2021屆超級全能生高考數學聯(lián)考試卷(理科)(4月份)(丙卷)附答案解析

2021屆超級全能生高考數學聯(lián)考試卷(理科)(4月份)(丙卷)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.己知集合4={x|—1<xW2},B={x|x>a},若4nB聲0,則a的取值范圍為()

A.(-00,2)B.(-8,2]C.(-1,2)D.(-1,2]

2.若復數z的共拆復數2滿足(l—i)2=i,則復數z=()

1.

A.1+C.A?D.后-I

222

3.在同一直角坐標系中，函數y=ax2-%+：與y=a2%3-2ax2+%+a(aGR)的圖象不可能的

(1)函數y=cos?。％-sin2ax的最小正周期為TT”的充分不必要條件是“a=1”.

(2)設QE{-1,1g,3},則使函數y=%。的定義域為R且為奇函數的所有Q的值為一1,1,3.

(3)已知函數f(%)=2x+a仇%在定義域上為增函數，則Q>0.

A.1B.2C.3D.0

5.把正整數按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數表.設四式"6N+)是位于這個三角形數表中

從上往下數第i行、從左往右數第j個數，如。42=8.若%=2013,則i與1的和為()

1

24

357

681012

911131517

141618202224

A.106B.107C.108D.109

已知函數/'（X）=?尸

6.-Iog3x,若實數&是方程/（x）=0的解，且0<%V貝療（X1）的值的

值（）

A.不小于0B.恒為正數C.恒為負數D.不大于0

7.如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的左視圖是（

8.-y2=1的右焦點為產，直線。、％是雙曲線的兩漸近線，F(xiàn)H1h，H是垂足.點

M在雙曲線上，經過M分別與G平行的直線與，2、%相交于4、8兩點，。是坐標原點，40FH

的面積為品，四邊形04MB的面積為S2.則Si：52=（）

A.1：1B,1：2C.2：3D.3：2

9.當n=3時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）

A.30

B.14

C.8

D.6

r

10.11、已知2國(x-2y)=Igx+Igy,則/的值為()

A.1B.4C.1或4D.4或8

11.設p={m|-1<m<0},q={m6R|mx2+4mx—4<0對任意實數x恒成立},貝U()

A.q是p的充分不必要條件B.q是p的必要不充分條件

C.q是p的充要條件D.q是p的既不充分也不必要條件

12.北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道

衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌跡高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離

).將地球看作是一個球心為。，半徑r為6400k7n的球，其上點4的緯度是指。4與赤道平面所成角

的度數.地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為a,該衛(wèi)星信

號覆蓋地球表面的表面積S=2“2(1,cosa)(單位：km2),貝US占地球表面積的百分比約為()

A.26%B.34%C.42%D.50%

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設點P和點Q都在半圓(x-2)2+y2=l(y20)上，使得赤=2所(0為坐標系原點)，坐標表示

與麗同方向的單位向量，其結果是.

14.若等比數列{斯}滿足％,+=10，a2+a5=20,則勺=.

15.二項式(一一1)9的展開式中，含/的項的系數是.

16.曲線3x2-y2=3與y=x2-2x-8的四個交點所在圓的方程是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.設ZkABC的內角4、B、C所對邊的長分別為a,b,c,且有&sin(24+g)+sin(A+C+￡)=1+

4o

2COS2A.

(I)求4、B的值；

(H)若a?+?2=b-ac+2,求a的值.

18.長方體ABCD-4$iGDi中，AB=AD=1,AAt=2,P是上底面內的

一點，經過點P在上底面內的一條直線，滿足PC.

(1)作出直線I,說明作法(不必說明理由)；

(2)當P是46中點時，求二面角4-I-C的余弦值.

B

19.18.(本小題滿分12分)

銅陵電視臺在體育節(jié)目中插播廣告有三種方案(10秒，15秒，30秒)供業(yè)主選擇，據一段時間內

的統(tǒng)計，這三種方案被選擇的可能性分別是10%,30%,60%

(1)設X為業(yè)主隨即選擇的廣告時間長度，求E(X),并說明其含義

(2)若插播10秒廣告的售價是4000元，15秒廣告的售價是6500元，30秒廣告的售價是8000元.設

y是廣告價格，請寫出丫的分布列并求EV

20.已知函數/'(x)=atanx—e*—2a,(e為自然對數的底數).

