B陀螺儀原理2運(yùn)動(dòng)方程

二自由度陀螺儀運(yùn)動(dòng)方程：矢量表示轉(zhuǎn)子相對(duì)慣性空間的角速度：需要合成

內(nèi)框架坐標(biāo)系相對(duì)慣性空間的角速度：轉(zhuǎn)子相對(duì)內(nèi)框架的角速度：轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角速度：轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩：二自由度陀螺儀運(yùn)動(dòng)方程：推導(dǎo)根據(jù)動(dòng)量矩定理和苛氏定理

其中

二自由度陀螺儀運(yùn)動(dòng)方程：合并簡(jiǎn)化對(duì)每個(gè)坐標(biāo)分量，分別寫出方程

以上稱變態(tài)歐拉動(dòng)力學(xué)方程實(shí)際的陀螺中，一般赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx=Jy，由第三式可得

陀螺馬達(dá)穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩和摩擦力矩抵消，因此

對(duì)前兩式，ω的各分量遠(yuǎn)小于dγ/dt，忽略高階小量，得到簡(jiǎn)化方程

關(guān)于框架角速度和外加力矩的方向

二自由度陀螺儀運(yùn)動(dòng)方程：角速度投影角速度的投影

內(nèi)框架坐標(biāo)系xyz的ω等于兩個(gè)歐拉角速度的矢量和

根據(jù)投影

代入簡(jiǎn)化方程，得到

求導(dǎo)式展開(kāi)

忽略高階小量，得到

二自由度陀螺儀運(yùn)動(dòng)方程：力矩投影忽略高階小量，得到力矩的投影：Mx1和Mx之間

代入前式，得到

實(shí)際β角很小，上式簡(jiǎn)化成

上式稱為陀螺儀的技術(shù)方程。技術(shù)方程的物理意義（慣性力矩和進(jìn)動(dòng)力矩）

二自由度陀螺儀轉(zhuǎn)子軸描述：軌跡平面轉(zhuǎn)子軸運(yùn)動(dòng)軌跡（位置）的描述

轉(zhuǎn)子軸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在空間掃描出一個(gè)錐面轉(zhuǎn)子軸在中心球面上的交點(diǎn)劃出的一段曲線將球面展開(kāi)，得到廣義的坐標(biāo)平面兩個(gè)框架角為描述轉(zhuǎn)子軸位置或運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)

（類似地球的經(jīng)緯度）二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：拉氏變換二自由度陀螺儀的技術(shù)方程

拉氏變換

整理

當(dāng)初始條件都為零，得到

二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：系統(tǒng)方塊圖拉氏變換方程

改寫方程，畫(huà)出系統(tǒng)方塊圖

二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：只考慮Mx1系統(tǒng)方塊圖分析

每個(gè)力矩都同時(shí)引起陀螺儀的兩種運(yùn)動(dòng)陀螺力矩耦合內(nèi)外框架的運(yùn)動(dòng)單個(gè)外加力矩如何分別影響陀螺內(nèi)外框架的運(yùn)動(dòng)？令My=0，只考慮Mx1

對(duì)外框架角α的影響：對(duì)內(nèi)框架角β的影響：二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：穩(wěn)態(tài)分析反饋系統(tǒng)，如果前向通道有積分環(huán)節(jié)，則其穩(wěn)態(tài)特征一般主要由反饋通道決定

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，令上式中s→0，則

等效彈簧效應(yīng)

進(jìn)動(dòng)效應(yīng)

二自由度陀螺儀系統(tǒng)模型：傳遞函數(shù)拉氏變換方程

求解兩個(gè)框架角α、β，得到

由此可以得到從Mx1、My分別到α和β的四個(gè)傳遞函數(shù)

改寫分母項(xiàng)固有振蕩頻率二自由度陀螺儀脈沖響應(yīng)：初始分析沖擊力矩的數(shù)學(xué)模型：脈沖函數(shù)，數(shù)值極大，時(shí)間極短，對(duì)時(shí)間的積分是一個(gè)有限值

