0630高一數(shù)學(xué)（人教A版）隨機事件與概率（第三課時）1教案

教案教學(xué)基本信息課題隨機事件與概率（第三課時）學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊（A版）出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)設(shè)計參與人員姓名單位聯(lián)系方式設(shè)計者宛宇紅北京市首都師范大學(xué)附屬麗澤中學(xué)實施者宛宇紅北京市首都師范大學(xué)附屬麗澤中學(xué)指導(dǎo)者康舒真北京教育學(xué)院豐臺分院課件制作者宛宇紅北京市首都師范大學(xué)附屬麗澤中學(xué)其他參與者教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點教學(xué)目標(biāo)：1．理解古典概型的概念和基本特征，會計算古典概型中簡單隨機事件的概率；2．通過具體問題抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，提升從具體到抽象，從特殊到一般的分析問題的能力；3．用實際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思維，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．教學(xué)重點：古典概型的概念教學(xué)難點：確定隨機試驗的樣本空間教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入研究隨機現(xiàn)象，最重要的是知道隨機事件發(fā)生的可能性大小．對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示?我們知道，通過試驗和觀察的方法可以得到一些事件的概率估計．但這種方法耗時多，而且得到的僅是概率的近似值．能否通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，直接計算隨機事件的概率呢？設(shè)置問題，引發(fā)學(xué)生思考．新課思考以下三個試驗，它們的共同特征有哪些？1．袋子中裝有10個質(zhì)地和大小完全相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，…，9，隨機取出一個球，觀察球的號碼；2．拋擲一枚均勻的硬幣，觀察它落地時哪一面朝上；3．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時朝上的面的點數(shù)．通過對這三個試驗的觀察，我們發(fā)現(xiàn)他們的樣本空間的樣本點都是有限的，而且每個樣本點發(fā)生的可能性都是相等的．所以，我們將具有：有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；（2）等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．下面我們就來研究古典概型：問題1一個班級中有18名男生、22名女生，采用抽簽的方式，從中隨機選擇一名學(xué)生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A發(fā)生的可能性大??？分析：班級中共有40名學(xué)生，從中選擇一名學(xué)生，因為是隨機選取的，所以選到每個學(xué)生的可能性都相等，這是一個古典概型．抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級學(xué)生數(shù)中所占的比例大小．因此，可以用男生數(shù)與班級學(xué)生數(shù)的比值來度量．解：樣本空間中有40個樣本點，事件A＝“抽到男生”包含18個樣本點．因此，事件A發(fā)生的可能性大小為．由事件的概率的定義，可得事件A的概率是．問題2拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”．如何度量事件B發(fā)生的可能性大?。糠治觯何覀冇?表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則試驗的樣本空間Ω={(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共有8個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，所以這是一個古典概型．事件B發(fā)生的可能性大小，取決于這個事件包含的樣本點在樣本空間包含的樣本點中所占的比例大?。虼?，可以用事件包含的樣本點數(shù)與樣本空間包含的樣本點數(shù)的比值來度量．解：樣本空間共有8個有限的樣本點，因為事件B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以，事件B發(fā)生的可能性大小為．由事件的概率的定義，可得事件B的概率是．由問題1及問題2可知，判斷一個試驗是否為古典概型，就是要看它的樣本空間及樣本點是否具有有限性和等可能性，而古典概型的計算，利用我們初中已有經(jīng)驗，可用事件包含的樣本點數(shù)與樣本空間包含的樣本總數(shù)的比值來度量．由此，可以得到：一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率n(A)表示事件A包含的樣本點個數(shù)，n(Ω)表示樣本空間Ω包含的樣本點總個數(shù)．法國的數(shù)學(xué)家拉普拉斯，在1812年把該式作為概率的一般定義，現(xiàn)在我們稱它為概率的古典定義．概率的定義還有概率的公理化定義、幾何定義、統(tǒng)計定義等．回憶簡單隨機試驗，思考它們的共同特征，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)的能力．提供簡單的隨機試驗，引導(dǎo)學(xué)生分析是否符合古典概型的基本特征，根據(jù)已有經(jīng)驗，思考如何求解古典概型事件的概率．從具體實例抽象、歸納古典概型的概率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．例題例單項選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案．如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案．假設(shè)考生有一題不會做，他隨機地選擇一個答案，答對的概率是多少？分析：因為考生不會做，讓他隨機的選擇一個答案，可能會選擇A、B、C、D中的任意一項，共4種可能結(jié)果，所以，樣本空間Ω＝{A，B，C，D}，樣本點是有限的．考生隨機選擇一個答案，表明每個樣本點發(fā)生的可能性相等，滿足等可能性，所以這是古典概型．解：設(shè)事件M＝“選中正確答案”，樣本空間Ω＝{A，B，C，D}，n(Ω)＝4，因為正確答案是唯一的，所以n(M)＝1，所以，．所以，考生隨機選擇一個答案，答對的概率．思考在標(biāo)準(zhǔn)化考試中也有多選題，多選題是從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中至少有一個選項是正確的）．你認(rèn)為單選題和多選題哪種更難選對？為什么？結(jié)果很顯然，一定是多選題的難度更大．分析：因為有A，B，C，D四個選項的多選題，如果至少有一個選項正確，可以分為以下四類：①若答案只有一個選項，可能的選擇是：A，B，C，D，共4種結(jié)果；②若答案含有兩個選項，可能的選擇是：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6種結(jié)果；③若答案含有三個選項，可能的選擇是：ABC，ABD，ACD，BCD，共4種結(jié)果；④若答案含有四個選項，可能的選擇是：ABCD，只有1種結(jié)果，所有可能的選擇共15種結(jié)果，即n(Ω)=15．因為正確答案是唯一的，所以答對多選題包含的樣本點數(shù)為1，所以在不知道答案時，答對多選題的概率是．相比單選題猜對答案的概率要小很多，所以答對多選題，會更難．例拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為=1\*ROMANI號和=2\*ROMANII號)，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果．（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；（2）求下列事件的概率：A＝“兩個點數(shù)之和是5”；B＝“兩個點數(shù)相等”；C＝“I號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”．