2021年北京市高考數(shù)學模擬試卷（附答案詳解）

2021年北京市高考數(shù)學模擬試卷

單選題（本大題共9小題，共36.0分）

（2021?北京市?模擬題）已知集合4={xeN\x>1},B={x\xW3},則4巾B=（）

A.{x|l<x<3}B.{2,3}C.{x|l<x<3}D.{2}

（2021?北京市?模擬題）已知復(fù)平面坐標系第三象限內(nèi)的點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a-3

且|z|=2,則實數(shù)a的值為（）

A.1B.—1C.V3D.—V3

（2021?北京市?模擬題）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又滿足值域為R的是（）

A.y=：B.y=x+：C.y=x-：D.y=sinx

（2021.北京市.模擬題）已知三棱錐A8CC的四個頂點在空間直角坐標系中的坐標分

別為4（2,0,0）,8（2,1,0）,C（0,2,0）,0（0,1,2）,則該三棱錐的體積為（）

1248

---D-

A.3333

（2021.北京市?模擬題）在（2x-5）5的展開式中，x的系數(shù)是（）

A.10B.-10C.40D.-40

（2021?北京市?模擬題）已知角a的頂點在坐標原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊與

單位圓交于第二象限的點P,且點尸的縱坐標為a則sing-a）=（）

A.iB.C.苧

（2021.安徽省合肥市?期末考試）如圖，每個小正方格的邊

長都是1,AD=XAB+nAC（A,fiER）>貝必?〃的值為

（）

A.1

（2021?北京市?模擬題）已知等差數(shù)列{aj的前n項和記為%,即+2a2+a3=54+4,

則“為<1”是“{Sn}為單調(diào)數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.（202L北京市?模擬題）已知點/>6｛。,、）|。+2）2+3—77）2=2｝,點。€

n+1

｛（n,an）|an=（-l）-,nG/V*｝,則訶?麗的最大值為（）

A.9B.8C.7D.6

二、單空題（本大題共5小題，共25.0分）

10.（2021?北京市?模擬題）已知雙曲線好一=1的一個焦點與拋物線8%+必=o的焦

m

點重合，則該雙曲線的離心率為.

11.（2021?北京市?模擬題）已知等比數(shù)列5｝中，a2=或0=-4,則公比q=,

數(shù)列｛W｝的前〃項和為.

12.（2021?北京市?模擬題）已知函數(shù)f（x）=若8,0）,使得f（xo）+

（9尢<u

/（-&）=0成立，請寫出一個符合條件的函數(shù)g（x）的表達式.

13.（2021?北京市?模擬題）魏晉南北朝（公元220-581）時期，中國數(shù)學在測量學取得了

長足進展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補原理，通過多次觀測，測量

山高水深等數(shù)值，進而使中國的測量學達到登峰造極的地步，超越西方約一千年，

關(guān)于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第一題為測量海島的高度和距離（圖1）,故題

為您島算經(jīng)》受此題啟發(fā)，小清同學依照此法測量奧林匹克公園奧林匹克塔的高

度和距離（示意圖如圖2所示），錄得以下是數(shù)據(jù)（單位：米）：前表卻行DG=1,表

高CD=EF=2,后表卻行FH=3,表間。F=244.則塔高力B=米，前表

去塔遠近BD=米.

14.（2021?北京市?模擬題）關(guān)于任意平面向量可實施以下6種變換，包括2種v變換和4

種w變換

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v1：模變?yōu)樵瓉淼?倍，同時逆時針旋轉(zhuǎn)90。；

v2：模變?yōu)樵瓉淼模罕?，同時順時針旋轉(zhuǎn)90。；

wi：模變?yōu)樵瓉淼慕?，同時逆時針旋轉(zhuǎn)45。；

w2：模變?yōu)樵瓉淼乃谋?，同時順時針旋轉(zhuǎn)45。：

u/3：模變?yōu)樵瓉淼?倍，同時逆時針旋轉(zhuǎn)135。；

模變?yōu)樵瓉淼聂~倍，同時順時針旋轉(zhuǎn)135。

記集合S=W2，W3，W4｝，若每次從集合S中隨機抽取一種變換，每次抽取

彼此相互獨立，經(jīng)過〃次抽取，依次將第i次抽取的變換記為由。=0,1,2,…，n),

即可得到一個"維有序變換序列，記為%…,即)，則以下判斷中正確的序號

是.