(1)當a=1時，求/(x)在(0)(0))處的切線方程；

(2)若不等式/(x)>-3a在區(qū)間［0幣上恒成立，求實數a的范圍.

21.已知橢圓C：橙+2=l(a>b>0)過點4(-2,0),點B為其上頂點，且直線4B斜率為*

(I)求橢圓C的方程；

(H)設P為第四象限內一點且在橢圓C上，直線PZ與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求四邊形

ABNM的面積.

22.在直角坐標系xOy中，雙曲線E的參數方程為、=而(。為參數)，設E的右焦點為凡經過第

y=tand

一象限的漸進線為L以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求直線1的極坐標方程;

(2)設過F與Z垂直的直線與y軸相交于點4,P是，上異于原點。的點，當40,F,P四點在同一圓上

時，求這個圓的極坐標方程及點P的極坐標.

23.(1)求證：a2+b2+3>ab+V3(a+b);

(2)已知a,b,c均為實數，且。=/+2丫+],b=y2+2z+c=z2+2x+^,求證：a,b,c中

至少有一個大于0.

參考答案及解析

I.答案：A

解析：解：因為集合4={x|-1<x<2],B=(x\x>a],

若4CB#。，即集合4與集合8沒有公共元素，

所以a<2.

故選：A.

利用集合空集的定義進行分析求解即可.

本題考查了集合交集定義的理解和應用，考查了空集定義的應用，屬于基礎題.

2.答案：D

解析：解：由(1—=得z=±=湍粉=五消了=一2+3，

則z=-j-ji-

故選：D.

把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡求得5,再由共朝復數的概念得答案.

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題.

3.答案：B

解析：解：當a=0時，函數丫=。合一》+三的圖象是第二，四象限的角平分線，

而函數y=a2%3—2a%2+x+a的圖象是第一，三象限的角平分線，故。符合要求；

當"0時，函數y=a/-x+捆象的對稱軸方程為直線x=或，

由y=a2x3—2ax2+%+Q可得：yr=3a2x2—4ax+1,

令y'=0,則=卷x2=；,

即“1=5和"2=；為函數y=a.3_2ax2+x+a的兩個極值點，

對稱軸x=或介于/=5和亞=輛個極值點之間，

故A、C符合要求，8不符合,

故選：B.

討論a的值，當a=0時，知?？赡埽攁^O時，求出函數a/-x+/的對稱軸乂=或，利用求導函

數求出函數y=a2x3-2a/+%+a的極值點為％=*與x=比較對稱軸與兩極值點之間的關系，

知對稱軸介于兩極值點之間，從而得到不符合題意的選項.

本題考查的知識點是函數的圖象，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質，三次函數的極值點等知識

點是解答的關鍵.

4.答案：B

解析：

本題主要考查命題的真假判斷，考查了函數的圖象和性質，函數的導數，難度不大，屬于中檔題.

(1)利用二倍角公式化簡函數再利用充要條件定義進行判斷.

(2)設ae{-1,1弓,3},則使函數丫=1的定義域為R且為奇函數的所有a的值為一1,1,3.數形結合法

對各個事函數判斷.

(3)利用函數的導數在定義域內/'(x)>0判斷即可.

解：(l)y=cos2ax—sin2ax=cos2ax；

最小正周期為九時有：7=器27r=小即a=±L

若"a=l"時.y=cos2ax—sin2ax=cos2ax=cos2x,其周期為：T=§=兀，故函數y=

cos2ax-sin2ax的最小正周期為?！钡某浞植槐匾獥l件是"a=1".

故(1)正確，

(2)設則使函數丫=/的定義域為R且為奇函數的所有。的值為一1,1,3)錯誤，當

a的值為-1定義域不是R.

(3)已知函數f(x)=2x+a，nx在定義域上為增函數，/'(x)=2+￡>0在定義域x>0上恒成立，a>

-2x,在x>0上恒成立，又因為一2刀<0,則有a20,故(3)正確.

故(1)(3)正確.

故選：B.

5.答案：D

解析：

本題考查了等差數列的通項公式和前n項和公式，考查了觀察和分析圖表的能力，屬中檔題.通過觀

察給出的三角形數表，找到如下規(guī)律，奇數行都是奇數，偶數行都是偶數，且每一行的數的個數就

是行數，然后根據2013是第1007個奇數，利用等差數列的前n項和公式分析出它所在的行數，再利

用等差數列的通項公式求其所在的列數，貝Ui與)的和可求.

