【解析】人教A版（2023） 必修一2.2 基本不等式

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人教A版（2023）必修一2.2基本不等式

一、單選題

1．（2023高一下·麗水期末）已知實數(shù)滿足，且，則的最小值為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】

,

當且僅當時取等號

故答案為：B

【分析】利用1的代換，結合基本不等式求最值.

2．（2023高一下·宜賓期末）若正數(shù)滿足，則的最大值為（）

A．5B．6C．7D．9

【答案】D

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】依題意，當且僅當時等號成立，所以的最大值為9.

故答案為：D

【分析】利用基本不等式求得的最大值.

3．（2023高二下·六安月考）設、、，，，，則、、三數(shù)（）

A．都小于B．至少有一個不大于

C．都大于D．至少有一個不小于

【答案】D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由基本不等式得，

當且僅當時，等號成立，因此，若、、三數(shù)都小于，則與矛盾，即、、三數(shù)至少有一個不小于，

故選D.

【分析】利用基本不等式計算出，于此可得出結論.

4．（2023高一下·哈爾濱期末）已知，，則的最小值為（）

A．8B．6C．D．

【答案】C

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】∵，，

∴，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.

故答案為：C

【分析】結合題中的條件利用基本不等式求解的最小值即可.

5．（2023高一下·大慶期末）若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】正實數(shù)滿足則=4，

當且僅當，取得最小值4．

由x有解，可得解得或．

故答案為：B．

【分析】不等式有解，即為大于的最小值，運用乘1法和基本不等式，計算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．

6．（2023高二下·吉林期中）已知不等式對任意實數(shù)x、y恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）

A．8B．6C．4D．2

【答案】C

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】.

若，則，從而無最小值，不合乎題意；

若，則，.

①當時，無最小值，不合乎題意；

②當時，，則不恒成立；

③當時，，

當且僅當時，等號成立.

所以，，解得，因此，實數(shù)的最小值為.

故答案為：C.

【分析】由題意可知，，將代數(shù)式展開后利用基本不等式求出該代數(shù)式的最小值，可得出關于a的不等式，解出即可.

7．（2023·杭州模擬）如果正數(shù)滿足，那么（）

A．，且等號成立時的取值唯一

B．，且等號成立時的取值唯一

C．，且等號成立時的取值不唯一

D．，且等號成立時的取值不唯一

【答案】A

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】，

當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?/p>

即，

當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?/p>

且等號成立

故答案為：A

【分析】利用基本不等式及等號成立的條件即可得到.

8．（2023·成都模擬）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】解：因為滿足，

則

，

當且僅當時取等號，

故選：．

【分析】所求的分母特征，利用變形構造，再等價變形，利用基本不等式求最值.

二、多選題

9．（2023高二上·徐州期末）若，則下列不等式,其中正確的有（）

A．B．C．D．

【答案】A,C,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由題：

由基本不等式可得：，所以A符合題意；

當時，，所以B不符合題意；

，所以，

即，所以C符合題意；

因為，所以

即，所以D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】依據(jù)基本不等式相關知識分別檢驗證明或舉出反例即可的出選項.

10．（2023高二上·煙臺期中）下列說法正確的是（）.

A．若，，則的最大值為4

B．若，則函數(shù)的最大值為-1

C．若，，則的最小值為1

D．函數(shù)的最小值為9

【答案】B,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】對于，取得到，錯誤；

對于，，時等號成立，正確；

對于，取滿足等式，此時，錯誤；

對于，

，當時等號成立，正確.

故答案為：

【分析】依次判斷每個選項，通過特殊值排除和利用均值不等式計算得到答案.

11．（2023高二上·菏澤期中）設，則下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】A,C,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】A.當時，成立，A符合題意；

B.當時，，等號成立的條件是，當時，，等號成立的條件是，B不正確；

C.當時，，所以，C符合題意；

D.，所以，等號成立的條件是當且僅當，即，D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】逐一分析選項，驗證基本不等式的使用是否成立.

