隨機(jī)事件的概率

隨機(jī)事件的概率問題提出1.日常生活中，有些問題是能夠準(zhǔn)確回答的.例如，明天太陽(yáng)一定從東方升起嗎？向上拋出的石頭會(huì)下落，這些事情的發(fā)生都是必然的.同時(shí)也有許多問題是很難給予準(zhǔn)確回答的.例如，你今天晚上什么時(shí)間睡著？明天中午12：10有多少人在學(xué)校食堂用餐？你購(gòu)買的最新款的電腦能使用多久？等等，這些問題的結(jié)果都具有偶然性和不確定性.

2.從辨證的觀點(diǎn)看問題，事情發(fā)生的偶然性與必然性之間往往存在有某種內(nèi)在聯(lián)系.例如，銀川一年四季的變化有著確定的、必然的規(guī)律，但銀川地區(qū)一年里哪一天最熱，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，那一天下第一場(chǎng)雪等，都是不確定的、偶然的.3.數(shù)學(xué)理論的建立，往往來自于解決實(shí)際問題的需要.對(duì)于事情發(fā)生的必然性與偶然性，及偶然性事件發(fā)生的可能性有多大，從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行分析與探究，就產(chǎn)生了概率論這門學(xué)科.知識(shí)探究（一）：必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件

思考1：考察下列事件：（1）導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱；（2）向上拋出的石頭會(huì)下落；（3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水溫升高到100°C會(huì)沸騰.這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點(diǎn)？

思考2：我們把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含義嗎？

思考3：你能列舉一些必然事件的實(shí)例嗎？思考4：考察下列事件：（1）在沒有水分的真空中種子發(fā)芽；（2）在常溫常壓下鋼鐵融化；（3）服用一種藥物使人永遠(yuǎn)年輕.這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點(diǎn)？在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做必然事件.思考5：我們把上述事件叫做不可能事件，你指出不可能事件的一般含義嗎？

在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做不可能事件

.思考6：你能列舉一些不可能事件的實(shí)例嗎？

思考7：考察下列事件：（1）某人射擊一次命中目標(biāo)；（2）你買了一張彩票,中獎(jiǎng)；（3）拋擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù).這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點(diǎn)？

思考8：我們把上述事件叫做隨機(jī)事件，你指出隨機(jī)事件的一般含義嗎？

在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件.思考9：你能列舉一些隨機(jī)事件的實(shí)例嗎？

必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件，確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C，…表示.

物體的大小常用質(zhì)量、體積等來度量，對(duì)于隨機(jī)事件，它發(fā)生的可能性的大小用概率來度量.

知識(shí)探究（二）：事件A發(fā)生的頻率與概率

拋擲次數(shù)（n）正面向上次數(shù)(m)頻率20484040120002400030000720881061204860191201214984361240.51810.50690.50160.50050.49960.5011試驗(yàn)1：歷史上曾有人作過拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面可能性有多大？

當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)0.5，在它附近擺動(dòng)．

我們看到：

試驗(yàn)2：某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表：

當(dāng)抽查的球數(shù)很多時(shí)，抽到優(yōu)等品的頻率接近于常數(shù)0.95，在它附近擺動(dòng).0.9510.950.940.970.920.9優(yōu)等品頻率200010005002001005019029544701949245優(yōu)等品數(shù)抽取球數(shù)某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果表：

當(dāng)試驗(yàn)的油菜籽的粒數(shù)很多時(shí)，油菜籽發(fā)芽的頻率接近于常數(shù)0.9，在它附近擺動(dòng).上述試驗(yàn)表明，隨機(jī)事件A在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不能預(yù)知的，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)后，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這個(gè)規(guī)律性是如何體現(xiàn)出來的？

事件A發(fā)生的頻率較穩(wěn)定，在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng).事件

的概率的定義

一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．

由定義可知:

（1）求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)；

（3）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；

（4）概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大??；

（5）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0．因此．

（2）只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件的概率；

隨機(jī)事件A在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不能預(yù)知的，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)后，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在區(qū)間[0，1]內(nèi)的某個(gè)常數(shù)上（即事件A的概率），這個(gè)常數(shù)越接近于1，事件A發(fā)生的概率就越大，也就是事件A發(fā)生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A發(fā)生的可能性就越?。虼耍怕示褪怯脕矶攘磕呈录l(fā)生的可能性大小的量.