①單位向量7=(1,0)經(jīng)過奇數(shù)次V變換后所得向量與向量方=(0,1)同向的概率為點

②單位向量：=(1,0)經(jīng)過偶數(shù)次W變換后所得向量與向量石=(1,1)同向的概率為點

③若單位向量；=(1,0)經(jīng)過變換后得到向量丁=(-1,0)，則中有且只有2個V

變換；

④單位向量；=(1,0)經(jīng)過變換后得到向量3=(-1,0)的概率為攀.

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分)

15.(2021?北京市?模擬題)已知△力BC中，點。是邊8c的中點，

cosB=尊，AD=4近,?/\

從①乙BAD=&②BD=7,這二個條件中任選一個，B'-------D------"

補充在上面問題中并作答.

(1)求sin乙4OC；

(2)求AZBC的面積?

16.(2021?北京市?模擬題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，

底面ABCO是邊長為2的正方形,△PAB為正三角形,

且側(cè)面P4B1底面ABC。，M為尸。的中點.

(1)求證：PB〃平面ACM；

(2)求直線與平面PAO所成角的正弦值;

(3)求二面角C一P力一。的余弦值.

17.(2021?北京市?模擬題)第二十四屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京市和張家

口舉行.為了調(diào)查學生對冬奧會知識的了解情況，某校對高一、高二年級全體學生

進行了相關(guān)知識測試，然后從高一、高二各隨機抽取了20名學生成績(百分制)，

并對數(shù)據(jù)(成績)進行了整理、描述和分析.下面給出了整理的相關(guān)信息：

高一年級成績分布表

成績(分數(shù))[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

人數(shù)123410

(1)從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是多少？

(2)分別從高一全體學生中抽取一人，從高二全體學生中抽取2人，這三人中成績

不低于90分的人數(shù)記為X,用頻率估計概率，求X的分布列和期望？

(3)若按照得分從高到底分為A、B、C,。、E,學校為提高對冬奧會知識的了解情

況需要在高一或高二進行一場講座，假設(shè)講座能夠使學生成績普遍提高一個級別，

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那么若要想高一和高二學生的平均分盡可能的高，需要在高一講座還是高二講座?

18.(2021?北京市?模擬題)已知函數(shù)/'(x)=ex-x2-2ax-l(aeR).

(1)若a=0,求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若a=求證：當x￡(0,1)時，/(x)<0；

(3)若對任意的實數(shù)xe(0,+oo),/(%)>0恒成立，求a的最大值.

19.(2021.北京市.模擬題)已知橢圓C：各，=l(a>b>0)焦距為2,一條連接橢圓

的兩個頂點的直線斜率為它.

2

(1)求楠圓C的方程；

(2)過橢圓C右焦點尸且不與x軸重合的直線與橢圓C相交于A,B兩點,試問x

軸上是否存在點P,使得直線AP,PB斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及

點P的坐標：若不存在，說明理由.

20.(2021.北京市.模擬題)已知無窮數(shù)列｛斯｝，若存在常數(shù)meR,滿足：

①對于也八｝中的任意兩項a”ay(i>;),在｛5｝中都存在一項耿，使得以=mat-aj；

②對于｛an｝中的任意一項以(卜23),在｛冊｝中都存在兩項由，a7(i>；),使得以=

mat—ay；

則稱數(shù)列｛an｝為0數(shù)列，機稱為該0數(shù)列的特征值.

