第4章-測(cè)量系統(tǒng)的基本特性-檢測(cè)技術(shù)與儀器-工程測(cè)試技術(shù)-教學(xué)課件

一般測(cè)量系統(tǒng)由三個(gè)基本環(huán)節(jié)組成：

上圖表示輸入信號(hào)x(t)送入此組件后經(jīng)過規(guī)定的傳輸特性h(t)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂盘?hào)y(t)。其中h(t)為由此組件的物理性能決定的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則。對(duì)比例放大環(huán)節(jié)h(t)可寫成k（電子或機(jī)械裝置的放大系數(shù)）4.1概述

一般的工程測(cè)試問題總是處理輸入量x(t)、系統(tǒng)的傳輸轉(zhuǎn)換特性和輸出量y(t)三者之間的關(guān)系。①x(t)、y(t)是可以觀察的量，則通過x(t)、y(t)可推斷測(cè)量系統(tǒng)的傳輸特性或轉(zhuǎn)換特性；②h(t)已知，y(t)可測(cè)，則可通過h(t)、y(t)推斷導(dǎo)致該輸出的相應(yīng)輸入量x(t)，這是工程測(cè)試中最常見的問題；③若x(t)、h(t)已知，則可推斷或估計(jì)系統(tǒng)的輸出量。

理想的測(cè)量系統(tǒng)應(yīng)該具有單值的、確定的輸入―輸出關(guān)系。其中以輸出和輸入成線性關(guān)系為最佳。在靜態(tài)測(cè)量中，測(cè)量系統(tǒng)的這種線性關(guān)系雖說總是所希望的，但不是必須的，因?yàn)樵陟o態(tài)測(cè)量中可用曲線校正或輸出補(bǔ)償技術(shù)作非線性校正；在動(dòng)態(tài)測(cè)量中，測(cè)量工作本身應(yīng)該力求是線性系統(tǒng)，這不僅因?yàn)槟壳爸挥袑?duì)線性系統(tǒng)才能作比較完善的數(shù)學(xué)處理與分析，而且也因?yàn)樵趧?dòng)態(tài)測(cè)試中作非線性校正目前還相當(dāng)困難。欲使測(cè)量結(jié)果具有普遍的科學(xué)意義，測(cè)量系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)是經(jīng)過檢驗(yàn)的。標(biāo)定：用已知的標(biāo)準(zhǔn)校正儀器或測(cè)量系統(tǒng)的過程稱為標(biāo)定。輸入到測(cè)量系統(tǒng)中的已知量是靜態(tài)量還是動(dòng)態(tài)量，標(biāo)定分靜態(tài)標(biāo)定和動(dòng)態(tài)標(biāo)定。

4.2測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)標(biāo)定與靜態(tài)特性靜態(tài)標(biāo)定：就是將原始基準(zhǔn)器，或比被標(biāo)定系統(tǒng)準(zhǔn)確度高的各級(jí)標(biāo)準(zhǔn)器或已知輸入源作用于測(cè)量系統(tǒng)，得出測(cè)量系統(tǒng)的激勵(lì)－響應(yīng)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)操作。

要求：標(biāo)定時(shí)，一般應(yīng)在全量程范圍內(nèi)均勻地取定5個(gè)或5個(gè)以上的標(biāo)定點(diǎn)（包括零點(diǎn)）正行程：從零點(diǎn)開始，由低至高，逐次輸入預(yù)定的標(biāo)定值此稱標(biāo)定的正行程。反行程：再倒序依次輸入預(yù)定的標(biāo)定值，直至返回零點(diǎn)，此稱反行程。靜態(tài)標(biāo)定①確定儀器或測(cè)量系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系，賦予儀器或測(cè)量系統(tǒng)分度值；②確定儀器或測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)特性指標(biāo)；③消除系統(tǒng)誤差，改善儀器或測(cè)量系統(tǒng)的正確度靜態(tài)標(biāo)定的主要作用測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)特性

測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)特性：通過靜態(tài)標(biāo)定，可得到測(cè)量系統(tǒng)的響應(yīng)值yi和激勵(lì)值xi之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱為測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)特性。測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)特性可以用一個(gè)多項(xiàng)式方程表示，即

稱為測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型工作曲線：方程稱之為工作曲線或靜態(tài)特性曲線。實(shí)際工作中，一般用標(biāo)定過程中靜態(tài)平均特性曲線來描述。正行程曲線：正行程中激勵(lì)與響應(yīng)的平均曲線反行程曲線：反行程中激勵(lì)與響應(yīng)的平均曲線實(shí)際工作曲線：正反行程曲線之平均工作曲線

