四元數(shù)矩陣方程axb+xd=e的廣義共軛解

四元數(shù)矩陣方程axb+xd=e的廣義共軛解

1.廣義共吾延拓問(wèn)題隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，一些新的結(jié)構(gòu)矩陣不斷提出。2002年，文獻(xiàn)。2012年,文獻(xiàn)矩陣方程AXB+CXD=E是Sylvester方程的推廣形式,在圖像處理、偏微分方程數(shù)值解、控制理論等領(lǐng)域具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用.目前,對(duì)該方程的一般解、對(duì)稱解或Hermitian解、共軛辛矩陣解、以及最小二乘解等已取得較多的研究成果共軛延拓解的存在及計(jì)算問(wèn)題,其中A,B,C,D,E是已知四元數(shù)矩陣,X是未知矩陣.與復(fù)數(shù)域上廣義Sylvester方程的求解方法相比,由于四元數(shù)乘法的非交換性,導(dǎo)致求解方程(1.1)時(shí)難以采用目前一些常用的處理方法.本文主要思想是:利用廣義共軛延拓矩陣的向量化刻劃方法,以及矩陣的Kronecker運(yùn)算,將所討論的四元數(shù)約束方程轉(zhuǎn)化為無(wú)約束實(shí)矩陣方程,從而獲得原問(wèn)題的解.為討論方便,用R定義1.1(廣義行與列共軛延拓矩陣)分別稱為以A為母矩陣的t次廣義行與列共軛延拓矩陣.引理1.1.設(shè)矩陣S∈Q若對(duì)四元數(shù)矩陣S,Y作復(fù)分解,即S=S其中S證明.由vec(·)的定義,式子(1.2)顯然成立.下面推導(dǎo)vec(Y根據(jù)四元數(shù)矩陣復(fù)分解的唯一性有由(1.2)得又因?yàn)樗云渲蠭為相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣.證畢.引理1.2.設(shè)矩陣S∈C其中K∈R引理1.3本文具體討論如下兩個(gè)問(wèn)題:問(wèn)題Ⅰ.給定A,C∈Q問(wèn)題Ⅱ.給定A,C∈Q2.元數(shù)矩陣法給定矩陣A,C∈Q對(duì)矩陣B,D進(jìn)行如下分塊并將(2.2)代入(2.1)整理得記于是由(2.3)可得記則(2.5)等價(jià)于對(duì)四元數(shù)矩陣A,C,則(2.6)又可寫(xiě)成將(2.7)左邊展開(kāi),并根據(jù)四元數(shù)矩陣復(fù)分解的唯一性可得記則復(fù)矩陣方程(2.8)等價(jià)于根據(jù)引理1.1,可得若記其中I是相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣.再記則方程組(2.9)等價(jià)于其中v∈R則(2.12)等價(jià)于此外,利用四元數(shù)矩陣Frobenius范數(shù)及方程組(2.8)可得因此,關(guān)于問(wèn)題Ⅰ的解,我們有:定理2.1.給定四元數(shù)矩陣A,C∈Q有解時(shí),它的一般解為無(wú)解時(shí),(2.16)式則為此問(wèn)題的最小二乘廣義列共軛延拓解,其中這里證明.由方程組(2.14)、引理1.1和引理1.3可知,四元數(shù)矩陣方程(1.1)存在廣義列共軛延拓解因此,(2.16)式則為方程(1.1)的最小二乘廣義列共軛延拓解.證畢3.問(wèn)題的求解給定四元數(shù)矩陣A,C∈Q對(duì)矩陣A,C進(jìn)行分塊將(3.2)代入(3.1)整理得記于是方程(3.3)等價(jià)于記則方程(3.5)可寫(xiě)成對(duì)四元數(shù)矩陣則方程(3.6)等價(jià)于將(3.7)式左邊展開(kāi),并根據(jù)四元數(shù)矩陣復(fù)分解的唯一性可得記則復(fù)矩陣方程(3.8)等價(jià)于根據(jù)引理1.1和引理1.2,可得其中則方程組(3.9)等價(jià)于其中u∈R則(3.11)又可寫(xiě)成此外,利用Frobenius范數(shù)性質(zhì)及(3.8)可得因此,關(guān)于問(wèn)題Ⅱ的解,我們有:定理3.1.給定四元數(shù)矩陣A,C∈Q有解時(shí),它的一般解為無(wú)解時(shí),(3.15)式則為此問(wèn)題的最小二乘廣義行共軛延拓解,其中vec(S這里證明.由方程組(3.13)及引理1.1-1.3可知,四元數(shù)矩陣方程(1.1)存在廣義行共軛延拓解因此,(3.15)式則為方程(1.1)的最小二乘廣義行共軛延拓解.證畢.根據(jù)定理2.1和定理3.1的結(jié)果,我們給出問(wèn)題Ⅰ和Ⅱ的求解步驟:步1.對(duì)于方程(1.1)中的四元數(shù)矩陣,作變換至(2.5)(或(3.5)),寫(xiě)出矩陣A,C,步2.按(2.11)式(或(3.10)式)寫(xiě)出復(fù)矩陣G,L(或H,M),并對(duì)它們作實(shí)分解.步3.按(2.13)式(或(3.12)式)寫(xiě)出實(shí)矩陣步4.檢驗(yàn)條件i)若條件成立,說(shuō)明方程(1.1)存在廣義列(行)共軛延拓解,并按(2.16)(或(3.15))寫(xiě)出其解集Ωii)若條件不成立,說(shuō)明方程(1.1)不存在廣義列(行)共軛延拓解,此時(shí)Ω4.u3000xb+cxd的存在性給定下列四元數(shù)矩陣試討論四元數(shù)矩陣方程AXB+CXD=E的廣義列共軛延拓解的存在性.解.由(2.2)-(2.6)可得四元數(shù)矩陣A,C,按(2.13)式寫(xiě)出實(shí)矩陣5.方程共吾解問(wèn)題本文提出并討論了四元數(shù)矩陣方程AXB+CXD=E的廣義共軛延拓解問(wèn)題,該問(wèn)題是方程共軛解的拓展,在內(nèi)容上推廣了方程AXB=C的共軛解問(wèn)題,獲得更廣泛的結(jié)果;在方法上主要利用四元數(shù)矩陣的復(fù)與實(shí)分解及結(jié)構(gòu)