解：由三角形數表可以看出其奇數行中的數都是奇數，偶數行中的數都是偶數,2013=2x1007-1,

所以2013為第1007個奇數，又每一行中奇數的個數就是行數，又前31個奇數行內奇數的個數的和為

31x1+沿力二絲=961,即第31個奇數行的最后一個奇數是961X2-1=1921,前32個奇數行

內奇數的個數的和為32x1+經有二左=1024,故2013在第32個奇數行內，所以i=63,因為第

63行的第一個數為1923,則2013=1923+2(巾一1),所以m=46,

即j=46,所以i+/=63+46=109.

故選D

6.答案：B

解析:解：,?,實數&是方程f(%)=0的解，=

?.?函數y=(1)z,y=log3%在(0,+8)上分別具有單調遞減、單調遞增，

二函數/(X)是減函數.

又"0<xx<x0,

???/■(%)>以Xo)=0.

故選8.

利用指數函數和對數函數y=《尸，y=log3%在(0,+8)上的單調性，可得函數“X)的單調性.再利

用函數零點的意義即可得出.

本題考查函數的單調性和函數的零點的意義，屬于基礎題.

7.答案：C

解析：解：根據題意，得；

該幾何體的左視圖是從左向右的投影，

應該是正方形，以及被擋住的從下到上的一條對角線，要畫成虛線；

如圖所示：

故選：C.

根據三視圖的意義，結合幾何體的結構特征，即可得出正確的結論.

本題考查了空間兒何體三視圖的應用問題，是基礎題目.

8.答案：A

解析：解：雙曲線C：/72=1漸近線方程為丫=±，不妨X

取匕：y=%,l2：y=—%,U\L

Gl/2,設過M與4平行的直線方程為“：y=%-\\妾必

X。+yo，）x

過M與。平行的直線方程為"'：y=-x+x0+y0,///\^\

//與％的交點人聯(lián)立仁二廠°+叫解得當=號；//I、

%,與匕的交點為B,聯(lián)立｛二丁+殉+'解得孫=空.

則|。川=近同一01=4閡一y°|,同理1081=當品+y°I,

則52=\0A\■\0B\=||Xo-yol=P

又F（夜,0）,A。，尸為等腰直角三角形，

A\OH\=\HF\=V2-cos45。=1.則S[=|x1x1=1.

Sj：52=1：1.

故選：A.

由己知求得雙曲線的兩條漸近線方程，設M（沏,yo）,可得與兩條漸近線平行的直線方程，聯(lián)立直線

方程求得4、B的坐標，可得|0川與|0B|的值，即可求得四邊形OAMB的面積為S2,再求出△OFH的

面積為工，則答案可求.

本題考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線位置關系的應用，考查運算求解能力，是中檔題.

9.答案：B

解析：解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

n=3,K=1,S=0

滿足條件k4n,S=2,K=2

滿足條件k<n,S=6,K=3

滿足條件S=14,K=4

不滿足條件kSn，退出循環(huán)，輸出S的值為14.

故選:B.

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S,K的值，當K=4時，不滿足條件ksn,退出循環(huán)，

輸出S的值為14.

本題主要考察了循環(huán)結構的程序框圖，依次正確寫出每次循環(huán)得到的S,K的值是解題的關鍵，屬于

基本知識是考查.

10.答案:B

21g(x-2y)=lg(x-2y)!=lg(孫),x:+4y2-4xy=(x-y)(x-4y)=0,

解析：

x=y(舍)或x=4y,-=4,故選B.

y

11.答案：B

解析：解：集合q中m/+4mx-4<0對任意實數%恒成立，

當m<0,月一△=(4m)2+16m<0,即167n(m+1)<0,解得—1<m<0；

當m=0,顯然-4<0；

當zn>0,不成立.

綜上，集合Q={-1<巾40},

又因為P={zn|-l<m<0),所以q是p的必要不充分條件.

故選:B.

對于集合q：當m=0時，-4小于0對任意實數%恒成立；當?n小于。時，根據二次函數開口向下，要

使7nx2+4mx-4<0對任意實數x恒成立，只要△小于0,列出不等式即可求出m的范圍；當wt大于0

時，二次函數開口向上，不成立，綜上得到集合q與集合P得關系，即可得到正確答案.