正行程工作曲線反行程工作曲線Y(t)0X(t)實(shí)際工作曲線工作曲線

理想的情況是測(cè)量系統(tǒng)的響應(yīng)和激勵(lì)之間有線性關(guān)系，這時(shí)數(shù)據(jù)處理最簡(jiǎn)單，并且可和動(dòng)態(tài)測(cè)量原理相銜接。由于原理、材料、制作上的種種客觀原因，測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)特性不可能是嚴(yán)格線性的。如果在測(cè)量系統(tǒng)的特性方程中，非線性項(xiàng)的影響不大，實(shí)際靜態(tài)特性接近直線關(guān)系，則常用一條參考直線來代替實(shí)際的靜態(tài)特性曲線，近似地表示響應(yīng)－激勵(lì)關(guān)系。測(cè)量系統(tǒng)的靜態(tài)特性

①端點(diǎn)連線將靜態(tài)特性曲線上的對(duì)應(yīng)于測(cè)量范圍上、下限的兩點(diǎn)的連線作為工作直線；端點(diǎn)連線Y(t)X(t)0參考直線的選用方案②端點(diǎn)平移線平行于端點(diǎn)連線，且與實(shí)際靜態(tài)特性（常取平均特性為準(zhǔn)）的最大正偏差和最大負(fù)偏差的絕對(duì)值相等的直線；Y(t)X(t)參考直線的選用方案③最小二乘直線直線方程的形式為且對(duì)于各個(gè)標(biāo)定點(diǎn)（xi，yi）偏差的平方和最小的直線；式中a、b為回歸系數(shù)，且a、b兩系數(shù)具有物理意義；④過零最小二乘直線直線方程的形式為且對(duì)各標(biāo)定點(diǎn)（xi，yi）偏差的平方和最小的直線。參考直線的選用方案靜態(tài)特性指標(biāo)

靈敏度S：是儀器在靜態(tài)條件下響應(yīng)量的變化△y和與之相對(duì)應(yīng)的輸入量變化△x的比值。如果激勵(lì)和響應(yīng)都是不隨時(shí)間變化的常量(或變化極慢，在所觀察的時(shí)間間隔內(nèi)可近似為常量)，依據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本特性，則有：

當(dāng)特性曲線呈非線性關(guān)系時(shí)，靈敏度的表達(dá)式為：xxyyy△y△y△x△x00(a)(b)x靈敏度量程：測(cè)量上限值與下限值的代數(shù)差稱為量程。測(cè)量范圍：測(cè)量系統(tǒng)能測(cè)量的最小輸入量（下限）至最大輸入量（上限）之間的范圍稱為測(cè)量范圍。S00xS0±δ·S0%量程及測(cè)量范圍非線性：通常也稱為線性度，是指測(cè)量系統(tǒng)的實(shí)際輸入輸出特性曲線對(duì)于參考線性輸入輸出特性的接近或偏離程度，用實(shí)際輸入－輸出特性曲線對(duì)參考線性輸入－輸出特性曲線的最大偏差量與滿量程的百分比來表示。即

－－線性度－－滿量程－－最大偏差非線性其中：xy0實(shí)際工作曲線參考工作曲線YFS△Lmax

顯然越小，系統(tǒng)的線性程度越好，實(shí)際工作中經(jīng)常會(huì)遇到非線性較為嚴(yán)重的系統(tǒng)，此時(shí)，可以采取限制測(cè)量范圍、采用非線性擬合或非線性放大器等技術(shù)措施來提高系統(tǒng)的線性度。遲滯：亦稱滯后量、滯后或回程誤差，表征測(cè)量系統(tǒng)在全量程范圍內(nèi)，輸入量由小到大(正行程)或由大到小(反行程)兩者靜態(tài)特性不一致的程度。顯然,越小,遲滯性能越好正行程工作曲線反行程工作曲線y0YFSXFS△Hmaxx遲滯

重復(fù)性表示測(cè)量系統(tǒng)在同一工作條件下，按同一方向作全量程多次(三次以上)測(cè)量時(shí)，對(duì)于同一個(gè)激勵(lì)量其測(cè)量結(jié)果的不一致程度。yYFSXFS△R0x重復(fù)性

重復(fù)性誤差為隨機(jī)誤差，引用誤差表示形式為△R——同一激勵(lì)量對(duì)應(yīng)多次循環(huán)的同向行程響應(yīng)量的極差

重復(fù)性是指標(biāo)定值的分散性，是一種隨機(jī)誤差，也可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差來計(jì)算△R:

K——子樣標(biāo)準(zhǔn)偏差置信因子，K=2時(shí)，置信度為95%;K=3時(shí)，置信度為99.73%。標(biāo)定循環(huán)次數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ按貝塞爾公式計(jì)算,即、