(1)數(shù)列｛/｝：a,b,b,b,其中b#0,判斷｛aj是否為0數(shù)列,若是。數(shù)列，

求出該數(shù)列的特征值，若不是，請說明理由；

(2)數(shù)列｛斯｝是特征值為3的0數(shù)列，且0<的<a?，判斷是否存在76R，滿足VnG

N*,an<T,并請說明理由；

(3)數(shù)列｛an｝單調(diào)，且是特征值為2的0數(shù)列，求證：數(shù)列｛a,J為等差數(shù)列.

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答案和解析

1.【答案】B

【知識點】交集及其運算

【解析】解：因為集合4={x€N|x>1},B=(x\x<3},

則4n8={2,3}.

故選：B.

利用集合交集的定義求解即可.

本題考查了集合的運算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義,

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【知識點】復(fù)數(shù)的四則運算

【解析】解：因為復(fù)平面坐標系第三象限內(nèi)的點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a-i,

則a<0,

又|z|=2,則a2+1=4,

解得a=-V3.

故選：D.

利用復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，得到a<0,然后利用模的定義，求解〃即可.

本題考查了復(fù)數(shù)幾何意義的運用以及復(fù)數(shù)模的計算公式的運用，考查了運算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【知識點】函數(shù)的奇偶性

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，y=?是奇函數(shù)，但值域為卜氏K0},不符合題意；

對于5,y=x+%是奇函數(shù)，但其值域為{X|x22或xW-2},不符合題意；

對于C,y=x-p是奇函數(shù)，其值域為R,符合題意；

對于力，y=Sinx,是正弦函數(shù)，其值域為[一1,1],不符合題意.

故選：C.

根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性和值域，綜合可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，涉及函數(shù)值域的計算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【知識點】圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積、表面積和體積

【解析】解：由題意，可知幾何體是三棱錐，如圖：

三棱錐的體積為：ix(^x2-ixlx2)x2=i

故選：C.

畫出圖形，結(jié)合已知條件求解幾何體的體積即可.

本題考查空間幾何體的體積的求法，空間空間想象

能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

5.【答案】D

【知識點】二項式定理

【解析】解：(2%-5廣的展開式中，通項公式為7；+i=C.25-r.(_l)r.x5+，

令5-?=1,求得r=3,可得x的系數(shù)為一它?2?=-40,

故選：D.

在二項展開式的通項公式中，令x的累指數(shù)等于1,求出r的值，即可求得x的系數(shù).

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于中檔題.

6.【答案】D

【知識點】任意角的三角函數(shù)

【解析】解：因為角a的頂點在坐標原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于

第二象限的點P,且點P的縱坐標為也

所以sina=cosa——V1—sin2a=——

22

所以sing—a)=cosa=一苧.

故選：

由任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式即可求解.

本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

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7.【答案】C

【知識點】平面向量的基本定理及其應(yīng)用

【解析】解：由圖知前=：0，

?.4D=AB+BD=AB+=AB+彳(4B-AQ=^AB-次,

?*AD=AAB4"p.AC>

故選：C.

由圖知前=2而，再利用向量的線性運算法則得到而=1荏后而，最后由向量相對

得到九〃即可.

本題考查了平面向量的線性運算法則，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】解：???｛an｝為等差數(shù)列,即+2a2+@3=54+4,

-%4-2(%+d)+a1+2d=4al+6d+4,:.d=—2,

2

???Sn=nar+"7)x(—2)=—n+(ax4-l)n,

+

①當時，/=3V1,nENf

2

???Sn=-n4-(a1+1)幾單調(diào)遞減，

②若Sn=-n2+(%+l)n單調(diào)遞減，則一/=^i<l,

:.Qi41,

???%<1是｛S"為單調(diào)數(shù)列的充分不必要條件，

故選：A.

根據(jù)等差數(shù)列通項公式，求和公式和性質(zhì)以及充分必要條件的定義判斷即可.

