解透數(shù)學(xué)題-新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)20題

新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)20題已知點在拋物線的準線上．(1)求拋物線C的方程；(2)過點P作直線交拋物線于A，B兩點，過A作斜率為1的直線交拋物線C于另一點M．證明：直線BM過定點．解析幾何問題的信息量一般較大，在解題時需要明確目標，結(jié)合條件來逐步化簡，可以采用“讀題譯句，思句化簡”的策略，即逐句讀題，思考其中的隱含信息，結(jié)合問題目標來逐層簡化。讀題畫圖如下解析幾何識圖，就是要分析圖形的形成過程，找到圖形的基本關(guān)系和核心要素，再用代數(shù)語言表達出來，通過合理轉(zhuǎn)化即完成解題學(xué)生考場實際操作：根據(jù)圖像的構(gòu)圖方式進行思考（1）因為點在拋物線的準線上，則，即，所以拋物線C的方程為.(2)依題，過點P的直線與拋物線交于AB，斜率顯然存在，設(shè)直線AB：與聯(lián)立消有：當時，設(shè),則又l過A且斜率為1，則可設(shè)l:,注意，所以，與聯(lián)立消有：設(shè)，則，所以事實上：直接翻譯斜率為1能簡潔得多,所以直線的斜率，直線：，又整理有①，②③現(xiàn)在關(guān)鍵是適當消參，處理方法1注意，，而所以（消k比較簡單）①整理了下:消有所以顯然直線過定點，所以直線過定點想借助消參，不知道怎么化簡只有期待理想結(jié)果出現(xiàn)，希望是關(guān)于是對稱的，能用消參中中系數(shù)為，，先定當時，消，從而定x.=3故我們可以猜后驗證書寫處理方法2證明直線過定點，書寫省略。解后思考讀題時需要根據(jù)題設(shè)條件來解讀圖像，整合數(shù)形信息，實現(xiàn)題目中的語言互化。而一般的解析幾何問題主要研究圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，因此可以采用如下步驟逐層剖析：首先，聯(lián)合直線與圓錐曲線方程，通過消元來整合方程，分析判別式，根據(jù)韋達定理提取關(guān)系;然后，利用曲線交點的坐標或坐標參數(shù)來表示問題所涉關(guān)系，并結(jié)合上述提取的關(guān)系式來對其綜合化簡;最后，對轉(zhuǎn)化的問題進行純代數(shù)分析，如向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，幾何線段最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題等，從而根據(jù)對應(yīng)內(nèi)容的性質(zhì)來求解答案，并將答案還原到原問題中。官方解答：讀懂官方答案（1）因為點在拋物線的準線上，則，即，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，要證直線過定點，故設(shè)之。緊扣目標進行設(shè)線若直線方程含參數(shù)m，將其化成：m?+Δ=0的形式,其中?和△是不含m的式子則方程組的解就是直線所過定點。(方程思想:先將題目給出的方程合并同類項，含參數(shù)的作為一項，不含參數(shù)的作為另一項，對于任意的參數(shù)這個方程都要成立，那么只有這兩項都為0。)后繼關(guān)鍵需要找出m,n關(guān)系式。由消去x得：，設(shè)，則，①這里設(shè)的點，可以理解為主參，其他點先盡量用其表示而直線的斜率，則直線的方程，對直線方程的處理，需要理解為已經(jīng)知道兩點坐標由消去x得：，因為直線BP與拋物線相交于A,B。所以AB縱坐標滿足上述方程，韋達定理知一求一點A的縱坐標，即：點，確定點A的坐標現(xiàn)在需要翻譯直線AM的斜率為1，-----目的希望得到點A與點M的坐標關(guān)系直線的斜率，則，消得關(guān)系式因此，整理有，利用①消參得到兩變量m,n關(guān)系即，直線的方程為又，即，（直線中的定點問題,實則也是考查對直線方程的變形,應(yīng)關(guān)注點斜式和斜截式方程的過定點情形）顯然直線過定點，所以直線過定點.點評：根據(jù)構(gòu)圖方式的解法1和官方答案的對比分析，官方答案消參方便，主要用到了目標意識處理值得推薦的方法------設(shè)點法（仔細閱讀附錄要點）設(shè)A,B,M三點分別為則AB方程為建議：考場上適當加點推理過程因為直線AB過（-1，2）,所以①直線AM的斜率為1，則②直線BM的方程為，③由②③消，所以有④由①④消，有-----將關(guān)于的式子次數(shù)降低整理有顯然上式恒成立，顯然直線過定點，所以直線過定點體會：在拋物線中，利用點表示直線可以使用參數(shù)方程，而利用直線表示點往往只能利用聯(lián)立方程。設(shè)點可以讓點的關(guān)系更加靈活，同時往往可以導(dǎo)出同構(gòu)式子，從而有效地簡化拋物線問題。類似練習(xí)題(2019年北京)已知拋物線經(jīng)過點.（1）求拋物線C的方程及其準線方程;(2)設(shè)O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.解:(1)易得,準線:.(2)設(shè),則,由直線過點,所以所以,設(shè)點,則,令,得或,所以以為直徑的圓過定點。點評：相對于傳統(tǒng)解法的聯(lián)立方程、求出A，B坐標，代入韋達定理;本題解法更加清晰簡潔，學(xué)生只要按照參數(shù)方程的“模板”，由直線過定點直接得出m、n的關(guān)系式，最后根據(jù)題目條件列出相應(yīng)式子，把m、n關(guān)系式代入就可以得出結(jié)果．------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------附錄：拋物線上點的設(shè)法拋物線的表達式：。表達式中的x是一次，等式兩邊同時除以可得，根據(jù)這個特點，若設(shè)拋物線上的點P的縱坐標為，則點P的橫坐標就是，也就是可以設(shè)點P的坐標為P(,)。這么設(shè)的好處是，點P中只有一個未知數(shù)。事實上，為了不出現(xiàn)分數(shù)。可以設(shè)為（拋物線的參數(shù)方程）拋物線上的"兩點"拋物線上1.可知其斜率本來要涉及4個變量(兩點各自的橫縱坐標),現(xiàn)在就化為2個，從而大大減小了變量間的糾纏(拋物線上的直線斜率可化簡)同樣的，若拋物線為,則拋物線上兩點的直線方程已知，再設(shè)直線AB上任意一點為P（x,y）,利用P,A,B三點共線，則整理（結(jié)合）得