、

、、——正、反行程各標(biāo)定點(diǎn)響應(yīng)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差

——正、反行程各標(biāo)定點(diǎn)的響應(yīng)量的平均值

j——標(biāo)定點(diǎn)序號(hào)，j＝1、2、3、…、m；i——標(biāo)定的循環(huán)次數(shù)，i＝1、2、3、…、n；

yjiD、yjiI——正、反行程各標(biāo)定點(diǎn)輸出值再取σjD

、σjI的均方值為子樣的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ,則6．準(zhǔn)確度

準(zhǔn)確度是指測(cè)量?jī)x器的指示接近被測(cè)量真值的能力。準(zhǔn)確度是重復(fù)誤差和線性度等的綜合。準(zhǔn)確度可以用輸出單位來表示:準(zhǔn)確度表示測(cè)量的可信程度，準(zhǔn)確度不高可能是由儀器本身或計(jì)量基準(zhǔn)的不完善兩方面原因造成。

在工程應(yīng)用中多以儀器的滿量程百分比誤差來表示，即:7．分辨率

分辨率是指測(cè)量系統(tǒng)能測(cè)量到輸入量最小變化的能力，即能引起響應(yīng)量發(fā)生變化的最小激勵(lì)變化量，用△x表示。由于測(cè)量系統(tǒng)或儀器在全量程范圍內(nèi)，各測(cè)量區(qū)間的△x不完全相同，因此常用全量程范圍內(nèi)最大的△x即△xmax與測(cè)量系統(tǒng)滿量程輸出值YFS之比的百分率表示其分辨能力，稱為分辨率，用F表示，即為了保證測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量準(zhǔn)確度，工程上規(guī)定：測(cè)量系統(tǒng)的分辨率應(yīng)小于允許誤差的1/3,1/5或1/10?？梢酝ㄟ^提高儀器的敏感單元的增益的方法來提高分辨率。測(cè)量?jī)x器必須有足夠高的分辨率。

閾值(死區(qū)值)的概念簡(jiǎn)介

在測(cè)量靜態(tài)信號(hào)時(shí)，線性測(cè)量系統(tǒng)的輸出―輸入特性是一條直線，二者之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而且因?yàn)楸粶y(cè)信號(hào)不隨時(shí)間變化，測(cè)量和記錄過程不受時(shí)間限制。

測(cè)量系統(tǒng)對(duì)動(dòng)態(tài)信號(hào)的測(cè)量任務(wù)不僅需要精確地測(cè)量信號(hào)幅值的大小，而且需要測(cè)量和記錄動(dòng)態(tài)信號(hào)變化過程的波形，這就要求測(cè)量系統(tǒng)能迅速準(zhǔn)確地測(cè)出信號(hào)幅值的大小和無失真地再現(xiàn)被測(cè)信號(hào)隨時(shí)間變化的波形。

測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是指系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)（輸入）的響應(yīng)（輸出）特性。一個(gè)動(dòng)態(tài)特性好的測(cè)量系統(tǒng)，其輸出隨時(shí)間變化的規(guī)律（變化曲線），將能同時(shí)再現(xiàn)輸入隨時(shí)間變化的規(guī)律（變化曲線），即具有相同的時(shí)間函數(shù)。預(yù)備知識(shí)——線性時(shí)不變系統(tǒng)

測(cè)量系統(tǒng)應(yīng)保證系統(tǒng)的信號(hào)輸出能精確地反映輸入。對(duì)于一個(gè)理想的測(cè)量系統(tǒng)應(yīng)具有確定的輸入與輸出關(guān)系。其中輸出與輸入成線性關(guān)系時(shí)為最佳，即理想的測(cè)量系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。

對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)具有以下主要性質(zhì)：（1）疊加性與比例性若x1(t)→y1(t)；x2(t)→y2(t)及c1x1(t)→c1y1(t)；c2x2(t)→c2y2(t)則[c1x1(t)±c2x2(t)]→[c1y1(t)±c2y2(t)]式中，c1、c2為任意常數(shù)。說明：系統(tǒng)不具備該性質(zhì)

微分性質(zhì)若X(t)→y(t)，則即，系統(tǒng)對(duì)輸入微分的響應(yīng)，等同于對(duì)原輸入響應(yīng)的微分。

若x(t)→y(t)，即，當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入積分的響應(yīng)等同于對(duì)原輸入響應(yīng)的積分。積分性質(zhì)

若輸入為正弦信號(hào):x(t)=Asin

t

則輸出函數(shù)必為:y(t)=Bsin(

t±

)

