第3章系統(tǒng)的時(shí)域分析2

注意：當(dāng)ζ不同時(shí)，（極點(diǎn)）有不同的形式，其階躍響應(yīng)的形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：特征根為：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)極點(diǎn)為：一對(duì)不等的實(shí)根即特征方程為1、ζ>1式中其單位階躍響應(yīng)為ζ>1稱為過(guò)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。階躍響應(yīng)為：極點(diǎn)為：一對(duì)相等的實(shí)根稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過(guò)程。2、ζ=1階躍響應(yīng)為：極點(diǎn)為：一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根3、0<ζ<1極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部決定了指數(shù)衰減的快慢；虛部是振蕩頻率，稱為阻尼振蕩頻率。稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程。極點(diǎn)為：特征方程有一對(duì)共軛的虛根此時(shí)輸出將以頻率ωn做等幅振蕩，稱為零(無(wú))阻尼系統(tǒng)，所以，ωn稱為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。4、ζ=0上述四種情況分別稱為二階無(wú)阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：阻尼系數(shù)特征根極點(diǎn)位置單位階躍響應(yīng)一對(duì)共軛虛根等幅周期振蕩一對(duì)共軛復(fù)根衰減振蕩一對(duì)負(fù)實(shí)重根單調(diào)上升兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升隨著ζ的增加，c(t)將從無(wú)衰減的周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ζ≥1時(shí)c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動(dòng)(無(wú)振蕩)。可見ζ反映實(shí)際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。3.3.2典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)1、衰減振蕩瞬態(tài)過(guò)程(0<ζ<1)（1）上升時(shí)間tr：根據(jù)定義，當(dāng)t=tr

時(shí)，c(tr)=1β稱為阻尼角，這是由于cosβ=ζξ一定時(shí)，ωn越大，tr越?。沪豱一定時(shí)，ξ越大，tr越大。整理得：由于tp出現(xiàn)在第一次峰值時(shí)間，取n=1，有：其中（2）峰值時(shí)間tp：根據(jù)定義，當(dāng)t=tp

時(shí)，（3）最大超調(diào)量δ%將峰值時(shí)間代入（4）調(diào)節(jié)時(shí)間ts根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義，當(dāng)t≥ts時(shí)|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。可見，寫出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為當(dāng)t=t’s時(shí)，有：認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時(shí)，調(diào)整過(guò)程結(jié)束。當(dāng)ζ較小時(shí)，近似?。海瑒t（5）振蕩次數(shù)N由分析知，在ζ=0.4~0.8之間，調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都較小。工程上常取作為設(shè)計(jì)依據(jù)，稱為最佳阻尼常數(shù)。這是一個(gè)單調(diào)上升的過(guò)程。用調(diào)整時(shí)間ts就可以描述瞬態(tài)過(guò)程的性能。（1）對(duì)于ζ=1，極點(diǎn)為：2、非振蕩瞬態(tài)過(guò)程在c(t)中，有兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)，所以是一個(gè)單調(diào)上升的過(guò)程。用調(diào)整時(shí)間ts描述瞬態(tài)過(guò)程的性能。（2）對(duì)于ζ>1，極點(diǎn)為：式中即特征方程為當(dāng)ζ=1時(shí)，系統(tǒng)也具有單調(diào)非振蕩的瞬間過(guò)程，是單調(diào)非振蕩的臨界狀態(tài)。在非振蕩過(guò)程中，它的ts最小。當(dāng)ζ>>1時(shí)，c(t)中包含極點(diǎn)

的衰減項(xiàng)的系數(shù)小，所以由極點(diǎn)s2引起的指數(shù)項(xiàng)衰減的很快，因此，在瞬態(tài)過(guò)程中可以忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。

阻尼系數(shù)ζ是二階系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在ζ>1的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無(wú)超調(diào)和振蕩，但ts長(zhǎng)。當(dāng)ζ≤0時(shí)，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。小結(jié)通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時(shí)間，即希望系統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0～1之間。而不希望處于過(guò)阻尼情況，因?yàn)檎{(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。但對(duì)于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于過(guò)阻尼情況。在欠阻尼(0<ζ<1)情況下工作時(shí)，若ζ過(guò)小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到，只與ζ有關(guān)，所以一般先根據(jù)ζ來(lái)選擇。越大，ts↓（由超調(diào)量確定ζ后）為了限制超調(diào)量，并使ts較短，ζ一般取0.4～0.8，則超調(diào)量在25%～1.5%之間。最佳阻尼常數(shù)ζ=0.707，超調(diào)量=4.3%例：求系統(tǒng)的特征參數(shù)ζ，ωn并分析與性能指標(biāo)的關(guān)系：解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：K↑時(shí)，T↑時(shí)，瞬態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系（假設(shè)0<ζ<1）快速性好，振蕩加劇例：試分析：1）單位階躍輸入時(shí)，該系統(tǒng)能否正常工作？

2）若要求

=0.707，系統(tǒng)應(yīng)作如何改進(jìn)？

=0

無(wú)阻尼，等幅不衰減振蕩工作不正常解：3.3.3改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因（1）[0,t1]正向修正作用太大，特別在靠近t1點(diǎn)時(shí)。（2）[t1,t2]反向修正作用不足。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路（1）[0,t1]減小正向修正作用。附加與原誤差信號(hào)相反的信號(hào)。（2）[t1,t2]加大反向修正作用。附加與原誤差信號(hào)同向的信號(hào)。（3）[t2,t3]減小反向修正作用。附加與原誤差信號(hào)相反的信號(hào)。（4）[t3,t4]加大正向修正作用。附加與原誤差信號(hào)同向的信號(hào)。為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。速度反饋和速度順饋是較常用的校正方法。誤差的比例+微分控制：以誤差信號(hào)e(t)與誤差信號(hào)的微分信號(hào)e’(t)的和產(chǎn)生控制作用。簡(jiǎn)稱PI控制。又稱微分順饋輸出量的微分負(fù)反饋控制：將輸出量的速度信號(hào)c’(t)采用負(fù)反饋形式反饋到輸入端并與誤差信號(hào)e(t)比較，構(gòu)成一個(gè)內(nèi)反饋回路。又稱速度反饋。1、輸出量的微分負(fù)反饋控制（速度反饋）---與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較（1）不改變無(wú)阻尼振蕩頻率ωn（2）等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts變小。+-2、誤差的比例+微分控制-與標(biāo)準(zhǔn)形式比較（2）等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts變小。（