本題考查了充分必要條件，考查等差數(shù)列的公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【知識點】向量的數(shù)量積

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)點P(—2+或cos仇夕+VIsin。)，Q(n,(-l)n+1-

則有前=(-2+V2cos0,V7+V2sin6)，OQ=(n,(-l)n+1

則有赤?OQ=(-2+y/2cos9)-n+(V7+Vicos。)■(-l)n+1-g，

又因為neN*,

所以只有當〃為奇數(shù)時，(―1尸+1=1,且若使它取得最大值，則需使n=l,

71

則有當n=1時，OP0Q=-2+V2cos6+V7x(V7+V2sin6)=-2+\[2cos9+7+

y/14sin9=5+4(乎cos。+譽sin。)，

此時令sing=中,cos/?q，

則有麗-OQ=5+4sin(6?+0)，

故可得，當sin(0+S)=1時，訶?麗取得最大值為5+4=9.

故選：A.

根據(jù)題意，可得點P位于圓上，因此可以設(shè)出點P的參數(shù)坐標，然后利用向量數(shù)量積的

坐標運算進行求解，從而判定數(shù)量積的最大值.

本題主要考查圓的參數(shù)方程的使用，以及向量數(shù)量積和輔助角公式的使用，屬于中檔題.

10.【答案】2

【知識點】拋物線的性質(zhì)及幾何意義、雙曲線的性質(zhì)及幾何意義

【解析】解：拋物線8x+y2=0的焦點(_2,0),雙曲線/一片=i的一個焦點與拋物線

m

8x+y2=0的焦點重合，

可得雙曲線的半焦距為c=2,又a=l,所以雙曲線的離心率為：e=￡=2.

a

故答案為：2.

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的焦點坐標，然后求解雙曲線的離心率即可.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)

題.

11.【答案】-近2n-l

【知識點】等比數(shù)列的求和

【解析】解：等比數(shù)列｛&J中，a2=V2,。5=-4，

則卜”或，

=一4

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解得公比q=—V2,%=-1,

n-1

:.0n=-1x(V2),

:.an=2nt,

???數(shù)列｛W｝的前〃項和為：S=工中=2"-l.

n1—2

故答案為：2n-l.

利用等比數(shù)列通項公式列方程組，能求出公比q=—a，%=-1,從而an=-lx

(偽f進而成=2“T,由此能求出數(shù)列｛a。的前〃項和.

本題考查等比數(shù)列的公比、前〃項和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

12.1答案］g(x)=x+1

【知識點】函數(shù)的解析式

【解析】解：根據(jù)=0,g(-l)=0,??.可寫出一個符合條件的函數(shù)g(x)=x+1.

故答案為：g(x)=x+l.

通過沏=-1，g(-l)=，nl=0,可寫出一個符合條件的函數(shù).

本題考查函數(shù)解析式求法，考查數(shù)學運算能力及直觀想象能力.

13.【答案】246122

【知識點】解三角形的實際應(yīng)用

【解析】解：根據(jù)題意，,=*="2=筋，需=落=|=薪篙，

o

???2(BD+1)=-(BD+247),解得BD=122(米)，

???AB=2x(122+1)=246(米).

故答案為：246,122.

可看出△CDGSAABG,4EFHFABH,從而可得出黑=2,篇*=；這樣即可求

出BO和AB的值.

本題考查了相似三角形的對應(yīng)邊的比例關(guān)系，考查了計算能力，屬于中檔題.