上式表明，在穩(wěn)態(tài)時(shí)線性系統(tǒng)的輸出，其頻率恒等于原輸入的頻率，但其幅值與相角均有變化。頻率不變性

線性時(shí)不變系統(tǒng)有兩個(gè)十分重要的性質(zhì)，即疊加性和頻率不變性。根據(jù)疊加性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)有n個(gè)激勵(lì)同時(shí)作用時(shí)，那么它的響應(yīng)就等于這n個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。即各個(gè)輸入所引起的輸出是互不影響的。在分析常系數(shù)線性系統(tǒng)時(shí)，可將一個(gè)復(fù)雜的激勵(lì)信號(hào)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的激勵(lì)，如利用傅里葉變換，將復(fù)雜信號(hào)分解成一系列諧波或分解成若干個(gè)小的脈沖激勵(lì)，然后求出這些分量激勵(lì)的響應(yīng)之和。

頻率不變性表明，當(dāng)線性系統(tǒng)的輸入為某一頻率時(shí)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也為同一頻率的信號(hào)。在工程應(yīng)用中，通常采用一些足以反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的函數(shù)，將系統(tǒng)的輸出與輸入聯(lián)系起來。這些函數(shù)有傳遞函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)等。測(cè)量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性描繪方法

在靜態(tài)測(cè)量情況下，測(cè)量系統(tǒng)輸出量（響應(yīng)）與輸入量（激勵(lì)）的關(guān)系符合式，即輸出量為輸入量的函數(shù)。式中a0、a1、a2這些常系數(shù)均應(yīng)有物理意義。

在動(dòng)態(tài)測(cè)量情況下，如果輸入量隨時(shí)間變化時(shí)，輸出量能立即隨之無失真地變化的話，那么這樣的系統(tǒng)可看作是理想的。但實(shí)際的測(cè)量系統(tǒng)，總是存在著諸如彈性、慣性和阻尼等元件。此時(shí)，輸出y不僅與輸入x有關(guān)，而且還與輸入量的變化速度dx/dt

，加速度d2x/dt2等有關(guān)。

要精確地建立測(cè)量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是很困難的。

從數(shù)學(xué)上可以用常系數(shù)線性微分方程表示系統(tǒng)的輸出量y與輸入量x的關(guān)系，這種方程的通式如下：式中，an、an-1、…、a1、a0和bm、bm-1、…、b1、b0均為與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)但與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。（2-20）

1．傳遞函數(shù)如果y(t)是時(shí)間變量t的函數(shù)，并且當(dāng)t≦0時(shí)，y(t)=0，則它的拉普拉氏變換Y(S)的定義為:

可以記為式中是復(fù)變量

拉氏變換復(fù)習(xí)對(duì)微分形式有

對(duì)積分形式有：對(duì)卷積形式：

對(duì)式（2-20）取拉氏變換，并認(rèn)為和及它們的各階時(shí)間導(dǎo)數(shù)的初值為零，則得上式等號(hào)右邊是一個(gè)與輸入無關(guān)的表達(dá)式，它只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，因而等號(hào)右邊是測(cè)量系統(tǒng)特性的一種表達(dá)式，是一個(gè)描述測(cè)量系

統(tǒng)轉(zhuǎn)換及傳遞信號(hào)特性的函數(shù)

定義其初始值為零時(shí)，輸出的拉氏變換和輸入的拉氏變換之比稱為測(cè)量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并記為，則

引入傳遞函數(shù)概念之后，在、和三者之中，知道任意兩個(gè)，第三個(gè)便可求得。即：（2-23）

傳遞函數(shù)的物理意義：1）傳遞函數(shù)反映了測(cè)量系統(tǒng)的固有特性，不隨輸入信號(hào)、輸出信號(hào)的變化而變化；2）不同類型的測(cè)量系統(tǒng)可用同一種形式的拉氏傳遞函數(shù)表達(dá)。

串并聯(lián)系統(tǒng)的拉氏傳遞函數(shù)計(jì)算方法：1）串聯(lián)系統(tǒng)：2）并聯(lián)系統(tǒng)：

如：有有：

2.頻率響應(yīng)函數(shù)

對(duì)于穩(wěn)定的常系數(shù)線性系統(tǒng)，可用傅里葉變換代替拉氏變換:

或

稱為測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為頻率響應(yīng)或頻率特性。頻率響應(yīng)是傳遞函數(shù)的一個(gè)特例。

定義一：測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是在初始條件為零時(shí)，輸出的傅里葉變換與輸入的傅里葉變換之比，是在“頻域”對(duì)系統(tǒng)傳遞信息特性的描述。

頻率響應(yīng)函數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù)，用指數(shù)形式表示：式中——