12．（2023高一上·葫蘆島月考）已知正數(shù)a，b滿足，ab的最大值為t，不等式的解集為M，則（）

A．B．

C．D．

【答案】B,C

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】∵正數(shù)，滿足，

∴，即的最大值為，當且僅當時，取等號.

∵的解集為，∴.

故答案為：BC.

【分析】由基本不等式，可求的最大值，然后解二次不等式可得，結合選項即可判斷．

三、填空題

13．（2023·天津）已知，且，則的最小值為．

【答案】4

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】，,

，當且僅當=4時取等號，

結合,解得，或時，等號成立.

故答案為：4

【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.

14．（2023·江蘇）已知，則的最小值是．

【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】∵

∴且

∴，當且僅當，即時取等號.

∴的最小值為.

故答案為：.

【分析】根據(jù)題設條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

15．（2023高一下·宜賓期末）若正數(shù)滿足，則的最小值為.

【答案】16

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】依題意，

當且僅當，即時等號成立.所以的最小值為.

故答案為：16

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

16．（2023高二下·臺州期末）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍．

【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】因為，當且僅當，

即時等號成立，所以，解得.

故答案為：

【分析】利用“1”的替換求出的最小值，再解不等式即可.

17．（2023高二下·杭州期末）若正數(shù)a，b滿足，則ab的最小值是．

【答案】25

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】依題意為正數(shù)，且，

所以，

即，

解得，

當且僅當時等號成立.

所以的最小值是25.

故答案為：25

【分析】利用基本不等式化簡已知條件，由此即可求得的最小值.

18．（2023高一下·嘉興期中）已知，，，則的最小值為．

【答案】12

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由得出

令，，則

當且僅當，即時取等號

的最小值為12

故答案為：12

【分析】利用換元法，令，得出，結合基本不等式，即可得出的最小值.

19．（2023高二下·宜賓月考）已知，若點在直線上，則的最小值為.

【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】在上，

，，

，

設，則，

，

當，即時，“=”成立，

，

即的最小值為，故答案為.

【分析】由在直線上，可得，設，則，原式化為，展開后利用基本不等式可得結果.

20．（2023高一上·遼寧月考）已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的范圍是.

【答案】a≤18

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】

又，，

那么

當且僅當，時取等號．

不等式恒成立，

所以．

故答案為：．

【分析】利用消元法，消去其中一個參數(shù)后，利用基本不等式求解最小值．

四、解答題

21．（2023·徐州模擬）已知，，且，

求證：．

【答案】證明：設，，因為，，所以，，且，

.

當且僅當，即時，上述等號成立，原命題得證．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【分析】設，，可得出，然后利用基本不等式可證得.

22．（2023高一下·寧波期中）已知，，，

（1）求的最大值.

（2）求的最小值.

【答案】（1）解：法一：，

因此，∴

因此的最大值為，當且僅當時取等號

法二：∵

∴，當且僅當時取等號

因此的最大值為

（2）解：

當且僅當，即，時取等號

因此的最小值為16

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【分析】（1）利用結論,(當且僅當時等號成立)得到，也可對平方變形處理.（2）把與所求相乘，構造和的形式用基本不等式求最值.

23．（2023·海南模擬）已知都是正數(shù)，求證：

（1）；

（2）.

【答案】（1）解：∵，∴，當且僅當時等號成立，

同理可得，，

∴，即；

（2）解：因為，所以，

當且僅當時等號成立，

同理可得，，

∴，

即.

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【分析】（1）因為，同理可得，，三個式子相加，即可得到本題答案；（2）因為，同理可得，，，三個式子相加，即可得到本題答案.

24．（2023高二下·柳州模擬）已知正實數(shù)滿足.

（1）求的最小值.