此題是以不等式恒成立的問題為平臺，考查了子集與真子集的定義，關鍵是求出集合q,是一道基礎

題.

12.答案：C

解析：解：由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖,

也聿

B

地球舲止同步軌遺衛(wèi)及

則0B=36000+6400=424000,那么cosa=----=—；

4240053

衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面面積S=27rr2(l—cosa),

那么，S占地球表面積的百分比為"2(f)=空"42%.

4nr2106

故選：C.

由題意，地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，求解cosa,根據衛(wèi)星信號覆蓋的地球表

面面積可得S占地球表面積的百分比.

本題考查了對題目的閱讀能力和理解能力，屬于基礎題.

13.答案：(苧，手)

解析：解：設點P(M，y1)，點<2(%2，刈)；

由前=2所，得

儼1=2(。-%1)

lyi=2(72-71)(

2

X1=~x2

%=|丫2

又點P和點Q都在半圓(X—2)2+y2=l(y>0)±,

(如2-2產+挽=1

(%2-2產+羽=1

'15

*2=不

解得

3b'

丫2==

5

%1=-

14

%4

.?屈=M)，

???與麗同方向的單位向量是沆=（延,理）.

88

故答案為：（延,包）.

k887

由題意設點P、Q的坐標，由向量相等和點P、Q都在半圓上求得P、Q的坐標，再計算與可同方向的

單位向量.

本題考查了平面向量的坐標運算與模長問題，也考查了圓的方程應用問題，是中檔題.

14.答案：2

解析:解：,等比數列｛an｝滿足的+=10，a2+a5=20,

a=

???a2+sqSi+a4）=lOq=20,

解得q=2.

故答案為：2.

由已知條件，利用等比數列的通項公式得到=q（%+。4），由此能求出公式q.

本題考查等比數列的公比的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用.

15.答案：-126

解析：解：二項式（7—的展開式的通項公式為7；+]=Cr,x18-2r.（_1）r.%-r=（_1）r.舄?

x18-3r,

令18—3r=3,求得r=5,

故含式的項的系數是一琦=-126,

故答案為：—126.

先求出二項式展開式的通項公式，再令x的事指數等于0,求得r的值，即可求得展開式中的含爐項的

系數.

本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項

的系數，屬于中檔題.

16.答案：（x-4）2+（y—2）2=49

解析：解：易知，聯(lián)立曲線3/—>2=3與曠=久2一2久-8所得的方程即為所求圓的方程，考慮到圓

的標準方程的形式，

不妨設y=x2—2x—8=x2—2x—m-3n=x2—2x—m—n（3x2—y2）=（1—3n）x2+ny2—

2x—m,

+*2_2尤_y—子=0,即/+y2一gx—4y—29=0,亦即(x—4)2+(y—2>=49,

???所求圓的方程為(x-4)2+(y-2)2=49.

故答案為：(x—4)2+(y-2)2=49.

聯(lián)立曲線3%2-y2=3與丫=尤2一2刀一8所得的方程即為所求圓的方程，由圓的方程形式，構造式,

y2前的系數相等即可得解.

本題考查圓錐曲線的綜合運用，考查邏輯推理能力以及化簡變形能力，屬于中檔題.

17.答案：解：(I)由已知得：sin2A+cos2A+sin(5*)=2+cos2A,即sin2A+sin(B-^)=2,

sin2A<1,sin(B-7o)<1,

???sin2A=1,sin(F-7o)=1,

???0<24<2兀，一￡<B-g

666

/.2A==

262’

則A=3B=J

43

(II)vcosB=-I，

?,?由余弦定理得：b2=a24-c2—2accosB=a24-c2+QC,

va2+c2=h—ac4-2,

b2—h—2=0,

解得：b=2(負值舍去)，

^2

則由正弦定理得：。=竺耳=等=學.

sinB/33

2

解析：(I)已知等式變形后，根據正弦函數值域確定出sin24與sin(B-》的值，進而確定出4與B的

度數；

(口)由cosB的值，利用余弦定理列出關系式，結合已知等式求出b的值，再由b,s譏4s譏B的值，

利用正弦定理即可求出a的值.

此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵.