的模，

——

的相角：稱為測(cè)量系統(tǒng)的幅頻特性。式中，，分別為頻率響應(yīng)函數(shù)的實(shí)部與虛部。稱為測(cè)量系統(tǒng)的相頻特性。

—

為實(shí)頻函數(shù)—

為虛頻函數(shù)

由兩個(gè)頻率響應(yīng)分別為和的定常系數(shù)線性系統(tǒng)串接而成的總系統(tǒng)，如果后一系統(tǒng)對(duì)前一系統(tǒng)沒有影響，那么，描述整個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、幅頻特性和相頻特性為：

常系數(shù)線性測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是頻率的函數(shù)，與時(shí)間、輸入量無關(guān)。

如果系統(tǒng)為非線性的，則將與輸入有關(guān)；若系統(tǒng)是非常系數(shù)的，則還與時(shí)間有關(guān)。補(bǔ)充定義二：在穩(wěn)態(tài)條件下，穩(wěn)態(tài)正弦激勵(lì)的響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)正弦激勵(lì)之比與頻率的關(guān)系。物理意義同傳遞函數(shù)，表征了測(cè)量系統(tǒng)等同的處理不同頻率信號(hào)的能力。說明：這里的響應(yīng)函數(shù)是指對(duì)一個(gè)裝置、器件或系統(tǒng)而言的；對(duì)一個(gè)具體信號(hào)來講是不存在響應(yīng)函數(shù)的。

測(cè)定方法（頻率響應(yīng)函數(shù)可用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定）a.用正弦激勵(lì)及其響應(yīng)測(cè)定；b.非正弦的，在零初條件下，作和的付氏變換，求。3、沖激響應(yīng)函數(shù)使這時(shí)自然會(huì)想到引入單位沖激函數(shù)。根據(jù)單位沖激函數(shù)的定義和函數(shù)的抽樣性質(zhì)，可求出單位沖激函數(shù)的拉氏變換，即由于，將其代入式（2-23）得

由式可知理想狀況下若選擇一種激勵(lì)對(duì)上式兩邊取拉氏逆變換，且令則有

上式表明，單位沖激函數(shù)的響應(yīng)同樣可描述測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，它同傳遞函數(shù)是等效的，不同的是一個(gè)在復(fù)頻域，一個(gè)是在時(shí)間域，通常稱h(t)為沖激響應(yīng)函數(shù)。

對(duì)于任意輸入所引起的響應(yīng)，可利用兩個(gè)函數(shù)的卷積關(guān)系，即系統(tǒng)的響應(yīng)等于沖激響應(yīng)函數(shù)同激勵(lì)的卷積，即典型測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性及分析

測(cè)量系統(tǒng)的種類和形式很多，一般可以簡(jiǎn)化為一階或二階系統(tǒng)。1．典型一階的頻率響應(yīng)

在工程上，將視為一階測(cè)量系統(tǒng)的微分方程的通式，可改寫為（2-34）式中——具有時(shí)間的量綱，稱為系統(tǒng)的時(shí)間

——系統(tǒng)的靈敏度s，具有輸出/輸入的量綱。常數(shù)，一般記為；

由于在線性測(cè)量系統(tǒng)中靈敏度s為常數(shù)，在動(dòng)態(tài)特性分析中，s只起著使輸出量增加s倍的作用。在討論任意測(cè)量系統(tǒng)時(shí)，令=1靈敏度歸一化后，式（2-34）寫成

該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)，頻率特性、幅頻特性、相頻特性分別為傳遞函數(shù)：頻率響應(yīng)函數(shù)：幅頻特性：相頻特性：

典型例：圖2-7所示的由彈簧阻尼器組成的機(jī)械系統(tǒng)其微分方程為或

式中k——彈性剛度；

c——阻尼系數(shù)；

τ——時(shí)間常數(shù)，τ=c/k

。動(dòng)態(tài)特性討論：

圖2-8為一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性曲線。由圖2-8看出，時(shí)間常數(shù)越小，頻率響應(yīng)特性越好。21.010520.11.00.70.50.50.40.30.20.20.110521.00.50.20.1-80°-60°-40°-20°0°ωτφ(ω)(a)幅頻特性；(b)相頻特性。(a)

(b)圖2-8一階測(cè)量系統(tǒng)的頻率特性ωτA(ω)

當(dāng)時(shí)：

，表明測(cè)量系統(tǒng)輸出與輸入為線性關(guān)系；

很小，，，相位差與頻率呈線性關(guān)系。2．典型二階測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