14.【答案】①②③

［知識點】函數(shù).y=Asin(a)x+(p)的圖象與性質(zhì)

【解析】解：對于①，單位向量7=(i,o)經(jīng)過奇數(shù)次丫變換后，情況如下：

(1)最終狀態(tài)為逆時針旋轉(zhuǎn)90。，此時單位向量f=(1,0)與向量日=(0,1)同向；

(2)最終狀態(tài)為順時針旋轉(zhuǎn)90。，此時單位向量￡=(1,0)與向量日=(0,1)逆向；

所以單位向量；=(1,0)經(jīng)過奇數(shù)次V變換后，所得向量與向量為=(0,1)同向的概率為去

故選項①正確；

對于②，單位向量：=(1,0)經(jīng)過偶數(shù)次w變換后，情況如下：

(1)最終狀態(tài)為逆時針旋轉(zhuǎn)90。，與向量石=(1,1)不同向；

(2)最終狀態(tài)為順時針旋轉(zhuǎn)90。，與向量石=(1,1)不同向；

(3)最終狀態(tài)為逆時針旋轉(zhuǎn)45。，與向量方=(1,1)同向；

(4)最終狀態(tài)為順時針旋轉(zhuǎn)945,與向量加=(1,1)不同向.

所以單位向量1=(1,0)經(jīng)過偶數(shù)次卬變換后所得向量與向量(1,1)同向的概率為3

故選項②正確；

對于③，單位向量：=(1,0)經(jīng)過G6變換后得到向量］=(-1,0).

由于；=(1,0)與j=(一1,0)屬于逆向關(guān)系，即都是單位向量，

經(jīng)過G6變換后要保證模長不變，因此只能有2個v變換和4個卬變換，

故選項③正確；

對于④，單位向量：=(1,0)經(jīng)過G6變換后得到向量了=(-1,0).

經(jīng)過變換后要保證模長不變，因此只能有2個v變換和4個w變換，

并且經(jīng)過G6變換后最終要得到單位向量；=(1,0)逆時針旋轉(zhuǎn)180。，

所以其中4次變換要回到單位向量：=(1,0),

由③可知，單位向量：=(1,0)經(jīng)過G6變換后得到向量j=(-1,0)，

G6中有且只有2個2個v變換，滿足題意的這2個2個丫變換的情況有：

(1)%兩次變換；

(2)外兩次變換；

(3)%和%各一次變換.

據(jù)此討論這3種情況下的w變換，

故選項④錯誤.

故答案為：①②③.

分別對4個選項進行分類討論，根據(jù)討論結(jié)果判斷正確或錯誤即可.

本題考查了平面向量的變換，概率的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，分類討論

各種成立的情況，屬于難題.

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15.【答案】解：選擇①：

(1)因為在△力BC中，cosB二尊,

所以0<8<a

可得sinB=V1—cos2B=—.

7

所以sinzJlDC=sin^Z.BAD+乙B)=sinZ-BAD?cos乙B+cosZ.BAD-sinz.B=1x手+

Vs2a3VH

—X—=------.

2714

(2)在△ABC中，由正弦定理:

s\nz.BADsinzH

ADxs\nz.BAD4,V?x1

得BD=

所以SAABC=2sAA"=2x^xADxDCXsin^ADC=4?x7x奢=4273.

選擇②

(1)在△ABC中，由正弦定理一臉；=」，，

'/sinz.BADsinzB

得sin血0=吧則三=號"

AD4772

因>BD,

所以0</.BAD<ZB<|,

所以/BAD=￡

所以sinZJlOC=sin(Z.BAD+4B)=sinz.BAD-cosz.8+cosz.BAD-sinzB=1x吁+

(2)SAABC=2S&ADC=2x^xADxDCxsin/.ADC=4夕x7x誓=42^3.

【知識點】正弦定理

【解析】選擇①：

(1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin8的值，進而根據(jù)兩角和的正弦公式即

可求解.

(2)在△力BC中，由正弦定理可得8。，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

選擇②

(1)在A/IBC中，由正弦定理可求sin/B4D,進而可求NBA0的值，根據(jù)兩角和的正弦公

式即可求解.

(2)利用三角形的面積公式即可求解.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面

積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16.【答案】(1)證明：連接BD,與AC交于。，在APBO中，

v0,M分別為BO,PO的中點，BP〃OM,

???BP,平面ADE,OMu平面CAM,

BP〃平面CAM.

