新高考數(shù)學(xué)通用版總復(fù)習(xí)一輪課件第二章第16講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

第16講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞減函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則(1)若f′(x)>0，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則f(x)在(a，b)內(nèi)__________.2.函數(shù)的極值f′(x)＜0f′(x)＞0

(1)判斷f(x0)是極值的方法： 一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)， ①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0

附近的左側(cè)____________，右側(cè)____________，那么f(x0)是極小值.

(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左、右值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得__________；如果左右兩側(cè)符號(hào)一樣，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn).極小值3.函數(shù)的最值(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)①若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；②若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.(3)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；極值

②將函數(shù)y＝f(x)的各________與端點(diǎn)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列結(jié)論不正確的是()

A.若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0 B.若函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)恒有f′(x)≥0，則y＝f(x)在(a，b)上一定為增函數(shù)

C.如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性

解析：對(duì)于A，有可能f′(x)＝0，如f(x)＝x3， 它在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，但f′(x)＝x2≥0.

對(duì)于B，因?yàn)閥＝f(x)若為常數(shù)函數(shù)，則一定有f′(x)＝0滿足條件，但不具備單調(diào)性.

對(duì)于C，如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒若f′(x)＝0， 則此函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性.對(duì)于D，y＝

1lnx定義域?yàn)?0，1)∪(1，＋∞)，因此它的減區(qū)間為(0，1)和(1，＋∞).

答案：ABD題組二走進(jìn)教材2.(選修2－2P26第1題改編)函數(shù)

f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(－∞，2)C.(1，4)B.(0，3)D.(2，＋∞)

解析：f′(x)＝(x－3)′ex

＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故選D.

答案：D3.(選修2－2P32B組第1題改編)已知函數(shù)f(x)＝1＋x－sinx，則f(2)，f(3)，f(π)的大小關(guān)系正確的是()A.f(2)>f(3)>f(π)C.f(2)>f(π)>f(3)B.f(3)>f(2)>f(π)D.f(π)>f(3)>f(2)

解析：f′(x)＝1－cosx，當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函數(shù)，所以f(π)>f(3)>f(2).故選D.

答案：D題組三真題展現(xiàn)4.(2015年陜西)設(shè)

f(x)＝x－sinx，則f(x)()

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)

B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)

D.是沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù)

解析：因?yàn)?/p>

f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)為增函數(shù)，排除選項(xiàng)A和C.

又因?yàn)閒(0)＝0－sin0＝0，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，排除選項(xiàng)D，故選B.

答案：B5.(2017年浙江)函數(shù)

y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖)2-16-1，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(

圖2-16-1ABCD

解析：原函數(shù)先減再增，再減再增，且由增變減時(shí)，極值點(diǎn)大于0，故選D.

答案：Dx2考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性自主練習(xí)1.函數(shù)f(x)＝lnx x的單調(diào)遞增區(qū)間是________.解析：由于函數(shù)f(x)＝lnx x的導(dǎo)數(shù)為y′＝1－lnx，令y′＞0可得lnx＜1，解得0＜x＜e，故函數(shù)f(x)＝lnx x的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，e).答案：(0，e)2.函數(shù)f(x)＝(3－x2)ex

的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(－∞，0)C.(－∞，3)和(1，＋∞)B.(0，＋∞)D.(－3，1)解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0，即x2＋2x－3<0.解得－3<x<1.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－3，1).故選D.答案：D3.在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖2-16-2，則關(guān)于x的不等式xf′(x)<0的解集為(

)圖2-16-2A.(－∞，－1)∪(0，1)C.(－2，－1)∪(1，2)B.(－1，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)遞增，∴f′(x)>0，使xf′(x)<0的范圍為(－∞，－1)；在(－1，1)上，f(x)遞減，∴f′(x)<0，使xf′(x)<0的范圍為(0，1).綜上，關(guān)于x的不等式xf′(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0，1).答案：A

【題后反思】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問(wèn)題直觀且有條理，減少失分的可能.如果一個(gè)函數(shù)在給定的定義域上單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間一般不能用并集符號(hào)“∪”連接，只能用“，”或“和”字隔開(kāi).考點(diǎn)2含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性師生互動(dòng)

[例1]已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1. (1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(4)若f(x)在區(qū)間(－1，1)上為減函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(5)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，求實(shí)數(shù)a的值；

(6)若f(x)在區(qū)間(－1，1)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)f′(x)＝3x2－a.①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0，∴f(x)在R上為增函數(shù).綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)；

(2)∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴f′(x)＝3x2－a≥0在

R上恒成立，即a≤3x2對(duì)

x∈R恒成立.

∵3x2≥0，∴只需a≤0.

又∵a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，∴a≤0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0].(3)∵f′(x)＝3x2－a，且f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立. ∴a≤3x2

在(1，＋∞)上恒成立.∴a≤3.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，3].(4)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在(－1，1)上恒成立.∵－1＜x＜1，∴3x2＜3.∴a≥3.即當(dāng)實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，＋∞)時(shí)，f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).

【題后反思】若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，一是可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到，二是利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.【考法全練】1.(2014年全國(guó)Ⅱ)若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是( A.(－∞，－2] C.[2，＋∞)) B.(－∞，－1] D.[1，＋∞)

答案：D答案：C即0<k≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，1)內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)f(x)在(－1，1)內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是[－1，0)∪(0，1].方法二，∵f(x)在(－1，1)內(nèi)單調(diào)遞增，∴f′(x)≥0在(－1，1)內(nèi)恒成立.令g(x)＝kx＋1，則g(x)≥0在(－1，1)內(nèi)恒成立，(－1，1)內(nèi)單調(diào)遞增.若k>0，則g(－1)≥0，∴－k＋1≥0，∴k≤1，∴0<k≤1.若k<0，則g(1)≥0，∴k＋1≥0，∴k≥－1，∴－1≤k<0.∴k的取值范圍是[－1，0)∪(0，1].

【策略指導(dǎo)】本題第一問(wèn)是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的確定，通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)；第二問(wèn)是求參數(shù)取值范圍，由于這類問(wèn)題常涉及導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式等知識(shí)，越來(lái)越受到高考命題者的青睞，解決此類問(wèn)題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.【高分訓(xùn)練】(全國(guó)百所名校大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋axlnx－2ax.(1)若x＝1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2x＋alnx＋a－2a＝2x＋alnx－a.∵x＝1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′(1)＝2－a＝0，∴a＝2，∴f′(x)＝2x＋2lnx－2＝2(x－1＋lnx).∵0<x<1時(shí)，x－1<0，lnx<0，∴f