典型二階測(cè)量系統(tǒng)的微分方程通式為

傳遞函數(shù)：頻率響應(yīng)函數(shù)：幅頻特性：相頻特性：

式中——測(cè)量系統(tǒng)的固有圓頻率，

——測(cè)量系統(tǒng)的阻尼比系數(shù)，典型例：圖2-9所示彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)其微分方程為改寫為

式中

m——系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)部分的質(zhì)量；

c——阻尼系數(shù)；

k——彈簧剛度；

——系統(tǒng)的固有圓頻率；

——系統(tǒng)的阻尼比系數(shù)

cc——臨界阻尼系數(shù)，。動(dòng)態(tài)特性討論：圖2-10為二階測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性曲線?？梢娤到y(tǒng)的頻率響應(yīng)特性好壞，取決于系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比。（1）＜1，時(shí)，幅頻特性平直，輸出與輸入為線性關(guān)系；很小，與為線性關(guān)系。

系統(tǒng)的輸出y(t)真實(shí)準(zhǔn)確地再現(xiàn)輸入x(t)的波形，這是測(cè)試設(shè)備應(yīng)有的性能。結(jié)論：為了使測(cè)試結(jié)果能精確地再現(xiàn)被測(cè)信號(hào)的波形，在傳感器設(shè)計(jì)或測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，必須使其阻尼比＜1，固有圓頻率至少應(yīng)大于被測(cè)信號(hào)頻率的（3～5）倍，即≥(3～5)。

在實(shí)際測(cè)試中，被測(cè)量為非周期信號(hào)時(shí)，可將其分解為各次諧波，從而得到其頻譜。如果傳感器的固有頻率不低于輸入信號(hào)諧波中最高頻率的（3～5）倍，這樣可保證動(dòng)態(tài)測(cè)試精度。但保證≥(3～5)，制造上很困難,且太高又會(huì)影響其靈敏度。但是進(jìn)一步分析信號(hào)的頻譜可知：在各次諧波中，高次諧波具有較小的幅值，占整個(gè)頻譜中次要部分，所以即使測(cè)量系統(tǒng)對(duì)它們沒有完全地響應(yīng)，對(duì)整個(gè)測(cè)量結(jié)果也不會(huì)產(chǎn)生太大的影響。

實(shí)踐證明：在選用和設(shè)計(jì)測(cè)量系統(tǒng)時(shí)，保證系統(tǒng)的固有頻率不低于被測(cè)信號(hào)基頻的10倍即可。即≥(3～5)×(3～5)

為減小動(dòng)態(tài)誤差和擴(kuò)大頻響范圍，一般應(yīng)提高測(cè)量系統(tǒng)的固有頻率，提高是通過減小系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)部分質(zhì)量和增加彈性敏感元件的剛度來實(shí)現(xiàn)的（）。但剛度k增加，必然使靈敏度按相應(yīng)比例減小。（2）阻尼比是測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)和選用時(shí)要考慮的另一個(gè)重要參數(shù)。＜1，為欠阻尼；=1，為臨界阻尼；＞1，為過阻尼。一般系統(tǒng)都工作于欠阻尼狀態(tài)典型激勵(lì)的系統(tǒng)響應(yīng)

測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性除了用頻域中頻率特性來評(píng)價(jià)外，也可用時(shí)域中瞬態(tài)響應(yīng)和過渡過程來分析。階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、斜坡函數(shù)等是常用的激勵(lì)信號(hào)。1.階躍信號(hào)；2.沖激信號(hào)（δ信號(hào)）；3.斜坡信號(hào)；4.三者關(guān)系：由于三者之間滿足積分及微分關(guān)系，因此其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)也應(yīng)該滿足積分微分關(guān)系。

幾種典型響應(yīng)的特點(diǎn)：1）動(dòng)態(tài)誤差：產(chǎn)生動(dòng)態(tài)誤差的原因：一般測(cè)量系統(tǒng)的靈敏度是由靜態(tài)標(biāo)定獲得的，也就是說用的靈敏度來判讀測(cè)量系統(tǒng)的輸出值，對(duì)動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)量來講，由于一階、二階系統(tǒng)的幅頻特性不可能做到從零頻到無窮大是一條平直的直線，因此產(chǎn)生測(cè)量誤差是必然的。動(dòng)態(tài)誤差定義：對(duì)動(dòng)態(tài)測(cè)量來講，由于測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性不夠理想，造成輸出信號(hào)的波形與輸入信號(hào)的波形的畸變稱之為動(dòng)態(tài)誤差。2）穩(wěn)態(tài)誤差：僅與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)有關(guān)，而不隨時(shí)間變化的誤差。3）瞬態(tài)誤差：不僅與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)有關(guān)，且隨時(shí)間變化而變化，隨時(shí)間的增大而減小的誤差。2）減小誤差的方法一階系統(tǒng)：時(shí)間常數(shù)的選取原則。一般的講，時(shí)間常數(shù)越小越好

