2023年工程碩士考試(GCT)數(shù)學歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年工程碩士考試(GCT)數(shù)學歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點試題黑鉆版(共50題)1.兩堆煤共重76.5噸．第一堆運走，第二堆運走后，剩下的兩堆煤正好相等，第一堆煤原來有(

)噸．A.30B.34C.38D.42.52.已知z∈R+，n∈Z+，若二項式展開式中倒數(shù)第三項系數(shù)為-180，則n=______。A.9B.10C.9或10D.123.已知數(shù)列{an}，{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為a1和b1，且a1+b1=5，a1，b1∈Z+．設cn=abn，則數(shù)列{cn}的前10項和等于

．A.55B.70C.85D.1004.設A為反對稱矩陣，且|A|≠0，B可逆，A、B為同階方陣，A*為A的伴隨矩陣，則[ATA*(B-1)T]-1=______。

A．

B．

C．

D．5.X=(1，-1，2)T是的特征向量則a，b的值為______。A.5，2B.1，-3C.-3，1D.-1，36.若x＜-2，則|1-|1+x||的值等于______。A.-xB.xC.2+xD.-2-x7.8.9.正方體的棱長增加2倍，則表面積和體積擴大分別變?yōu)樵瓉淼腳_____倍。A.4，8B.2，8C.9，9D.9，2710.11.O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，滿足，λ∈[0，+∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的______。A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心12.設x0是矩陣A的特征向量，那么不以x0為特征向量的矩陣是______。A.A-2EB.3AC.ATD.A213.設，g(x)=x3+x4，則當x→0時，f(x)是g(x)的______。A.高階無窮小B.同階但非等價無窮小C.等價無窮小D.低階無窮小14.15.16.P(a，b)是第一象限內(nèi)的矩形ABCD(含邊界)中的一個動點，A，B，C，D的坐標如圖所示，則的最大值與最小值依次是______。

A．

B．

C．

D．17.18.19.A為M×n矩陣，且m＜n,Ax=0是Ax=b的導出組，則下述結論正確的是

。A.Ax=b必有無窮多組解B.Ax=0必有無窮多組解C.Ax=0只有零解D.Ax=b必無解20.一個圓柱形的飲料瓶如題15圖所示，其容積為300mL．現(xiàn)瓶內(nèi)裝有一些飲料．該瓶正放時，飲料高度為20cm，若該瓶倒放時，空余部分的高度為5cm，瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料的體積為

cm3．

A.160B.200C.240D.28021.函數(shù)，以f(x)表示f(3x)為______。

A．

B．

C．

D．22.已知AP=PB，其中

23.A，B為n階矩陣，k為自然數(shù)，如AB=BA，則稱A和B可交換，下面命題錯誤的是

．A.若A，B都為對稱陣，則A，B可交換B.若A，B可交換，則ABk與BAk可交換C.若A-B與A+B可交換，則A與B可交換D.若A，B互為逆矩陣，則A與B可交換24.25.下圖是我國古代的“楊輝三角形”，按其數(shù)字構成規(guī)律，圖中第八行所有○中所填數(shù)字和等于______。

A.96B.128C.256D.31226.27.28.記行列式為f(x)，則方程f(x)=0的根的個數(shù)為______。A.1B.2C.3D.029.園林工人要在周長300m的圓形花壇邊等距離地栽上樹．他們先沿著花壇的邊每隔3m挖一坑，當挖完30個坑時，突然接到通知：改為每隔5m栽一棵樹．這樣，他們還要挖

個坑才能完成任務．A.55B.54C.53D.5230.函數(shù)(x＞0)在定義域內(nèi)是______。A.一個間斷點B.兩個間斷點C.三個間斷點D.連續(xù)31.當x取

時，等式恒成立．

32.甲盒中有200個螺桿，其中A型的有160個；乙盒中有240個螺母，其中A型的有180個，從甲乙兩盒中各任取一個零件，能配成A型螺栓的概率為______．

A．

B．

C．

D．33.方程x2-2x+c=0的兩根之差的平方等于16，則c的值是

．A.3B.-3C.6D.034.35.36.在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率P的取值范圍是______。A.[0.4，1)B.(0，0.4]C.(0，0.6]D.[0.6，1)37.一件工作，甲單獨做12h可以完成，現(xiàn)在甲、乙合做2h舌，甲因事外出，剩下的工作乙又用了5.5h做完，如果這件工作全部由乙做，則需要

h。A.11B.10C.9D.838.如果sin(α+β)=0.8，cos(α-β)=0.3，那么(sinα-cosα)(sinβ-cosβ)=______。A.0.6B.0.5C.-0.5D.-0.639.已知角α的終邊通過點P(3，4)，則sinα+cosα+tanα=______。

