安徽省蚌埠市涂山中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

安徽省蚌埠市涂山中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)路口，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒；當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)看見的紅燈的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如表對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（單位：百萬元）．根據(jù)如表求出y關(guān)于x的線性回歸方程為=6.5x+17.5，則表中t的值為（）x24568y304060t70A．56.5 B．60.5 C．50 D．62參考答案： C【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】計(jì)算，代入回歸方程得出，即可得出t．【解答】解：=，∴=6.5×5+17.5=50，∴，解得t=50．故選C．3.直線截圓得的劣弧所對(duì)圓心角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.拋物線y=﹣x2上的一點(diǎn)到直線4x+3y﹣8=0的距離的最小值是（）A．3 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】首先判斷出直線和拋物線無交點(diǎn)，然后設(shè)出與直線平行的直線方程，可拋物線方程聯(lián)立后由判別式等于0求出切線方程，然后由兩條平行線間的距離求出拋物線y=﹣x2上的一點(diǎn)到直線4x+3y﹣8=0的距離的最小值．【解答】解：由，得3x2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直線4x+3y﹣8=0與拋物線y=﹣x2無交點(diǎn)．設(shè)與直線4x+3y﹣8=0平行的直線為4x+3y+m=0聯(lián)立，得3x2﹣4x﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，得m=﹣．所以與直線4x+3y﹣8=0平行且與拋物線y=﹣x2相切的直線方程為．所以拋物線y=﹣x2上的一點(diǎn)到直線4x+3y﹣8=0的距離的最小值是．故選D．5.已知，，，則a,b,c的大小關(guān)系是（

）。A.

B.

C.

D.

參考答案：A6.若，則下列不等式：①；②；③；④中正確的不等式是(

)A.①②

B.②③

C．①④

D．③④參考答案：C7.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=．設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則的最大值是(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得的最大值．【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q、P，連接AQ、BQ由拋物線定義，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值為．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線的弦AB對(duì)焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．8.已知，，且，，則（

）A． B． C． D．參考答案：C9.函數(shù)y＝f(x)是R＋上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(1)＝－1，f′(x)＋，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋在R＋上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：C∵x≠0時(shí)，f′(x)＋，，則討論f(x)＋＝0的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求xf(x)＋1＝0的根的個(gè)數(shù)．設(shè)，則當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)′(x)＝x·f′(x)＋f(x)＞0，函數(shù)F(x)＝xf(x)＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故F(x)在R＋上至多有一個(gè)零點(diǎn)，又F(1)＝1·f(1)＋1＝1×(－1)＋1＝0，即x＝1為函數(shù)F(x)的零點(diǎn)，這是函數(shù)F(x)的唯一零點(diǎn)，所以選C．考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．10.銳角三角形ABC中，abc分別是三內(nèi)角ABC的對(duì)邊設(shè)B=2A，則的取值范圍是（）A．（﹣2，2） B．（0，2） C．（，2） D．（，）參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)正弦定理得到=，即可得到，然后把B=2A代入然后利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后利用余弦函數(shù)的值域即可求出的范圍．【解答】解：根據(jù)正弦定理得：=；則由B=2A，得：====2cosA，而三角形為銳角三角形，所以A∈（，）所以cosA∈（，）即得2cosA∈（，）．故選D【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生利用正弦定理解決數(shù)學(xué)問題的能力，以及會(huì)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)求余弦函數(shù)在某區(qū)間的值域．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一條直線l過點(diǎn)P(2,0)，且與直線在軸有相同的截距，求直線l的方程為________．參考答案：12.如圖所示，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，，且,，P為SB的中點(diǎn)，則異面直線SA與PD所成角的正切值為__________.參考答案：【分析】由于與是異面直線，所以需要平移為相交直線才能找到異面直線與所成角，由此連接OP再利用中位線的性質(zhì)得到異面直線與所成角為,并求出其正切值?！驹斀狻窟B接，則，即為異面直線與所成的角，又，，，平面，，即，為直角三角形，.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)使異面直線平移為相交直線。13.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖。若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n等于

。參考答案：60略14.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，最后利用夾角公式求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如圖，設(shè)=，，，棱長(zhǎng)均為1，則=，=，=∵，∴=（）?（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為15.如圖是“平面向量的數(shù)量積”的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，若要加入“投影”，則應(yīng)該是在

的下位．參考答案：幾何意義16.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則_____________.

參考答案：32略17.若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

▲

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(Ⅰ)已知a為實(shí)數(shù)，用分析法證明。（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明；參考答案：（I）見證明；（Ⅱ）見證明【分析】(Ⅰ)利用分析法，即可作出證明；（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法，即可作出證明．【詳解】證明：(Ⅰ)要證，只要證只要證只要證只要證只要證只要證只要證顯然成立，故原結(jié)論成立．（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊＝右邊，等式成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，左邊右邊左邊＝右邊，即當(dāng)時(shí)等式也成立；綜合①②可知等式對(duì)任何都成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了間接證明，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確分析法的證明方法，以及數(shù)學(xué)歸納證明方法是解答的關(guān)鍵，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，在到的推理中必須使用歸納假設(shè)，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．19.設(shè)直線3x＋y＋＝0與圓x2＋y2＋x－2y＝0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPOQ，求的值.

參考答案：解：由3x＋y＋m＝0得：y＝-3x-m代入圓方程得：設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)為P(x1，y1)、Q(x2，y2)則x1+x2＝x1×x2＝∵OP⊥OQ∴即x1×x2+y1×y2＝0∴x1×x2+(-3x1-m)(-3x2-m)＝0整理得：10x1×x2+3m(x1+x2)+m2=0

∴解得：m=0或m=

又△＝(6m+7)2-40(m2+2m)=-4m2+4m+49

當(dāng)m=0時(shí)，△＞0；當(dāng)m=時(shí)，△＞0；∴m=0或m=

20.(本小題滿分8分)已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知a、b∈R,a>b>e,(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求證:ba>ab.參考答案：（1）,

∴∴當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在上是單調(diào)遞減.當(dāng)0<x<e時(shí),,∴函數(shù)在(0,e)上是單調(diào)遞增.∴f(x)的增區(qū)間是(0,e),減區(qū)間是.

………………4分(2)證明:∵∴要證:只要證:只要證.(∵)由（1）得函數(shù)在上是單調(diào)遞減.∴當(dāng)時(shí),有即.

∴………………8分21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)(a>0且a≠1)．(1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，－)對(duì)稱；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．參考答案：（1）證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)(，－)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1－x，－1－y)．由已知，∴－1－y＝f(1－x)．即函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，－)對(duì)稱．(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.22.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓上有一點(diǎn)，且；若點(diǎn)在橢圓上，則稱點(diǎn)為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”，某斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，且.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）的面積是否為定值？若為定值，求該定值；若不為定值，說明理由.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義求出，再由橢圓過點(diǎn)求出，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)：，將直線方程代入橢圓方程，消去得，，由化簡(jiǎn)得，利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線距離公式求出三角形的高，代入三角形的面積公式，