二階系統(tǒng)：、選取原則。、兩參數(shù)要正確、合理的選擇，一般地，要盡可能大，選擇在0.6～0.8之間表2-1一階和二階系統(tǒng)對(duì)各種典型輸入信號(hào)的響應(yīng)

測(cè)試技術(shù)測(cè)量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性之三

我們選擇測(cè)量系統(tǒng)總是希望它們具有良好的響應(yīng)特性，即精度高、靈敏度高、輸出波形無失真地復(fù)現(xiàn)輸入波形等。

在時(shí)域內(nèi)，測(cè)量系統(tǒng)輸出和輸入應(yīng)滿足下列關(guān)系:式中，和都是常數(shù)。此式說明該系統(tǒng)的輸出波形精確地與輸入波形相似。只不過對(duì)應(yīng)瞬間放大了和在時(shí)間t滯后了，可見，滿足式（2-46）才可能使輸出的波形無失真地復(fù)現(xiàn)輸入波形。（2-46）2.4.5無失真測(cè)試條件

如圖所示

對(duì)式（2-46）取傅里葉變換得

使輸出的波形無失真地復(fù)現(xiàn)輸入波形，則測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)應(yīng)當(dāng)滿足：即

（2-48）（2-49）

精確地測(cè)定各頻率分量的幅值和相位來說，理想的測(cè)量系統(tǒng)的幅頻特性應(yīng)當(dāng)是常數(shù)，相頻特性應(yīng)當(dāng)是線性關(guān)系，否則就要產(chǎn)生失真。幅值失真：不等于常數(shù)所引起的失真。相位失真：與不是線性關(guān)系所引起的失真。應(yīng)該指出：滿足式（2-48）、式（2-49）所示的條件，系統(tǒng)的輸出仍滯后于輸入一定的時(shí)間。

如測(cè)試結(jié)果要用為反饋信號(hào)，則上述條件上是不充分的，因?yàn)檩敵鰧?duì)輸入時(shí)間的滯后可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這時(shí)才是理想的。一、二階測(cè)量系統(tǒng)不失真條件討論：1）對(duì)一階測(cè)量系統(tǒng)而言，時(shí)間常數(shù)愈小，則響應(yīng)愈快。如斜坡函數(shù)的響應(yīng)，其時(shí)間滯后和穩(wěn)定誤差將愈小。

對(duì)正弦輸入的響應(yīng)幅值增大。2）二階測(cè)量系統(tǒng)

在范圍內(nèi)，的數(shù)值較小，而且特性接近直線。在該范圍內(nèi)的變化不超過10%，因此這個(gè)范圍是理想的工作范圍。特性曲線如下圖所示。

圖為二階系統(tǒng)的頻率特性曲線

在范圍內(nèi)，接近于180°，且差值很小，如在實(shí)測(cè)或數(shù)據(jù)處理中用減去固定相位差值或把測(cè)試信號(hào)反相180°的方法，則也接近于可不失真地恢復(fù)被測(cè)信號(hào)波形。

若輸入信號(hào)頻率范圍在上述兩者之間，則系統(tǒng)的頻率特性受阻尼比的影響較大而需作具體分析。

表明，愈小，系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差愈小。對(duì)階躍輸入的響應(yīng)，隨著的減小，瞬態(tài)振蕩的次數(shù)增多，過調(diào)量增大，過渡過程增長(zhǎng)。

在時(shí)，幅值在比較寬的范圍內(nèi)保持不變，可獲得較為合適的綜合特性。

計(jì)算表明：當(dāng)時(shí)，在的頻率范圍中，幅值特性的變化不會(huì)超過5%，在一定程度下可認(rèn)為在的范圍內(nèi)，系統(tǒng)的也接近于直線，因而產(chǎn)生的相位失真很小。2.5測(cè)量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性獲取方法

測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)標(biāo)定主要是研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，與動(dòng)態(tài)響應(yīng)有關(guān)的參數(shù)，一階測(cè)量系統(tǒng)只有一個(gè)時(shí)間系數(shù)，二階測(cè)量系統(tǒng)則有固有頻率和阻尼比兩個(gè)參數(shù)。1.階躍響應(yīng)法1）一階系統(tǒng)

對(duì)于一階測(cè)量系統(tǒng)，測(cè)得階躍響應(yīng)后，取輸出值達(dá)到最終值63.2%所經(jīng)過的時(shí)間作為時(shí)間常數(shù)。