分析：拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，I號骰子的每一個結(jié)果都可與Ⅱ號骰子的任意一個結(jié)果配對，組成擲兩枚骰子試驗的一個結(jié)果．用有序?qū)崝?shù)對（m，n）表示擲兩枚骰子試驗的結(jié)果，m表示I號骰子出現(xiàn)的點數(shù)，n表示Ⅱ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)．可以用初中所學(xué)過的列表法將樣本空間的樣本點都列舉出來．m1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)nnm解：樣本空間Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，n(Ω)=36，樣本點有限．由于骰子的質(zhì)地均勻，所以各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，因此這個試驗是古典概型．因為A＝｛(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以n(A)＝4，所以，．因為B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，所以n(B)＝6，所以，．因為C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，所以n(C)＝15，所以，．思考如果在上例中，不給兩枚骰子標(biāo)上記號，會出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？如果不給兩枚骰子標(biāo)上記號，則不能區(qū)分所拋擲出的兩個點數(shù)分別屬于哪枚骰子，例如，拋擲出的結(jié)果是1點和2點，有可能第一枚骰子的結(jié)果是1點，也有可能第二枚骰子的結(jié)果是1點．這樣（1，2）和（2，1）兩個樣本點的結(jié)果將無法區(qū)別．樣本點（1，1）和（1，2）發(fā)生的可能性大小也不相等，所以，不是古典概型．根據(jù)古典概型的基本特征，我們知道每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的，所以無論骰子標(biāo)號還是不標(biāo)號，都應(yīng)該按照標(biāo)號來做．歸納：求解古典概型問題的一般思路：(1)明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆枺ㄗ帜?、?shù)字、數(shù)組等）表示試驗的可能結(jié)果（借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果）；(2)根據(jù)實際問題情境判斷樣本點的等可能性；(3)計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率．例袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率:(1)A＝“第一次摸到紅球”；(2)B＝“第二次摸到紅球”；(3)AB＝“兩次都摸到紅球”．解：將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5．第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時都有4種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對，組成20種等可能的結(jié)果，可用下表表示：第一次第二次123451×(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)2(2，1)×(2，3)(2，4)(2，5)3(3，1)(3，2)×(3，1)(3，5)4(4，1)(4，2)(4，3)×(4，5)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)×第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種(表中第1，2行)，即A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}所以，．第二次摸到紅球的可能結(jié)果也有8種(表中第1、2列)，即B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}所以，．事件AB包含2個可能結(jié)果，即AB＝{(1，2)，(2，1)}，所以，．變式1袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中有放回地依次隨機摸出2個球，求事件AB＝“兩次都摸到紅球”的概率．分析：將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5．那么第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，因為從中有放回地依次隨機摸出2個球，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時也有5種等可能的結(jié)果．解：用m表示第一次摸球出現(xiàn)的數(shù)字，用n表示第二次摸球出現(xiàn)的數(shù)字，用數(shù)組（m，n）來表示兩次摸球的結(jié)果，樣本空間Ω1＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5}}，n(Ω1)=25，事件AB＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，n(AB)=4，所以，．變式2袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中同時摸出2個球，求事件AB＝“兩次都摸到紅球”的概率．分析：將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5．同時摸出2個球，（1，2）和（2，1）都代表摸出1號和2號兩個紅球，與順序無關(guān)，是同一個樣本點，所以樣本點具有無序性，解：樣本空間Ω2={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，n(Ω2)=10，事件AB＝{(1，2)}，n(AB)=1，所以，．通過這個例題，我們知道想要求出某事件的概率，一定要首先明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果，分析清楚試驗的樣本空間是解決概率問題重要前提．通過列舉法寫出試驗的樣本空間，熟悉用數(shù)學(xué)語言表達(dá)解題過程．通過對多選題猜對答案的問題思考，激發(fā)學(xué)生的求解興趣，體會概率越小，猜對答案越難．理解古典概型的兩個基本特征，利用表格列舉出樣本空間，分析隨機事件的包含的樣本點，用古典概型的概率求解．提出疑義，使學(xué)生深入思考．深化鞏固古典概型的兩個特點，使得學(xué)生認(rèn)識到在求解古典概型的概率時，要先判斷是否是古典概型，然后再計算．通過歸納求解古典概型問題的一般思路，提升學(xué)生歸納、總結(jié)的能力．這是典型的不放回摸球問題，深化鞏固對古典概型及其概率計算公式的理解，用列舉法寫出樣本空間和隨機事件的樣本點．提出質(zhì)疑，鼓勵學(xué)生勇于探索求事件的概率，要首先明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果，分析清楚試驗的樣本空間總結(jié)1．古典概率的概念；2．概率的定義；3．求解古典概型問題的一般思路．通過學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的回顧與小結(jié)，使知識系統(tǒng)化，提升歸納、總結(jié)的能力．作業(yè)1．從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取兩人．(1)分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間；(2)在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率．2．判斷下面的解答是否正確，并說明理由．某運動員連續(xù)進(jìn)行兩次飛碟射擊練習(xí)，觀察命中目標(biāo)的情況，用y表示命中，用n表示沒有命中，那么試驗的樣本空間Ω＝{yy，yn，ny，nn}，因此事件“兩次射擊都命中”的概率為0.25．3．從52張撲克牌(不含大小王)中隨機地抽一張牌，計算下列事件的概率:(1)抽到的牌是7；(2)抽到的牌不