（2）證明：

【答案】（1）解：因為，所以

因為，所以（當且僅當，即時等號成立），

所以

（2）證明：

因為，所以

故（當且僅當時，等號成立）

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【分析】（1）利用乘“1”法，結合基本不等式求得結果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.

25．（2023高二上·延吉期中）

（1）已知，求函數(shù)的最大值；

（2）已知(正實數(shù)集)，且，求的最小值；

（3）已知，，且，求的最大值．

【答案】（1）解：,,故．

．

,

,

當且僅當,即或(舍)時,等號成立,

故當時,．

（2）解：,,,

．

當且僅當,且,即時等號成立,

∴當,時,．

（3）解：,

當且僅當,即,時取最大值,

所以有最大值．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【分析】(1)將再對進行基本不等式求最值即可.(2)利用,再展開用基本不等式即可.(3)利用在中拼湊出再利用基本不等式即可.

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人教A版（2023）必修一2.2基本不等式

一、單選題

1．（2023高一下·麗水期末）已知實數(shù)滿足，且，則的最小值為（）

A．B．C．D．

2．（2023高一下·宜賓期末）若正數(shù)滿足，則的最大值為（）

A．5B．6C．7D．9

3．（2023高二下·六安月考）設、、，，，，則、、三數(shù)（）

A．都小于B．至少有一個不大于

C．都大于D．至少有一個不小于

4．（2023高一下·哈爾濱期末）已知，，則的最小值為（）

A．8B．6C．D．

5．（2023高一下·大慶期末）若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍

A．B．

C．D．

6．（2023高二下·吉林期中）已知不等式對任意實數(shù)x、y恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）

A．8B．6C．4D．2

7．（2023·杭州模擬）如果正數(shù)滿足，那么（）

A．，且等號成立時的取值唯一

B．，且等號成立時的取值唯一

C．，且等號成立時的取值不唯一

D．，且等號成立時的取值不唯一

8．（2023·成都模擬）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．（2023高二上·徐州期末）若，則下列不等式,其中正確的有（）

A．B．C．D．

10．（2023高二上·煙臺期中）下列說法正確的是（）.

A．若，，則的最大值為4

B．若，則函數(shù)的最大值為-1

C．若，，則的最小值為1

D．函數(shù)的最小值為9

11．（2023高二上·菏澤期中）設，則下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

12．（2023高一上·葫蘆島月考）已知正數(shù)a，b滿足，ab的最大值為t，不等式的解集為M，則（）

A．B．

C．D．

三、填空題

13．（2023·天津）已知，且，則的最小值為．

14．（2023·江蘇）已知，則的最小值是．

15．（2023高一下·宜賓期末）若正數(shù)滿足，則的最小值為.

16．（2023高二下·臺州期末）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍．

17．（2023高二下·杭州期末）若正數(shù)a，b滿足，則ab的最小值是．

18．（2023高一下·嘉興期中）已知，，，則的最小值為．

19．（2023高二下·宜賓月考）已知，若點在直線上，則的最小值為.

20．（2023高一上·遼寧月考）已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的范圍是.

四、解答題

21．（2023·徐州模擬）已知，，且，

求證：．

22．（2023高一下·寧波期中）已知，，，

（1）求的最大值.

（2）求的最小值.

23．（2023·海南模擬）已知都是正數(shù)，求證：

（1）；

（2）.

24．（2023高二下·柳州模擬）已知正實數(shù)滿足.

（1）求的最小值.

（2）證明：

25．（2023高二上·延吉期中）

（1）已知，求函數(shù)的最大值；

（2）已知(正實數(shù)集)，且，求的最小值；

（3）已知，，且，求的最大值．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】

,

當且僅當時取等號

故答案為：B

【分析】利用1的代換，結合基本不等式求最值.

2．【答案】D

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】依題意，當且僅當時等號成立，所以的最大值為9.

故答案為：D

【分析】利用基本不等式求得的最大值.