★★存在的問題：沒有涉及響應(yīng)的全過程，測(cè)量結(jié)果的可靠性僅僅取決某些個(gè)別的瞬時(shí)值，尤其是零點(diǎn)不好確定，其次是動(dòng)態(tài)測(cè)量中存在隨即噪聲的影響，必然影響到讀數(shù)誤差。★改進(jìn)方法：一階測(cè)量系統(tǒng)的階躍響應(yīng)函數(shù)為改寫后得令式中（2-50）式(2-50)表明z與時(shí)間t成線性關(guān)系，并且有（見圖2-11）。有了這些數(shù)據(jù)后，可采用最小二乘法求取時(shí)間常數(shù)

優(yōu)點(diǎn)：可以利用原點(diǎn)數(shù)據(jù)，排除兩點(diǎn)求取的誤差。如果是一階系統(tǒng)，z—t必然是線性關(guān)系，若用第一種方法，很可能會(huì)將過阻尼二階系統(tǒng)當(dāng)成了一階系統(tǒng)處理。

根據(jù)z―t曲線與直線擬合程度可判斷系統(tǒng)和一階線性測(cè)量系統(tǒng)的符合程度。2）二階系統(tǒng)

典型的欠阻尼(<1)二階測(cè)量系統(tǒng)的階躍響應(yīng)函數(shù)表明，其瞬態(tài)響應(yīng)是以的圓頻率作衰減振蕩的，此圓頻率稱為有阻尼圓頻率，并記為。

按照求極值的通用方法，可求得各振蕩峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間tp=0、π/、2π/、…，將t=π/代入表2-1中單位階躍響應(yīng)式，可求得最大過調(diào)量M(圖2-12)和阻尼比之間的關(guān)系。測(cè)得M之后，便可按式（2-53）或者與之相應(yīng)的圖2-13來求得阻尼比，即:（2-52）或（2-53）★存在問題：同一階系統(tǒng)?！镒⒁猓?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)★改進(jìn)方法：

如果測(cè)得階躍響應(yīng)有較長(zhǎng)瞬變過程，還可利用任意兩個(gè)過調(diào)量和來求得阻尼比，其中n為兩峰值相隔的周期（整數(shù)）。設(shè)峰值對(duì)應(yīng)的時(shí)間為ti，則峰值對(duì)應(yīng)的時(shí)間為將它們代入表2-1中二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)計(jì)算式，可得整理后可得其中(2-54)

若考慮當(dāng)＜0.1時(shí)，以1代替，此時(shí)不會(huì)產(chǎn)生過大的誤差（不大于0.6%），則式（2-54）可改寫為2.幅頻函數(shù)確定法

根據(jù)幅頻特性分別按圖2-14和圖2-15求得一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)和欠阻尼二階系統(tǒng)的阻尼比、固有頻率。利用3dB帶寬求取

作可求出該曲線的峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓頻率

稱之為有阻尼共振峰圓頻率，將代入可求出:

可以從圖上讀出對(duì)應(yīng)的值及值，將其代入式中，便可求出、

2.6動(dòng)態(tài)誤差修正對(duì)于動(dòng)態(tài)測(cè)量過程來講，若測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性不夠理想，則輸出信號(hào)的波形與輸入信號(hào)波形相比就會(huì)產(chǎn)生畸變。

▼這種畸變顯然不可能用簡(jiǎn)單的修正系數(shù)之類的方法去修正。

▼這種畸變大小和形式與輸入信號(hào)的波形有關(guān)，或與被測(cè)信號(hào)的頻譜有關(guān)。2.6.1頻域修正方法

在已知測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的前提下，通過對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換而到，則不難得到輸入信號(hào)的傅里葉變換，即對(duì)上式進(jìn)行傅里葉逆變換即可以得到輸入的時(shí)域信號(hào)。即=

2.6.2時(shí)域修正方法

時(shí)域修正方法較多，本課程僅介紹數(shù)值微分法。若已知測(cè)量系統(tǒng)的微分方程，且輸入信號(hào)沒有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即可用數(shù)值微分法進(jìn)行修正。如二階測(cè)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

當(dāng)已知系統(tǒng)的固有特性、兩參數(shù)后，只要對(duì)某個(gè)值求出響應(yīng)的一階及二階導(dǎo)數(shù)，代入上式就可以直接求得輸入信號(hào)。2.7本章常見的計(jì)算題類型1.已知：①H（jω)或A（jω

）、Φ（ω

）或H（S）；②x（t）或y（t）；求：y（t）或x（t）一般思路：由H（jω)或H（S）求A（jω

）、Φ（ω

）將x（t）、y（t）分解成正弦諧波信號(hào)，再用A（jω

）、Φ（ω

）定義求取。