A．

B．

C．

D．40.若直線y=k(x-1)與拋物線y=x2+4x+3的兩個交點都在第二象限，則k的范圍是

．A.(-3，-1)B.(-3，0)C.(-2，1)D.(1，0)41.42.矩陣的最小特征值和其所對應的線性無關的特征向量______。A.5，[-1，1，1]TB.-5，[-1，0，1]TC.-5，[-1，1，1]TD.5，[-1，0，1]T43.44.四面體ABCD沿棱DA，DB，DC剪開，將面ADB，面ADC和面BDC展開落在平面ABC上，恰構成一個邊長為1cm的正方形AEGF(如下圖所示)，則原四面體的體積是______cm3．

A．

B．

C．

D．45.設，則=______。

A．

B．

C．

D．46.下列矩陣中，不能相似于對角矩陣的是______。

A．

B．

C．

D．47.如兩個相似三角形的面積之比是1:4，那么它們的邊長之比為

。A.1:16B.1:8C.1:4D.1:248.如圖2—7所示，正方形ABCD的邊長為a，以AB，BC，CD，DA分別為直徑畫半圓，這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積為

．

49.50.如圖所示，正方形ABCD的面積是25，矩形DCFE中，CF=8，則DF的長為______。

A．13

B．

C．

D．第1卷參考答案一.歷年考點試題黑鉆版1.參考答案：D[解析]設第一堆有x噸，第二堆有y噸，則解得，，選(D)．2.參考答案：B[解析]倒數(shù)第三項為，即或n=-9，選B。3.參考答案：C

數(shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，且a1+b1=5，則數(shù)列{cn}的前10項和等于ab+ab2+…+ab10=ab1+ab1+1+…+ab1-9，ab1=a1+(b1-1)=4，所以ab1+ab1+1+…+ab1+9=4+5+6+…+13=85，選(C)．4.參考答案：C[解析][ATA*(B-1)T]-1=[(B-1)T]-1(A*)-1(AT)-1

故正確答案為C。5.參考答案：C[解析]，選C。6.參考答案：B[解析][方法一]|1-|1+x||=|2+x|=-2-x，選D。

[方法二]代入x=-3，馬上排除A，B，C，得到答案D。7.參考答案：C8.參考答案：D9.參考答案：D[解析]設正方體棱長為a，增加2倍，變?yōu)樵瓉淼?倍，為3a，故表面積和體積分別為9a2，27a3，選D。10.參考答案：D11.參考答案：B[解析]如圖所示，

，由已知

故，

因為λ∈[0，+∞)，設

故D、E分別在直線AB和AC上，

所以，

故AP是ADPE的對角線，

又因為

即。

故四邊形ADPE是菱形，

即P點在∠EAD即∠CAB的平分線上，故P點的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故正確答案為B。12.參考答案：C[解析]對Ax0=λx0，有(A-2E)x0=Ax0-2Ex0=(λ0-2)x0

(3A)x0=3Ax0=3λ0x0

可知A-2E，3A，A2的特征值分別是λ0-2，3λ0，，而x0仍是這些矩陣的特征向量，由排除法知應選C。

因為|λE-AT|-|(λE-A)T|=|λE-A|，

故A與AT有相同的特征值，但因(λE-A)x=0與(λE-AT)x=0是不同的方程組，其解不相同，故A與AT的特征向量是不同的。

故正確答案為C。13.參考答案：A[解析]

故選A。14.參考答案：D15.參考答案：D16.參考答案：A[解析]的值相當于線段OP所在直線的斜率。在第一象限內(nèi)，此斜率隨著傾斜角的增大而增大。因此從圖中可以看出：