(2)取AB的中點E,???△P4B為正三角形，E是A8的中點，PE14B.

又???面PABJ■底面ABC￡>,ABC。是正方形，

PEJL平面ABCD.

過E作EF平行于CB與CD交于F.

以E為原點，分別以E2,EF,EP為x,y,z軸，

建立空間直角坐標系E-xyz,

則E(0,0,0),B(l,0,0),4(一1,0,0),

P(0,0,V3),C(l,2,0),D(-l,2,0).M(-1,1歲,

■■PA=(-1,0,一6),同=(0,2,0),麗=(一|,1,4)，

設(shè)平面PAD的法向量為ri=(%,y,z),則，令z=1.則％=—舊，得元=(―8,0,1).

設(shè)直線8M與平面幺。所成角的正弦值為明

???sina=Icos伍，詢〉|=疆=言=今

即直線與平面PAO所成角的正弦值勺.

2

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(3)由(2)可知方=(2,2,0).設(shè)平面PAC的法向量為沅=(xi.ypZi),

(m-AC~2x+2y=0*.廠(一

則，一_,xx.令Zi=1.則mil/=-V3,yi=V3.

{m-PA=—xr—v3z1=0

rn=(-73,73,1).

l一nm2-77

1，-cos<n-7nn>=^=—

由題知，二面角c-PA-。為銳二面角，

.??二面角C-24—。的余弦值為竺.

7

【知識點】利用空間向量求線線、線面和面面的夾角

【解析】(1)連接B。，與AC交于0,證明BP〃OM,然后證明BP〃平面CAM.

(2)過E作所平行于CB與C。交于尸.以E為原點，分別以E8,EF,EP為x,y,z軸，

建立空間直角坐標系E-xyz,求出平面尸AD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直

線8M與平面PAD所成角的正弦值即可.

(3)求出平面P4C的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角C-PA-。的余弦值即可.

本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，二面角的平面

角的求法，是中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)從高一樣本中抽取一人成績不低于90分為事件A,從高二抽取一

人成績不低于90分為事件B：

兩人成績都不低于90分的概率為：PG4)P(B)=啜x0.025x10=

ZUo

(2)由題意可知從高一年級中抽取一人此人成績不低于90分的概率為會從高二年級中

抽取一人此

人成績不低于90分的概率為;；X的可取值為0,1,2,3,

4

P(X=0)=(l-1)x(l-i)2=^

P(X=l)=ix(1-^+(l-l)Cixlx(l-l)=l|)

P(X=2)=：x6x；x#(l—河)2=*

P(X=3)=NG)2=M

X的分布列如下表

所以以X)=0xV+lxH+2x5+3x2=1.

(3)需要在高二講座.

【知識點】離散型隨機變量的期望與方差、離散型隨機變量及其分布列

【解析】(1)設(shè)從高一樣本中抽取一人成績不低于90分為事件A,從高二抽取一人成績

不低于90分為事件B；然后求解概率即可.

(2)X的可取值為0,1,2,3,求出概率，得到分布列，然后求解期望.

(3)利用已知條件判斷講座所在位置.

本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力，是

中檔題.

18.【答案】解：(1)當a=0時，/(x)=ex-x2-l,

則1(x)=-2x,<(0)=1,又f(0)=0,

二切線方程為y=%；

(2)證明：(證法1)當a=［時，/(x)=ex-x2-x-1,

當XG(0,1)時，/(X)<0=〃</+%+1=1<

設(shè)9(x)=胃11/€(0,1).

則g'(x)=3+】)U『+i)e、=蓼

當0<x<1時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，注意到g(0)=1,

.?.當xG(0,1)時，g(x)>g(0)=1,結(jié)論成立.

二當x6(0,1)時，/(x)<0；

(證法2)當Q=3時，f(x)=ex-x2-x—1,xe(0,1).