3．【答案】D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由基本不等式得，

當且僅當時，等號成立，因此，若、、三數(shù)都小于，則與矛盾，即、、三數(shù)至少有一個不小于，

故選D.

【分析】利用基本不等式計算出，于此可得出結論.

4．【答案】C

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】∵，，

∴，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.

故答案為：C

【分析】結合題中的條件利用基本不等式求解的最小值即可.

5．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】正實數(shù)滿足則=4，

當且僅當，取得最小值4．

由x有解，可得解得或．

故答案為：B．

【分析】不等式有解，即為大于的最小值，運用乘1法和基本不等式，計算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．

6．【答案】C

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】.

若，則，從而無最小值，不合乎題意；

若，則，.

①當時，無最小值，不合乎題意；

②當時，，則不恒成立；

③當時，，

當且僅當時，等號成立.

所以，，解得，因此，實數(shù)的最小值為.

故答案為：C.

【分析】由題意可知，，將代數(shù)式展開后利用基本不等式求出該代數(shù)式的最小值，可得出關于a的不等式，解出即可.

7．【答案】A

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】，

當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?/p>

即，

當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?/p>

且等號成立

故答案為：A

【分析】利用基本不等式及等號成立的條件即可得到.

8．【答案】A

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】解：因為滿足，

則

，

當且僅當時取等號，

故選：．

【分析】所求的分母特征，利用變形構造，再等價變形，利用基本不等式求最值.

9．【答案】A,C,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由題：

由基本不等式可得：，所以A符合題意；

當時，，所以B不符合題意；

，所以，

即，所以C符合題意；

因為，所以

即，所以D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】依據(jù)基本不等式相關知識分別檢驗證明或舉出反例即可的出選項.

10．【答案】B,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】對于，取得到，錯誤；

對于，，時等號成立，正確；

對于，取滿足等式，此時，錯誤；

對于，

，當時等號成立，正確.

故答案為：

【分析】依次判斷每個選項，通過特殊值排除和利用均值不等式計算得到答案.

11．【答案】A,C,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】A.當時，成立，A符合題意；

B.當時，，等號成立的條件是，當時，，等號成立的條件是，B不正確；

C.當時，，所以，C符合題意；

D.，所以，等號成立的條件是當且僅當，即，D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】逐一分析選項，驗證基本不等式的使用是否成立.

12．【答案】B,C

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】∵正數(shù)，滿足，

∴，即的最大值為，當且僅當時，取等號.

∵的解集為，∴.

故答案為：BC.

【分析】由基本不等式，可求的最大值，然后解二次不等式可得，結合選項即可判斷．

13．【答案】4

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】，,

，當且僅當=4時取等號，

結合,解得，或時，等號成立.

故答案為：4

【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.

14．【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】∵

∴且

∴，當且僅當，即時取等號.

∴的最小值為.

故答案為：.

【分析】根據(jù)題設條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

15．【答案】16

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】依題意，

當且僅當，即時等號成立.所以的最小值為.

故答案為：16

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

16．【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】因為，當且僅當，

即時等號成立，所以，解得.

故答案為：

【分析】利用“1”的替換求出的最小值，再解不等式即可.

17．【答案】25

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】依題意為正數(shù)，且，

所以，

即，

解得，

當且僅當時等號成立.

所以的最小值是25.

故答案為：25

【分析】利用基本不等式化簡已知條件，由此即可求得的最小值.

18．【答案】12

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】由得出

令，，則

當且僅當，即時取等號

的最小值為12

故答案為：12

【分析】利用換元法，令，得出，結合基本不等式，即可得出的最小值.

19．【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用

【解析】【解答】在上，

，，

，

設，則，

，

當，即時，“=”成立，

，

即的最小值為，故答案為.

【分析】由在直線上，可得，設，則，原式化為，展開后利用基本不等式可得結果.

20．【答案】a≤18

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】

又，，

那么

當且僅當，時取等號．

不等式恒成立，