當P點與A點重合時，OP斜率最大，即；

當P點與C點重合時，OP斜率最小，即。故應選A。17.參考答案：D18.參考答案：A19.參考答案：B[解析]由m＜n可得Ax=0中方程個數(shù)小于未知量個數(shù)(即r(A)＜n)，所以Ax=0存在非零解，從而Ax=0必有無窮多組解。

Ax=b有解，在此題中沒有提供r(A)與r(A|b)是否相等的信息，因此，無法判斷Ax=b解的情況。

故正確答案為B。20.參考答案：C設圓柱形瓶的底面積為S(cm2)．如題15圖(1)瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料的體積為20S(cm3)．由圖(2)瓶內(nèi)空余部分的體積為5S(cm3)．

瓶的體積V=飲料體積+空余體積=20S+5S=25S=300(cm3)．故S==12(cm2)．

故瓶內(nèi)飲料體積為20S=20×12=240(cm3)．

故應選C．21.參考答案：C[解析]，選C。22.參考答案：A[解析]因P可逆，且故有

由于A2=PBP-1PBP-1=PB2p-1，可見A5=PB5p-1=PBP-1=A，則

故A為正確答案。23.參考答案：A[解析](AB)T=BTAT=BA，選(A)．24.參考答案：B25.參考答案：B[解析]由二項式系數(shù)和公式知，楊輝三角第8行的數(shù)字和等于n=7時的二項式系數(shù)和，故結果為27=128，選擇B選項。26.參考答案：A27.參考答案：D28.參考答案：A[解析]因為，選A。29.參考答案：B[解析]顯然原來每隔15m處挖的坑還可以使用，90m中這樣的坑有6個，在這90m中還需要挖12個；總共剩下210m，這樣需要挖42個，故還需要挖54個，選(B)．30.參考答案：D[解析]

(1)若0＜x≤e，則

由于是有界變量，從而f(x)=1。

(2)若x＞e，則

由于是有界變量，從而f(x)=lnx；即。

判斷函數(shù)連續(xù)與否只要驗證分段點是否連續(xù)即可。因為，說明函數(shù)f(x)在x=e連續(xù)，所以f(x)在定義域x＞0內(nèi)連續(xù)，選D。31.參考答案：A

根據(jù)絕對值的性質(zhì)，可知選(A)．32.參考答案：C[解析]本題考查了等可能事件的概率公式和分步求積的計數(shù)原理．

解法1

根據(jù)題意，從甲、乙兩盒中各任取一個零件配在一起，共有200×240種情況，其中有160×180種是A型螺栓．所以要求的概率是

故正確選項為C．

解法2

本題也司以利用獨立事件的概率乘法公式直接求得

33.參考答案：B

根據(jù)(x1-x2)2=16(x1+x2)2-4x1x2=4-4c=16c=-3，選(B)．34.參考答案：C35.參考答案：C36.參考答案：A[解析]由于4次相互獨立，所以恰好發(fā)生一次的概率為，恰好發(fā)生兩次的概率為，則，選A。37.參考答案：C[解析]因為甲用12h可以將全部工作做完，所以甲2h做完了全部工作的，由此可知，乙用7.5h做完了全部工作的，故乙做完全部工作需要。

故C為正確答案。38.參考答案：C[解析]因為

(sinα-cosα)(sinβ-cosβ)=sinαsinβ+cosαcosβ-sinαcosβ-cosαsinβ

=cos(α-β)-sin(α+β)=0.3-0.8=-0.5

故正確答案為C。39.參考答案：D[解析]，選D。40.參考答案：B

方法一

畫草圖如圖2—38所示，

直線y=k(x-1)恒過(1，0)點，當以過(1，0)和(0，3)兩點的直線按逆時針方向旋轉到與x軸重合時，這樣才在第二象限有兩個交點．故直線斜率應該在(-3，0)之內(nèi)，選(B)．

方法二

從解析法考慮：k(x-1)=x2+4x+3有兩個不等的負根，且方程有兩個不等的正根．41.參考答案：A42.參考答案：C[解析]A的特征多項式

A的特征值λ1=λ2=1，λ3=-5

故A的最小特征值為λ=-5，它的特征向量可由特征矩陣求得。

43.參考答案：D44.參考答案：A[解析]本題考查了三棱錐的體積公式、三角形的面積公式和勾股定理，考查了空間想象能力．

由題意，根據(jù)對稱性可知，C，B分別是FG和EG的中點．所