思考：在相同條件下，事件A在先后兩次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率否一定相等？事件A在先后兩次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是否一定相等？

頻率具有隨機(jī)性，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率可能不相同；概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān).例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？（2）手電筒的電池沒電,燈泡發(fā)亮；（4）當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0；（5）一個(gè)電影院某天的上座率超過50％.（3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在溫度時(shí)沸騰；（1）明天這里刮西北風(fēng)；答：（4）是必然事件，（2）、

（3）是不可能事件，（1）、（5）是隨機(jī)事件.例2某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：（1）填寫表中擊中靶心的頻率；（2）這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？0.80.950.880.920.890.910.90射擊次數(shù)n1020501002005008194492178455擊中靶心的頻率擊中靶心次數(shù)m概率的意義

1、概率的正確理解問題1：有人說，既然拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上.你認(rèn)為這種想法正確嗎？

隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，可以發(fā)現(xiàn)，“正面朝上、反面朝上各一次”的頻率與“兩次均正面朝上”“兩次均反面朝上”的頻率是不一樣的，而且“兩次均正面朝上”“兩次均反面朝上”的頻率大致相等；“正面朝上、反面朝上各一次”的頻率大于“兩次均正面朝上”（“兩次均反面朝上”）的頻率.事實(shí)上，

“兩次均正面朝上”的概率為0.25，“兩次均反面朝上”的概率也為0.25，“正面朝上、反面朝上各一次”的概率為0.5.問題2:有人說,中獎(jiǎng)率為的彩票,買1000張一定中獎(jiǎng),這種理解對(duì)嗎?

說明：雖然中獎(jiǎng)張數(shù)是隨機(jī)的，但這種隨機(jī)性中具有規(guī)律性.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即隨著買的彩票張數(shù)的增加，大約有的彩票中獎(jiǎng).實(shí)際上，買1000張彩票中獎(jiǎng)的概率為.沒有一張中獎(jiǎng)也是有可能的，其概率近似為0.3677.探究（二）：概率思想的實(shí)際應(yīng)用

隨機(jī)事件無處不有，生活中處處有概率.利用概率思想正確處理、解釋實(shí)際問題，應(yīng)作為學(xué)習(xí)的一重要內(nèi)容.思考1：在一場(chǎng)乒乓球比賽前，必須要決定由誰(shuí)先發(fā)球，并保證具有公平性，你知道裁判員常用什么方法確定發(fā)球權(quán)嗎？其公平性是如何體現(xiàn)出來的？

裁判員拿出一個(gè)抽簽器，它是－個(gè)像大硬幣似的均勻塑料圓板，一面是紅圈，一面是綠圈，然后隨意指定一名運(yùn)動(dòng)員，要他猜上拋的抽簽器落到球臺(tái)上時(shí)，是紅圈那面朝上還是綠圈那面朝上.如果他猜對(duì)了，就由他先發(fā)球，否則，由另一方先發(fā)球.兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員取得發(fā)球權(quán)的概率都是0.5.思考2：某中學(xué)高一年級(jí)有12個(gè)班，要從中選2個(gè)班代表學(xué)校參加某項(xiàng)活動(dòng).由于某種原因，一班必須參加，另外再?gòu)亩潦嘀羞x1個(gè)班.有人提議用如下的方法：擲兩個(gè)骰子得到的點(diǎn)數(shù)和是幾，就選幾班，你認(rèn)為這種方法公平嗎？哪個(gè)班被選中的概率最大？不公平，因?yàn)楦靼啾贿x中的概率不全相等，七班被選中的概率最大.

思考3：如果連續(xù)10次擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)1點(diǎn)，你認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地是均勻的，還是不均勻的？如何解釋這種現(xiàn)象？

這枚骰子的質(zhì)地不均勻，標(biāo)有6點(diǎn)的那面比較重，會(huì)使出現(xiàn)1點(diǎn)的概率最大，更有可能連續(xù)10次都出現(xiàn)1點(diǎn).如果這枚骰子的質(zhì)地均勻，那么拋擲一次出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為，連續(xù)10次都出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為.這是一個(gè)小概率事件，幾乎不可能發(fā)生.

如果我們面臨的是從多個(gè)可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，這種判斷問題的方法稱為極大似然法.問題：設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱有