橢圓及其性質(zhì)訓(xùn)練題

橢圓及其性質(zhì)訓(xùn)練題一、題點(diǎn)全面練1．方程kx2＋4y2＝4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(4，＋∞)C．(－∞，4)B．{4}D．(0,4)xy22解析：選D因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，焦點(diǎn)在x軸上，所以0＜k＜4.4kxy222．(2019·六盤水模擬)已知點(diǎn)F，F(xiàn)分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P4312在橢圓C上，且∠FPF＝60°，則|PF|·|PF|＝()1212A．4C．8B.6D．12解析：選A由|PF|＋|PF|＝4，|PF|2＋|PF|2－2|PF|·|PF|·cos60°＝|FF|2，12121212得3|PF|·|PF|＝12，所以|PF|·|PF|＝4，故選A.1212xy223．(2018·大連二模)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)ab22b相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為()3和兩個(gè)焦點(diǎn)1A.41B.31C.22D.3解析：選C由短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，又由三角形面積公式得2×2c×b＝21(2a＋2c)×3，得a＝2c，即e＝＝，故選C.a21bc1xy224．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則43―→OP·―→FP的最大值為()A．2B.3C．6D．8xy3x204―→―→22解析：選C設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＋＝1，即y＝3－.因?yàn)辄c(diǎn)F(－1,0)，所以O(shè)P·FP00432000＝x(x＋1)＋y＝x＋x＋3＝(x＋2)2＋2.又x∈[－2,2]，所以(―→OP·―→FP)＝6.1120204400000maxxy225.(2019·滁州模擬)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)ab22為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離4不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()5343A.0，B.0，2343C.，1D.，12解析：選A根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得，|AF|＋|BF|＝2a＝4，所以a＝2.設(shè)M(0，b)，|3×0－4×b|4≥，所以1≤b＜2.又e＝＝ac1－＝1－，所以0＜bb22因?yàn)閐＝3＋－5a24223e≤.故選A.2x26．橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，過F作垂直于x軸的直線與橢圓相交，4121一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF|＝__________.21解析：F(－3，0)，∵PF⊥x軸，∴P－3，±，211―→1∴|PF|＝，21―→17∴|PF|＝4－＝.2227答案：27.與圓C：(x＋3)＋2y2＝1外切，且與圓C：(x－3)＋2y2＝81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌12跡方程為__________．解析：設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC|＝r＋1，|PC|＝9－r.所以|PC|121＋|PC|＝10＞|CC|＝6，即P在以C(－3,0)，C(3,0)為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上，所21212xy22以點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.2516xy22答案：＋＝12516xy228.(2019·嘉興模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點(diǎn)分別為ab22F，F(xiàn)，若以F為圓心，b－c為半徑作圓F，過橢圓切線，上一點(diǎn)P作此圓的切點(diǎn)為T，且1222|PT|的最小值不小于23(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是__________．解析：因?yàn)閨PT|＝|PF|－2b－c2，|PF|的最小值為a－c，所以|PT|的最小值為22a－c2－b－c2.依題意，有a－c2－b－c2≥23(a－c)，所以(a－c)≥24(b－c)，所以2a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)≥24(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1.②32聯(lián)立①②，得≤e＜.5232答案：，5239．已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.2(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.xy22解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)．22aba＝2，a由題意得c解得c＝3.所以b2＝a2－c2＝1.3＝，2x2所以橢圓C的方程為＋y2＝1.4(2)證明：設(shè)M(m，n)，則D(m,0)，N(m，－n)．由題設(shè)知m≠±2，且n≠0.n直線AM的斜率k＝，m＋2AMm＋2故直線DE的斜率k＝－.nDEm＋2所以直線DE的方程為y＝－(x－m)．nn直線BN的方程為y＝(x－2)．2－m＋2ymxm＝－－，n聯(lián)立ny＝x－，2－mn－m2解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y＝－4－m＋n.22E4由點(diǎn)M在橢圓C上，得4－m＝4n2，所以y＝－5n.2E又S＝12|BD|·|y|＝|BD|·|n|，25△BDEE1S＝|BD|·|n|.2△BDN所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.xy2210．