kg,原來v時，與A點距離r=0.8m,彈性繩自由B的速率由v→v的過B上的力對過與固定點A的距離r0=0.4m,當伸展的長度為d=0.6m.A點軸的力矩速率為小球程中，作用在小球之和始終為零，因小而球?qū)?A點的角動量守恒，有rv)r0mv0sin30o=rmv(最大距離時，（1）另外,在此過程中,只有保守內(nèi)力（繩的彈力）做功,因能而量守恒，mv21k(rd)21mv2(2)12022為求解方便，將⑴⑵化簡，并代入已知數(shù)據(jù)可得：v4v(1)'0v21.6v(2)'20解此方程組，求得：v≈1.3m/sv≈0.33m/s05.1.10一條不可伸長的細繩穿過鉛直放置的、管口光滑的細管，一端系一質(zhì)量為0.5g的小球，l=2m,θ1=30o，后來繼續(xù)向下拉繩使小球以θ=60o沿水平圓周運動。求小球小球沿水平圓周運動。最初12最初的速度v，最后的速度v以及繩對小球做的總功。12解：隔離小球，受力情況如圖示，應(yīng)用牛頓第二定律，有：Fsinmv2/lsin(1)Fcosmg(2)(1)/(2)得sinv2glsincosvgl/cossin(3)1vgl/cossin19.84/32.38m/s當θ=θ1時1112v3gll2v2223g22(4)當θ=θ2時,2gl2sin222cos2由于作用質(zhì)點上的力對管軸的力矩始終等于零,∴角動量守恒：2mvlsinmvlsinvv1lsinl2sin，將（4）式和三角函數(shù)值代入，可求得：112111222v339.822.383.43m/s23gl1v12332將v代入（4）中，可求得l=0.8m，根據(jù)質(zhì)點動能定理：222AEE1m(v2v2)mg(lcoslcos)Fkp22111210.5103(3.4322.382)0.5103(230.81)2220.0806J5.2.2理想滑放在一砝碼盤上，燃斷輕線，輕彈簧達到自由伸展狀態(tài)即與砝碼脫離。求砝碼升起的高度，已知彈簧勁度系l.輪懸掛兩質(zhì)量為m的砝碼盤。用輕線拴住輕彈簧兩端使它處于壓縮狀態(tài)，將此彈簧豎直也放置質(zhì)量為m的砝碼，使兩盤靜止。數(shù)為k，被彈簧上端放一質(zhì)量為m的砝碼。另一砝碼盤上的長度為0解：設(shè)滑輪半徑為R，彈簧釋放后，彈簧上向上，左邊砝碼盤獲得的速度為v'，方向向下，顯然右邊砝碼盤及砝碼獲得的速度大小也是v',但方向向上（如圖示）。把左盤、左盤上的砝碼和右盤及盤中砝碼視個質(zhì)點系，作為研究對象。在彈簧釋放過程中，作用于質(zhì)點系的外力對滑輪軸的力矩系對滑輪軸的角動量守恒，規(guī)定垂直紙面向外的角動量為正，則有：-mvR+mv’R+2mv’R=0，即v=3v'(1)另外，在此過程中，只有彈簧的彈力和重力做功，因而質(zhì)點系能量守恒，忽略重力勢能的微小變化，則有：邊的砝碼獲得的速度為v，方向為一之和始終為零，故質(zhì)點kl21mv21(3m)v'2mv23mv'2kl(2)20，即12022左盤中的砝碼脫離彈簧獲得速度v后做豎直上拋運動,達到最大高度h時速度為零,據(jù)能量守mv2mghhv2/2g(3)恒,12由⑴⑵可求得v=3kl20/4m，代入⑶中得：h=3kl0/8mg225.2.3兩個滑冰運動員的質(zhì)量各為70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路線間的垂直距離為10m，當彼此交錯時，各抓住10m繩索的一端，然后相對旋轉(zhuǎn)。⑴在抓住繩索一端之前，各自對繩索中心的角動量是多少？抓住之后是多少？⑵它們各自收攏繩索，到繩長為5m時，各自的速率如何？⑶繩長為5m時，繩內(nèi)張力多大？⑷二人在收攏繩索時，各自做了多少功〉⑸總動能如何變化？解：設(shè)每個運動員的質(zhì)量為m=70kg，收繩前相對繩中心o的距離為d=d1=5m，速率為v=v1=6.5m/s；當把繩收攏為d=d2=2.5m時,速率v=v2.⑴對繩中心o點的角動量各為L=mvd11=70×6.5×5=2275kgm2/s（抓住繩索前后角動量相同）系,在收繩o軸的角動量守恒有⑵把兩個運動員視為一個質(zhì)點過程中，質(zhì)點系對2mvd11=2mv2d2∴v2=vd11/d2=