18.答案：解:(1)如圖，連接PC】，

在上底面過點P作直線，1PC1；

(2)以點。為坐標原點，以向量力X方向為x軸的正方向建立如圖所示的坐標系,

當P是41G中點時，直線［即為直線Bi區(qū),

由條件知，(0,0,2),8(1,1,2),4(1,0,0),C(0,l,0),

則河=(-1,0,2)，函=(0,1,2),也=(0,—1,2)，南=(1,0,2),

設平面的法向量為五=(x,y,z),

J4D；-n=Ozgf—x+2z=0

te-n=0Hy+2Z=0

取元=(2,-2,1)

設平面CB［。］的法向量為記=(%,y,z),

CD-m=0r—y+2z=0

由函y,正=0,lx+2z=0取z=1,貝ijx=-2,y=2,

則記=(-2,2,1),

mn_-7_-7

因為cos〈沅，元)=

|7n||n|3x39

所以二面角a-I-c的余弦值為，

解析：(1)連接PG，在上底面過點P作直線，_LPG；

(2)以點。為坐標原點，以向量萬?方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向

量，平面C81%的法向量，利用空間向量的數量積求解二面角4-1-。的余弦值即可.

本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，轉化思

想以及計算能力，是中檔題.

19.答案：解：(1)由已知有X的分布列如下：

X101530

P0.10.30.6

所以：E(X)=10X0.1+15X0.3+30x0.6=23.5(秒)

這表明每個業(yè)主所選擇廣告的平均時間長度為23.5秒.

(2)由已知可知丫的分布列如下：

Y400065008000

P0.10.30.6

所以：E(Y)=4000X0.1+6500X0.3+8000X0.6=7150(元).

解析：本題主要考查離散型隨機變量的分布列.

(1)由廣告有三種方案(10秒，15秒，30秒)，三種方案被選擇的可能性分別是10%,30%,60%,可

得X的可能取值為10、15、30,其對應的概率為0.1、0.3、0.6,進而可列表求解；

(2)由10秒廣告的售價是4000元，15秒廣告的售價是6500元，30秒廣告的售價是8000元，可得丫的

可能取值為4000、6500、8000,其對應的概率為0.1、0.3、0.6,進而可列表求解.

20.答案：解：(1)當a=l時，/(x)=tanx-ex-2,

"0)=-3,/。)=/一〃，

“(0)=0,

曲線/(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=-3；

(2)不等式/Q)>-3a在區(qū)間(0津內恒成立，

即不等式attmx-ex+a>0在區(qū)間(05］內恒成立，

a>在區(qū)間(0,3內恒成立

tanx+14

令y=--------

Jtanx+1

ex(sinxcosx+cos2x-l)_V2sin(2x+^)-l

則y'=?ex

(sinx+cosx')2l(sinx+cosx)2

???o<x/y>o,

_TC1IL

ttX=4fymax=2e4f

e?

a>?

2

解析：（1）當a=1時，求導數，確定切線的斜率，切點坐標，即可求曲線/'（X）在點（0J（0））處的切線

方程；

（2）若不等式/⑴2-3a在區(qū)間（0,勺內恒成立，a2益豆在區(qū)間（0鎮(zhèn)內恒成立.構造函數，求出函

數的最大值，即可求實數a的取值范圍.

本題考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，正確轉化是關鍵.

21.答案：解：（I）由題意：設直線力B：y-0=y（x+2），

令x=0,則y=V5，于是B（0,g），

所以a=2,b=V3>

橢圓方程為光+藝=1.

43

（口）設且詔+

P（&,yo）（x（）>O,yo<0）,34%=12,

又4（一2,0）,8（0,百），所以直線4P；翳=言，

令X=0,y=巖,

M+N

則|BM|=百-如=6-笠=缶°：2曾力。

XQ+ZXQ+Z

直線叱消=黃，令y=o，“春，

則|砌=2+*2+春=胃舒

所以四邊形ABNM的面積為S=I

XQ+2

-3XQ-4y?-12+4V3x0y0-12x0+875yo

圾

2(x0y0-V3x0+2yo-2

4汽(無03/0-\/'3%0+2yo2、3)_2V5

2(%0)0-2yo-26)

所以四邊形4BNM的面積為2次.

解析：（I）求出直線4B的方程，然后求解a,b,即可得到橢圓方程.

（H）設「（與/。）。。>O/o<0）,求出直線AP：巖=森，然后求解|BM|,求出BP的方程，然后

求解|4N],化簡四邊形的面積，推出結果即可.

本題考查橢圓方程的求法，直線與