則/'(x)=ez—2x—1,f"(x)=ex-2；

令/〃(x)=0,解得x=，n2.

當0<x<ln2,f"(x)<0；當，n2<x<1時，f"(x)>0.

故x=ln2是/'(x)的極小值點,f'(ln2)=eln2-2ln2-1=1-2ln2<0.

注意到f'(0)=0,/'(l)=e-3<0.

.?.當xe(0,l),f(x)<0,同時〃0)=0；

二當％e(0,1),y(x)<o；

(3)由(2)可知，當a2g時，e"—7—2a%—1We*—/—%—i<。在。<%<1上恒

成立;

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?,?當a>［時，/(x)>0不可能恒成立，Q<5

Vx6(0,4-oo),ex—x2—2ax—1>0

等價于蜻>x2+2ax+1等價于1>立誓；

ex

設(shè)9(乃=立等±1(》>0),

g|.i_(2x+2a)ex-(x2+2ax+l)ex_-x2+(2-2a)x+(2a-l)

人jg=(e/)2=>

令g'(x)=0，解得=1-2a,x2=1.

由于題目探尋a的最大值，我們先來研究0<a<3的情形:

當x變化時，g'(x)與g(x)的變化情況如下表所示:

X(0,1-2a)1-2a(l-2a,l)1(1,+<?)

九'(%)—0+0—

h(x)極小值T極大值

由于g(o)=L要使g(%)工1恒成立，只需g(l)Wl即可；

：?5(1)=刃色<l=>a<j-l,vj-l>0,Q的最大值不可能在Q<0取到,

???對任意的實數(shù)％6(0,4-co),/(%)>0恒成立，。的最大值是:一1.

【知識點】函數(shù)的最值、不等式的恒成立問題

【解析】(1)對函數(shù)/(%)求導(dǎo)，求出切線的斜率，再得到切線的方程；

(2)證法1：利用“%)V0=靖<產(chǎn)+%+1=1<應(yīng)瀘，證明g(x)=次瀘>1即

可；

證法2：直接求出f(x)=e"--一工一1的單調(diào)性，再證明f(%)v0；

(3)先由(2),判斷出a<3將/(x)20轉(zhuǎn)化為12立等，得到awg-l,再得到a

的最大值.

本題考查了函數(shù)恒成立的問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的

問題，計算量較大，是中檔題.

(2c=2

19.【答案】解：⑴由題意易知：］”苧，解得：a=2,b=遮，

(Q2=ft24-C2

橢圓c方程為：立+尤=1.

43

(2)由(1)知糊圓C右焦點F坐標為(1,0),

設(shè)直線AB：x=my4-1,A(x1,y1),B(x2,y2^P(n,O),

由+4?121]2'得(3m2+4)y2+6my-9=0；

顯然△>(),且%+刈=一焉,為力=一七,

止匕時々P/kpB=----------=--------------四2---------------

PAPB

心口」%1-nx2-n(myx+l-njCmyz+l-n)

=________________71y2________________

2

M2yly2+(1—n)m(yx+y2)4-(1-n)

9

=______________一3-2+4______________

_3nJ+4—(1-n)m+(1-n)2

_9

9m2+6m2(l—n)—(1—n)2(3m2+4)

____________9__________

3m2(4-n2)-4(l-n)2'

由上式知：無論相取何值，當污=4,

即n=±2時，々p.kpB是一個與相無關(guān)的定值，

91

=;

當n=-2時，kPAkPB=3m2(4-M)-4(IF)2~4

99

當71=21時，kpAkpB=3m2(4-n2)-4(l-n)2=~4

綜上，存在定點，當定點為P(-2,0)時，直線AP,PB斜率之積部/PB=-$

當定點為P(2,0)時，直線AP,PB斜率之積kp.kpB=-，

【知識點】直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的概念及標準方程

【解