(2019·西安模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率為e.2ab223(1)若e＝，求橢圓的方程；2(2)設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為線段AF，BF的中點(diǎn)，若坐標(biāo)2223原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，且＜e≤，求k的取值范圍．22c3解：(1)由題意得c＝3，＝，所以a＝23，又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢a2xy22圓的方程為＋＝1.123xy(2)由22＋＝1，ab得(b2＋ak22)x2－ab22＝0.22y＝kx設(shè)A(x，y)，B(x，y)，1122－ab22所以x＋x＝0，xx＝，依題意易知，OM⊥ON，四邊形OMFN為平行四邊形，所b＋ak12222122以AF⊥BF.22―→―→因?yàn)镕A＝(x－3，y)，F(xiàn)B＝(x－3，y)，211222―→―→所以FA·FB＝(x－3)(x－3)＋yy＝(1＋k2)xx＋9＝0.22121212－aa－＋k222即ak22＋a2－＋9＝0，a－18a＋818142將其整理為k2＝＝－1－.－a＋18aa－18a424223因?yàn)椋糴≤，所以23≤a＜32，即12≤a2＜18.22221所以k2≥，即k∈－∞，－∪，＋∞.844二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分xy221．(2019·長沙模擬)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A，22abB關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足―→FA·―→FB＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是()5B.，125A.，233D.[3－1，1)2C.，3－12解析：選A設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F′，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形AFBF′為平行四邊形，又―→FA·―→FB＝0，即FA⊥FB，故平行四邊形AFBF′為矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.設(shè)|AF′|＝n，|AF|＝m，則在Rt△F′AF中，m＋n＝2a①，m2＋n2＝4c2②，聯(lián)立①②得mn＝2b2③.mn2cm12c22②÷③得＋＝，令＝t，得t＋＝.nmbntb2212c52mn又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得＝t∈[1,2]，所以t＋＝∈2，.故橢圓C的離心率的tb2225取值范圍是，.23xy222．(2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B.22ab左、右焦點(diǎn)分別是F，F(xiàn)，在線段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足PF⊥PF，則橢圓的離心率的1212平方為()3A.23－5B.2－1＋53－1D.2C.2解析：選B由題意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在線段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足PF⊥PF，得點(diǎn)P是以點(diǎn)O為圓心，線段FF為直徑的圓1212x2＋y2＝c2與線段AB的切點(diǎn)，連接OP，則OP⊥AB，且|OP|＝c，即點(diǎn)O到直線AB的距離為c.又直線AB的方程為bx－ay＋ab＝0，點(diǎn)O到直線ABab的距離d＝＝c，兩邊同時(shí)平方整理得，ab22＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，b＋a22bbb－1＋5c2222可得b4＋ab22－a4＝0，兩邊同時(shí)除以a4，得＋－1＝0，可得＝，則e＝＝22aaaa22222a－bb－1＋53－5＝1－＝1－＝，故選B.222a2a222(二)交匯專練——融會(huì)巧遷移3．[與立體幾何交匯]如圖所示，圓柱形玻璃杯中水的液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為()31B.2A.323D.2C.2243解析：選B設(shè)圓柱的底面半徑為1，則橢圓的短半軸長為1，長軸長為＝，sin60°32331即長半軸長為，所以半焦距為，故離心率為3.32xm24．[與數(shù)列交匯]已知實(shí)數(shù)4，m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為()30A.6B.730C.6或75D.或76解析：選C由題意知m2＝36，解得m＝±6.當(dāng)m＝6時(shí)，該圓錐曲線表示橢圓，此時(shí)a30＝6，b＝1，c＝5，則e＝6；當(dāng)m＝－6時(shí)，該圓錐曲線表示雙曲線，此時(shí)a＝1，b＝6，c＝7，則e＝7.故選C.xy225．[與圓的交匯]設(shè)F是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上的點(diǎn)，ab22a2圓x＋y2＝與線段PF交于A，B兩點(diǎn)，若A，B三等分線段PF，則橢圓C的離心率為()2935B.3A.31017D.5C.4解析：選D如圖，取線段PF的中點(diǎn)H，連接OH，OA.設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為E，連接PE.∵A，B三等分線段PF，∴H也是線段AB的中點(diǎn)，即OH⊥AB.a－d設(shè)|OH|＝d，則|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.3在Rt△OHA中，|OA|＝2|OH|＋2|AH|，解得2a＝5d.在Rt△OHF中，|FH|＝45a，|OH|＝，a5|OF|＝c.由|OF|＝2|OH|＋2|FH|，2c17化簡得17a2＝25c2，＝.a517即橢圓C的離心率為.故選D.5xy6．[與向量交匯]已知點(diǎn)A在橢圓＋＝1上，點(diǎn)P滿足―→AP＝(λ－1)―→OA(λ∈R)，22259且―→―→OA·OP＝72，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為__________．解析：∵―→AP＝