陀螺技術(shù)方程

設(shè)力矩作用前，初始條件均為零沖擊力矩開(kāi)始作用后，慣性力矩極大，陀螺力矩可忽略，得到

t1時(shí)刻兩個(gè)框架獲得的角速度t1時(shí)刻兩個(gè)框架轉(zhuǎn)過(guò)的角度

t1后，力矩消失，技術(shù)方程變?yōu)榛谛碌某跏紬l件，做拉氏變換

二自由度陀螺儀脈沖響應(yīng)：拉氏變換考慮t1時(shí)刻的新初始條件，進(jìn)行拉氏變換

求解α(s)和β(s)，得到

部分分式展開(kāi)，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，得到

二自由度陀螺儀脈沖響應(yīng)：反變換求反拉氏變換，得

為了簡(jiǎn)化分析，只考慮沿著外框架軸的力矩Mx1的影響

二自由度陀螺儀脈沖響應(yīng)：只考慮Mx1設(shè)Jx=Jy=Je，第二式可以寫成

可見(jiàn)，力矩Mx1引起轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外兩個(gè)框架作等幅振蕩，相位相差90度。消去時(shí)間變量，得到軌跡方程

軌跡是圓，半徑…圓心…頻率…

二自由度陀螺儀脈沖響應(yīng)：計(jì)算例子例子：設(shè)Jx=Jy=Je=1.38克·厘米·秒2，

H=5160克·厘米·秒，

Mx1=36200克·厘米，

t1=1×10-5

秒。

（注：克=克重，相當(dāng)于每克物體的重量）

章動(dòng)的幅度（半徑）角分章動(dòng)的特點(diǎn)：高頻、微幅

二自由度陀螺儀階躍響應(yīng)：輸入輸出如果陀螺儀受到的力矩為常值，可以用階躍函數(shù)表示：陀螺系統(tǒng)的初始條件都為零時(shí)，頻域輸出響應(yīng)為

反拉氏變換，令ω02=H/(Jx·Jy)得時(shí)域響應(yīng)：

包含穩(wěn)態(tài)解、暫態(tài)解

簡(jiǎn)化分析，只考慮My的影響，令Mx1=0，并設(shè)Jx=Jy=Je

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

二自由度陀螺儀階躍響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)二自由度陀螺儀階躍響應(yīng)：軌跡對(duì)前式移項(xiàng)后兩邊平方相加，得到轉(zhuǎn)子軸的軌跡方程

旋輪線：圓周運(yùn)動(dòng)（章動(dòng)）和平移運(yùn)動(dòng)（進(jìn)動(dòng)）的合成。解釋：圓周運(yùn)動(dòng)線速度：圓心移動(dòng)速度：兩種運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果：車輪無(wú)摩擦滾動(dòng)——旋輪線其中進(jìn)動(dòng)起主導(dǎo)作用

二自由度陀螺儀階躍響應(yīng)：計(jì)算例子例題：My=1克·厘米；H=10000克·厘米·秒；Jx=Jy=Je=4克·厘米·秒2；常值干擾力矩作用時(shí)間t=60秒；計(jì)算：

陀螺漂移率漂移的角度章動(dòng)振幅章動(dòng)頻率常值干擾力矩的產(chǎn)生原因及影響二自由度陀螺儀正弦響應(yīng)：輸入輸出如果作用在陀螺儀上的外加力矩方向不斷改變，大致可以用簡(jiǎn)諧函數(shù)描述

初始條件都為零時(shí)，陀螺頻域輸出響應(yīng)為

做部分分式展開(kāi)以及反拉氏變換，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，得二自由度陀螺儀正弦響應(yīng)：時(shí)域響應(yīng)①、④：章動(dòng)項(xiàng)②、⑤：強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)項(xiàng)③：常值項(xiàng)二自由度陀螺儀正弦響應(yīng)：軌跡只考慮Mx1，設(shè)ωa《ωo

，Jx=Jy=Je，則上式可以簡(jiǎn)化成可見(jiàn)Mx1使轉(zhuǎn)子軸同時(shí)繞內(nèi)外框架軸做受迫振蕩。消去時(shí)間變量，得到軌跡方程：橢圓：長(zhǎng)半軸、短半軸的判斷正弦力矩對(duì)陀螺儀精